一類含有分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的參數(shù)激勵(lì)振動(dòng)問題

葛志新, 陳咸獎(jiǎng), 陳松林

(1.安徽工業(yè)大學(xué) 數(shù)理學(xué)院,安徽 馬鞍山 243002; 2.安徽工業(yè)大學(xué) 商學(xué)院, 安徽 馬鞍山 243002)

一類含有分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的參數(shù)激勵(lì)振動(dòng)問題

葛志新1, 陳咸獎(jiǎng)2, 陳松林1

(1.安徽工業(yè)大學(xué) 數(shù)理學(xué)院,安徽 馬鞍山 243002; 2.安徽工業(yè)大學(xué) 商學(xué)院, 安徽 馬鞍山 243002)

研究了一類具有分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)阻尼的參數(shù)激勵(lì)振動(dòng)問題。對(duì)含有由 Riemann-Liouville 定義的分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的Mathieu振動(dòng)方程構(gòu)造漸近解。利用多重尺度法,在激勵(lì)參數(shù)取不同值的情況下,求得漸近解, 得到分?jǐn)?shù)階指數(shù)對(duì)解的影響。

多重尺度; 分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù); 參數(shù)激勵(lì); 過渡曲線

振動(dòng)現(xiàn)象是生活中常見的現(xiàn)象,也是學(xué)術(shù)界研究的熱點(diǎn)話題,如NAYFEH[1]研究的自由振動(dòng)、 非齊次項(xiàng)激勵(lì)和參數(shù)激勵(lì)下的各種受迫振動(dòng)問題的漸近解及共振情況。劉燦昌等[2]研究的參數(shù)激勵(lì)非線性振動(dòng)時(shí)滯反饋?zhàn)顑?yōu)化控制振動(dòng)問題的穩(wěn)定性等,他們研究問題的導(dǎo)數(shù)都用整數(shù)階導(dǎo)數(shù)描述。隨著數(shù)學(xué)的發(fā)展,分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)逐漸進(jìn)入學(xué)者們的視野,學(xué)者們發(fā)現(xiàn)分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)更能準(zhǔn)確描述記憶性材料的導(dǎo)數(shù)特性。學(xué)者們開始研究具有分?jǐn)?shù)階導(dǎo) 數(shù)阻尼的振動(dòng)情況,如陳林聰?shù)妊芯糠驱R次項(xiàng)激勵(lì)的振動(dòng)問題。學(xué)者們對(duì)用分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù) 描述外阻尼的參數(shù)激勵(lì)的振動(dòng)問題研究較少,且在文獻(xiàn)[3-5]中使用諧波平衡法對(duì)分?jǐn)?shù)階阻尼Mathieu方程進(jìn)行研究的。本文將在文獻(xiàn)[6-15]的基礎(chǔ)上研究含有參數(shù)激勵(lì)的分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)振動(dòng)問題,對(duì)用分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)來描述阻尼的Mathieu方程的解用多重尺度法求得漸近解,并研究分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)對(duì)解的影響。

考慮

(1)

式中:δ為激勵(lì)參數(shù);0<ε?1;0<α<1;n為>1的正整數(shù)。

1 第一種情況: 不接近于

引入多重尺度T0=t,T1=εt,則

(2)

(3)

設(shè)

u(t)=u0(T0,T1)+εu1(T0,T1)+…

(4)

把式(2)～式(4)代入式(1)中,得

(δ+εcosnt)(u0(T0,T1)+εu1(T0,T1)+…)=0 (5)

令式 (5) 中ε同次冪相等, 得

所以,

式中,cc為其前面項(xiàng)的共軛復(fù)數(shù)項(xiàng),又

這里cosnt=cosnT0, 所以

(6)

(7)

把式(7)化簡(jiǎn), 得

(8)

把式(8)虛實(shí)部分開,并化簡(jiǎn)得

(9)

(10)

由式(9)和式(10)得當(dāng)ω,α為定義域內(nèi)常數(shù)時(shí),ρ為指數(shù)性衰減, 運(yùn)動(dòng)是有界的,原問題的漸近解可表示為

ρe-i(θ+ωT0)+O(ε)=2ρcos(θ+ωt)+O(ε)

其中,

其中,C1,C2由初值決定,可以發(fā)現(xiàn)α對(duì)原問題的影響在振幅與頻率上,振幅變化規(guī)律如圖1所示, 且當(dāng)α一定時(shí),振幅指數(shù)性衰減。由此可以得到在一定的條件下u的變化曲線,如圖2所示。

圖,當(dāng)ρ(0)=1時(shí),y～α曲線,y為u(t) 的振幅Fig.θ(0)=0,ρ(0)=1,here y is the amplitude of the u(t)

圖2 當(dāng),ρ(0)=1時(shí), u～t曲線Fig.,ε=0.1,θ(0)=0, ρ(0)=1

2 第二種情況

設(shè)A(T1)=ρeiθ,可以得到

化簡(jiǎn)得

(12)

把式(12)虛實(shí)部分開, 得

(13)

(14)

令χ=2θ+2ω1T1, 則式(13)和式(14)轉(zhuǎn)化為

(15)

(16)

由式(15)和式(16)得

即

可以發(fā)現(xiàn)決定過渡曲線的表達(dá)式為

若ω≈1,則

因此,ω1隨α的增大而增大, 如圖3所示。

圖3 曲線ω1～αFig.3 The curve is about ω1～α

所以過渡曲線為

α對(duì)過渡曲線的影響在ε項(xiàng)上,并且過渡曲線隨著α的增大而向右移,如圖4和圖5所示。

圖4 當(dāng)ε=0.1 時(shí), δ～α曲線Fig.4 The curve is about δ～α as ε=0.1

圖5 當(dāng)ε=0.01 時(shí), δ～α曲線Fig.5 The curve is about δ～α as ε=0.01

為了研究漸近解,引入變換A=Be-iω1T1,并代入式(11), 得

(17)

令B=Br+iBi,則式(17)可轉(zhuǎn)化為

(18)

(19)

尋找式(18)和式(19)中形如Br=breγ1T1,Bi=bieγ1T1的解。把Br=breγ1T1,Bi=bieγ1T1代入式(18)和式(19),得

(20)

(21)

求式(20)和式(21)的非零解。由式(20)和式(21)關(guān)于未知數(shù)br,bi的系數(shù)行列式為0, 得

從而

把式(22)代入式(20)得

即

(23)

把式(23)及變換A=Be-iω1T1,B=Br+iBi,Br=breγ1T1,Bi=bieγ1T1代入(4),得

u=(Br+iBi)ei(ωT0-ω1T1)+(Br-iBi)e-i(ωT0-ω1T1)+…

即

也就是

從而得到u的近似表達(dá)式, 即

(24)

其中,a1,a2由初始條件確定,由解可知α對(duì)解的影響在振幅上。令

(25)

ρ2=

(26)

(27)

ρ4=

(28)

可得到一定條件下α對(duì)ρi(i=1,2,3,4)的影響,如圖6和圖7所示。同時(shí)我們也能得到u的曲線圖,如圖8所示。

圖6 εt=1，n=2，ω≈1，ω1=-cosπα22時(shí)，ρ1～α，ρ3～α曲線Fig．6Thecurvesareaboutρ1～α，ρ3～αasεt=1，n=2，ω≈1，ω1=-cosπα22圖7 εt=1，n=2，ω≈1，ω1=-cosπα22時(shí)，ρ2～α，ρ4～α曲線Fig．7Thecurvesareaboutρ2～α，ρ4～αasεt=1，n=2，ω≈1，ω1=-cosπα22圖8 ε=0．1，n=2，ω≈1，ω1=-cosπα22，α=12，u(0)=0．5，u′(0)=-0．5時(shí)，u(t)～t曲線Fig．8Thecurveisaboutu(t)～tasε=0．1，n=2，ω≈1，ω1=-cosπα22，α=12，u(0)=0．5，u′(0)=-0．5

3 結(jié) 論

u(t)=2ρcos(θ+ωt)+O(ε)

(29)

其中,

(30)

(31)

式中,a1,a2由初始條件決定,分?jǐn)?shù)階指數(shù)只對(duì)解的振幅有影響,振幅指數(shù)型增大。

2.1.5 鎂。2012年全市葉片鎂平均含量為2.93 g/kg(表1)，說明煙臺(tái)市果園鎂素嚴(yán)重不足。低土壤pH或高鉀可能會(huì)造成葉片鎂含量低。蘋果收獲前落果或果樹枝條缺少花芽、細(xì)弱的結(jié)果短枝都與缺鎂有關(guān)。施用含鎂的石灰、顆粒鎂或硫酸鎂，以及葉片噴施六水硫酸鎂都有較好的效果。

通過對(duì)含有分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的 Mathieu振動(dòng)方程解析漸近解的研究,我們明確了該方程的振動(dòng)規(guī)律包括周期、振幅、頻率.這個(gè)研究為我們進(jìn)一步研究含有分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的 Mathieu振動(dòng)方程其他性質(zhì),如穩(wěn)定性、極限環(huán)、分叉等提供了依據(jù)。參 考 文 獻(xiàn)

[ 1 ] NAYFEH A H. Introduction to perturbation techniques[M]. Shanghai: Shanghai Translation Publishing House, 1990.

[ 2 ] 劉燦昌,岳書常,許英姿,等.參數(shù)激勵(lì)非線性振動(dòng)時(shí)滯反饋?zhàn)顑?yōu)化控制[J]. 振動(dòng)與沖擊,2015,34(20):6-9. LIU Canchang, YUE Shuchang, XU Yingzi, et al. Optimal control of parametric excitated nonlinear vibration system with delayed linear and nonlinear feedback controllers[J]. Journal of Vibration and Shock,2015,34(20):6-9.

[ 3 ] RAND R H, SAH S M, SUCHORSKY M K. Fractional Mathieu equation[J]. Communications in Nonlinear and Science Numerical Simulation,2010, 15(11):3254-3262.

[ 4 ] LEUNG A Y T, GUO Z J, YANG H X. Transition curves and bifurcations of a class of fractional mathieu-type equations[J]. International Journal of Bifurcation and Chaos, 2012, 22(11):1853-1853.

[ 5 ] MESBAHI A,HAERI M,NAZARI M, et al. Fractional delayed damped Mathieu equation[J]. International Journal of Control, 2015,88(3):622-630.

[ 6 ] 陳林聰, 李海鋒, 李鐘慎,等.寬帶噪聲激勵(lì)下含分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的Duffing-van del Pol振子的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)[J].中國科學(xué): 物理學(xué)力學(xué)天文學(xué),2013, 43(5):670-677. CHEN Lincong, LI Haifeng, LI Zhongshen, et al. Stationary response of Duffing-van del Pol oscillator with fractional derivative under wide-band noise excitations[J]. Scientia Sinica Physica Mechanica & Astronomica, 2013, 43(5): 670-677.

[ 7 ] 楊建華, 劉厚廣, 程剛. 一類五次方振子系統(tǒng)的叉形分叉及振動(dòng)共振研究[J]. 物理學(xué)報(bào), 2013,62(18): 180503. YANG Jianhua, LIU Houguang, CHENG Gang. The pitchfork bifurcation and vibrational resonance in a quintic oscillator[J]. Acta Physica Sinica,2013,62(18): 180503.

[ 8 ] 張路, 謝天婷, 羅懋康. 雙頻信號(hào)驅(qū)動(dòng)含分?jǐn)?shù)階內(nèi)、 外阻尼Duffing振子的振動(dòng)共振[J]. 物理學(xué)報(bào), 2014,63(1):68-74. ZHANG Lu, XIE Tianting, LUO Maokang.Vibrational resonance in a Duffing system with fractional-order external and intrinsic dampings driven by the two-frequency signals[J]. Acta Physica Sinica,2014,63(1):68-74.

[ 9 ] 韋鵬, 申永軍, 楊紹普. 分?jǐn)?shù)階van der Pol振子的超諧共振[J]. 物理學(xué)報(bào), 2014, 63(1):39-50. WEI Peng, SHEN Yongjun, YANG Shaopu. Super-harmonic resonance of fractional-order van der Pol oscillator[J]. Acta Physica Sinica, 2014, 63(1):39-50.

[10] 申永軍, 楊紹普, 邢海軍. 含分?jǐn)?shù)階微分的線性單自由度振子的動(dòng)力學(xué)分析[J]. 物理學(xué)報(bào),2012, 61(11):55-63. SHEN Yongjun, YANG Shaopu, XING Haijun. Dynamical analysis of linear single degree-of-freedom oscillator with fractional-order derivative[J].Acta Physica Sinica,2012, 61(11):55-63.

[11] 申永軍, 楊紹普, 邢海軍. 含分?jǐn)?shù)階微分的線性單自由度振子的動(dòng)力學(xué)分析(Ⅱ)[J].物理學(xué)報(bào),2012,61(15):61-69. SHEN Yongjun, YANG Shaopu, XING Haijun.Dynamical analysis of linear single degree-of-freedom oscillator with fractional-order derivative(Ⅱ)[J]. Acta Physica Sinica,2012,61(15):61-69.

[12] 莫嘉琪.非線性分?jǐn)?shù)階微分方程的奇攝動(dòng)[J].應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)報(bào),2006, 29(6):1086-1090. MO Jiaqi. Singular perturbation of nonlinear fractional differential equation[J]. Acta Mathematicae Applicatae Sinica,2006, 29(6):1086-1090.

[13] 葛志新,陳咸獎(jiǎng).一類含有兩參數(shù)的小遲滯方程的漸近解[J].應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)報(bào),2014,37(3):407-413. GE Zhixin,CHEN Xianjiang. The asymptotic solution of a class of small delay equations with two parameters[J].Acta Mathematicae Applicatae Sinica,2014,37(3):407-413.

[14] 葛志新. 一類二次奇攝動(dòng)Robin問題[J]. 工程數(shù)學(xué)學(xué)報(bào), 2011, 28(2): 245-250. GE Zhixin.A class of the quadratic singularly perturbed boundary value problems with the Robin condition[J]. Chinese Journal of Engineering Mathematics,2011, 28(2): 245-250.

[15] 葛志新.一類兩參數(shù)奇異攝動(dòng)擬線性微分方程組的邊值問題漸近解[J].工程數(shù)學(xué)學(xué)報(bào), 2013,30(4):611-618. GE Zhixin. Asymptotic solutions about a class of the quasilinear system of differential equations with two parameters and boundary value conditions[J]. Chinese Journal of Engineering Mathematics, 2013, 30(4): 611-618.

A class of parametric excitation vibration problems with fractional derivative

GEZhixin1,CHENXianjiang2,CHENSonglin1

(1.School of Mathematics & Physics, Anhui University of Technoloy, Ma’anshan 243002,China; 2.School of Economics, Anhui University of Technology, Ma’anshan 243002, China)

A class of parametric excitation vibration problems with fractional derivative damping was studied. First of all, the asymptotic solution of the Mathieu vibration equation of the fractional derivative defined by the Riemann-Liouville was structured. In the case of different values of excitation parameters, asymptotic solutions were obtained by the method of multiple scales. The influence of fractional order index on the asymptotic solution was obtained.

multiple scales; fractional derivative; parametric excitation; transition curve

安徽省高校自然科學(xué)研究重點(diǎn)項(xiàng)目(KJ2016A084)

2015-12-07 修改稿收到日期：2016-01-21

葛志新 女，碩士, 實(shí)驗(yàn)師，1970年10月生

陳咸獎(jiǎng) 男，碩士, 副教授，1970年7月生 E-mail:chenxianjiang@sina.com

O175.14

A

10.13465/j.cnki.jvs.2017.04.014