非線性鐵木辛柯梁飽和吸振

楊 柳， 楊紹普， 楊月婷

(1.北京交通大學 機械工程學院，北京 100044； 2.石家莊鐵道大學 機械工程學院，石家莊 050043)

非線性鐵木辛柯梁飽和吸振

楊 柳1， 楊紹普2， 楊月婷2

(1.北京交通大學 機械工程學院，北京 100044； 2.石家莊鐵道大學 機械工程學院，石家莊 050043)

主要研究了利用飽和現象降低非線性梁的振動。基于哈密爾頓最小勢能原理建立非線性梁的動力學模型，利用多尺度方法求解非線性梁系統的頻率響應方程，通過調節有效參數使梁進入飽和狀態，梁的振動得到效抑制。

非線性梁;多尺度方法;飽和吸振

在工程中柔性梁經常出現顫振和共振現象，引起梁的較大彎曲變形，對梁的結構的穩定性和疲勞壽命帶來了嚴重影響，尤其是在高速直升機飛行中，出現的共振動現象會對直升機機翼產生大的動態變形。所以如何避免和減小柔性梁的振動成為了梁動態分析的關鍵。

本文將壓電陶瓷應變片嵌入鐵木辛柯梁中，研究其出現內共振和共振時，通過控制參數，使主系統的響應進入飽和狀態，激勵幅值和能量傳遞到振子中，從而實現梁的減振。

非線性吸振器的理論和實驗已經得到廣泛的關注和應用，NAYFEH等[1]研究船的非線性模型時首次提出了飽和現象吸振，并研究了多自由度柔性梁的控制實驗，分析了1∶2內共振時系統飽和吸振。PAI等[2]發展了柔性結構非線性主動吸振器，并對飽和吸振進行了分析。OUEINI等[3]研究了立方非線性吸振器在線性懸臂梁動力學分析。EISSA等[4]研究了非線性擺主動控制和半主動控制。SAYED[5]分析了主動控制吸振1∶2和1∶3共振下系統振動。基于飽和吸振下，幾種非線性吸振器已經展示出良好、有效的結果，其中,BANERJEE等[6]證明了霍普分叉和混沌的存在。這種飽和現象也被越來越多的領域利用，EISSA等[7]建立直升機機翼動態模型，分析了1∶3內共振下機翼顫振控制。

1 非線性控制梁的動力學模型

根據材料變形理論和扭轉力影響，鐵木辛柯梁的應變關系

εy=0

(1)

壓電陶瓷材料的的應變

(2)

受電壓作用的下的陶瓷壓變本構關系

(3)

(4)

由彈性力學得

τxy=μ·γ

(5)

根據梁的變形理論，將式(1)、式(5)代入式(6)，形變分量εx，γ的形變勢能U1為

(6)

初始應變為零，梁的動能T為

(7)

式中,ρ和I為密度、截面慣性矩。梁的截面是關于z軸對稱的，所以∫AzdA=0。

外力勢能，包含體力、面力表示為

(8)

依據哈密爾頓原理

(9)

簡化得鐵木辛柯梁的控制方程

εβφ(τ)=F(x,t)+G1

(10)

2 近似求解

多尺度法對鐵木辛柯梁方程式(10)中ν(τ)和φ(τ)做一階近似展開

v(τ,ε)?v0(T0,T1)+εv1(T0,T1)

φ(τ,ε)?φ0(T0,T1)+εφ1(T0,T1)

(11a)

時間尺度的時間變量Tn=εnt(n=0,1)

對式(11)中的時間變量進行微分，按ε的冪次展開

(11b)

由于0<ε<1，忽略比o(ε2)高階項，將式(11b)代入式(10)中提取ε0及ε1項方程得

ε0項

(12)

ε1項

(13)

2ξ2ω2D0φ0+α2v0

(14)

式(12)解的形式為

(15)

式中,cc項為共軛項。

(16)

將式(15)代入式(13)～式(14)中得

(17)

α2eiω1T0+cc

(18)

系統的兩個固有頻率滿足

ω=ω1+εσ1，ω1=ω2+εσ

(19)

消去式(17)～式(18)中的永年項得

-[2iω2(D1B+ξ2ω2B)]+α2AeiσT1=0

(20)

將式(19)代入式(23)中分離虛實部得

(21)

(22)

(23)

(24)

式中:θ1=σ1T1-κ1;θ2=κ1-κ2+σT1。

方程的一次近似解為

v=a(T1)cos[ω1T0+σ1T1-θ1]

φ=b(T1)cos[ω1T0-θ1-θ2]

3 1∶1內共振條件下的定常解

(25)

(26)

(27)

(28)

單振子解當b=0,a≠0時，方程的頻幅解為

(29)

雙振子解當b≠0,a≠0時，方程的頻幅解為

(30)

4 非線性定常解的穩定性

對方程加擾動量，a=Δa+a0，b=Δb+b0代入式(21)～式(24)得

(31)

(32)

(33)

(34)

非線性微分方程的特征值矩陣為

(35)

其中,

λ4+c1λ3+r2λ2+r3λ+r4=0

(36)

根據Routh定理判定系統穩定區域，λ為負值時系數應滿足

c1>0,c1c2-c3>0,c4>0,

5 數值分析

5.1 幅頻響應

給定f1=4,ξ1=0.03,ξ2=0.006,。ω≈ω1且內共振時不同參數作用下，幅頻響應。如圖1所示，給出有無飽和吸振下對比。如圖2～圖5所示，在飽和吸振中，不同參數對系統的影響。

如圖1所示,對比有無飽和控制下梁的幅頻曲線影響。當α1=0,α2=0，出現內共振時，系統無飽和吸振，響應幅值較大。當α1≠0,α2≠0時，調節激勵頻率大小，使系統進入飽和狀態，幅值得到有效降低。

圖1 控制參數的影響Fig.1 Control parameter

由圖2可知，不同阻尼系數ξ1作用下，隨著ξ1的增加，梁的右端幅值程減小趨勢，對系統幅值大小影響較大。

圖2 阻尼參數ξ1的影響Fig.2 Damping parameter ξ1

由圖3可知，不同頻率系數ω1作用下梁的幅頻曲線。隨著ω1的增加，梁的右端幅值程減小趨勢，對系統幅值大小及穩定域影響較大。

圖3 頻率ω1的影響 Fig.3 Frequency parameter ω1

如圖4所示,不同系數α1作用下梁的幅頻曲線。隨著α1的增加，梁的右端幅值增小。右端幅值像右偏，定常解的穩定區域變大。

圖4 參數α1的影響Fig.4 Parameter α1

5.2 激振力響應曲線

內共振時，如圖5所示，對比有無飽和吸振下激勵與響應的變化。如圖6～圖9所示，選取不同參數，使系統進入飽吸狀態時，分析激振力與撓度變化。

由圖5可知，無飽和控制下梁的幅頻曲線影響。當α1=0,α2=0，出現內共振時系統無飽和吸振，響應幅值隨f1增大。當α1≠0,a2≠0時，系統進入飽和狀態，幅值隨f1增大緩慢上升，飽和吸振下使系統幅值得到有效抑制。

圖5 控制參數的影響Fig.5 Control parameter

如圖6所示，線性阻尼系數ξ1的增加，撓度值下降，穩定區域增加。幅值存在多解，阻尼值到達一定值，幅值曲線平緩上升，激振力影響減弱。

圖6 阻尼參數ξ1的影響 Fig.6 Damping parameter ξ1

如圖7所示，非線性立方項α1的增加，撓度值下降，穩定區域增加。幅值存在多解，當系數α1達到閾值時，系統幅值進入飽和狀態。

圖7 參數α1的影響Fig.7 Parameter α1

如圖8所示，頻率系數ω1的增加，撓度幅值增大，穩定區域增加。幅值存在多值解區域增大。

圖8 參數ω1的影響Fig.8 Parameter ω1

如圖9所示，σ的增加，撓度值下降，穩定區域增加。幅值存在多解區域增加，控制系數到達一定值，幅值曲線平緩變化。

5.3 時域響應

當α1=0,α2=0時，不出現飽和狀態時系統的時域圖(見圖10)。

當α1≠0,α2≠0時，飽和現象時系統的時域圖(見圖11)，梁的穩定響應幅值降低至無飽和狀態梁穩定響應幅值的5%，突出顯示發生內共振時控制系統出現飽和吸振很好改善了梁的振動。

圖9 參數σ的影響Fig.9 Parameter σ

圖10 位移時間歷程Fig.10 The displacement-time history

圖11 位移時間歷程Fig.11 The displacement-time history

6 結 論

建立了嵌入陶瓷壓電結構柔性梁的動態模型，近似求解，分析了穩定域。系統出現飽和現象能夠有效地抑制梁的主共振及內共振幅值。

飽和吸振具有更好的減振效果及反應時間更短，通過控制和調整系統參數能夠使得振動得到有效抑制。

航空航天更多使用復合材料，飽和吸振被廣泛的應用和研究。

[ 1 ] NAYFEH A H, MOOK D T, MARSHALL L R. Nonlinear coupling of pitch and roll modes in ship motion[J]. Journal of Hydronautics, 1973, 7(4):145-152.

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[ 3 ] OUEINI S S, NAYFEH A H. Analysis and application of a non-linear vibration absorber[J]. Vibration Control and Shock, 2000,6(7):999-1016.

[ 4 ] EISSA M, SAYED M. Vibration reduction of a three DOF non-linear spring pendulum[J]. Commun Nonlinear, 2008, 13(2):465-488.

[ 5 ] SAYED M. Improving the mathematical solutions of nonlinear differential equations using different control methods[D].Egypt:Menofia University,2006.

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Nonlinear Timoshenko beam saturated absorber

YANGLiu1，YANGShaopu2,YANGYueting2

(1.School of Mechanical Engineering, Beijing Jiaotong University, Beijing 100044, China; 2.School of Mechanical Engineering, Shijiazhang Railuay University, Shijiazhang 050043, China)

The objective of this study was to reduce vibration by the saturation control. Nonlinear beam dynamic model was established by using Hamilton’s principle of minimum potential energy principle. The frequency responding equation of nonlinear beam was solved with the multi-scale method. The nonlinear beam was saturated by adjusting the effective parameters. The vibration of the nonlinear beam was thus suppressed effectively.

nonlinear beam; multiple scales method; saturation

國家自然科學基金(11227201)

2015-11-13 修改稿收到日期：2016-01-31

楊柳 男，博士生，1987年生

楊紹普 男，教授，1962年生

O322

A

10.13465/j.cnki.jvs.2017.04.008