熱環境對FGM殼模態頻率的影響

劉文光， 舒 斌， 郭隆清， 賀紅林

(南昌航空大學 航空制造工程學院,南昌 330063)

熱環境對FGM殼模態頻率的影響

劉文光， 舒 斌， 郭隆清， 賀紅林

(南昌航空大學 航空制造工程學院,南昌 330063)

為了推動功能梯度材料(FGM)在高超音速飛行器熱防護結構設計中的應用，旨在探討不同溫度場對熱防護殼模態頻率的影響，提供熱防護殼動力學設計參考。從陶瓷金屬基FGM的熱物性參數模型入手，結合圓柱薄殼能量原理，建立FGM圓柱殼的模態方程。在此基礎上，首先分析熱物性參數變化規律對FGM殼模態頻率的影響，然后探討考慮熱應力后不同熱環境下FGM殼模態頻率的變化規律。結果表明，FGM物性參數變化對模態頻率的影響沒有熱力耦合影響明顯；溫度梯度<300 K時，物性參數變化對模態頻率起主導作用，反之溫度梯度>300 K時，熱應力和熱變形對模態頻率起主導作用。

熱環境；熱防護系統；功能梯度材料；模態頻率

高超音速飛行器飛行時，因空氣黏性作用與物面邊界層內的氣流會產生強烈的摩擦，使氣流動能轉化為熱能，造成壁面附近溫度急劇升高，高溫空氣不斷向低溫壁面傳熱，引起很強的氣動加熱。而且，隨著飛行馬赫數越大，飛行器表面的氣動加熱程度將越嚴重，其表面外形、結構強度和剛度也將隨之改變，直接危及飛行安全。例如，哥倫比亞號航天飛機在再入大氣層時，因氣動摩擦產生了1 400°的高溫氣體，該氣體穿透左機翼損傷部位后融化了內部結構，致使機翼和機體融化，導致航天飛機解體。研究表明，氣動加熱問題的機理十分復雜，它不僅與高超音速飛行器的速度、高度、附面層狀態有關，而且直接影響飛行器結構的動力學特性[1]。因此，高超音速飛行器要合理設計熱防護系統，尤其要了解防護結構的強度、剛度以及氣動加熱對結構動力學特性的影響。

熱防護系統不僅要求安全和重量輕，而且還要求保護機身結構、材料具有低催化反應性，同時要求系統結構能適應變形和承受熱力載荷，能經受飛行時的氣動壓力變化。于是有學者試圖把功能梯度材料(Functionally Graded Material，FGM)應用于高超音速飛行器的熱防護系統結構。因高超音速的氣動加熱問題，使得熱環境下FGM結構的振動分析成為學術界與工程界的研究熱點，尤其是FGM板殼的振動問題。例如，基于一階剪切變形理論，MOKHTAR等[2]研究了FGM板的熱振動現象，SHUKLA等[3]研究了溫敏FGM矩形板的動力響應；PRAVEEN等[4]結合有限元方法分析了FGM板的非線性瞬態熱彈性動力學響應；ZHAO等[5]采用無網格法探討了溫敏FGM板的自由振動。為考慮非線性影響，HUANG等[6]基于高階剪切變形理論研究了熱力環境下FGM板的動態響應；KIM[7]研究了熱環境下有預應力作用時FGM板的振動特性；SUNDARARAJAN等[8]運用馮卡門假設的非線性公式，分析了均勻溫度場下溫敏FGM板的自由振動；YANG等[9]研究了有初應力的溫敏FGM板的動響應以及均勻熱變化條件下的熱效應。滕兆春等[10]用微分求積法計算了溫度影響下FGM圓環板面內自由振動的無量綱頻率，以及均勻升溫和非均勻升溫兩種情況下幾何參數、材料性質和溫度變化對面內自由振動頻率的影響。

盡管研究者對FGM板的動力學問題做了一系列的工作，但是多數研究還僅停留于只考慮材料物性參數隨溫度影響下的振動分析，很少涉及熱應力和熱變形對FGM殼振動特性的影響。結合FGM在熱防護系統上的應用前景以及圓柱殼是高超音速飛行器上的重要構件之事實，本文在探討熱物性參數變化對FGM殼模態頻率影響之基礎上，著重討論熱應力對FGM殼模態頻率的影響規律，為熱防護結構動力學設計提供理論支撐。

1 基本理論

1.1 FGM的熱物性參數模型

如圖1所示的陶瓷-金屬基FGM模型，其體積分數逐漸變化使FGM的性能在厚度方向上呈漸變形式，頂面和底面材料分別為純陶瓷和純金屬，中間為陶瓷基向金屬基的逐漸變化部分。

圖1 功能梯度材料的模型及坐標系Fig.1 The model and coordinate of the FGM

建立圖1所示的直角坐標系，為描述FGM的熱物性參數隨溫度的變化規律，通常用冪函數公式來描述FGM物性參數沿厚度方向的變化

Γ(z,T)=

(1)

式中：Γ為FGM的彈性模量E、泊松比ν、密度ρ和熱膨脹系數α等的屬性；下標C和M分別為純陶瓷和純金屬；z為厚度方向的坐標；N為體積分數指數；h為FGM板厚。

考慮在溫度影響下FGM的物性參數變化規律為非線性，即

(2)

式中：λ為FGM的物理屬性;T為環境溫度;λi為組成材料特有的溫敏材料屬性；T0為室溫(常取300 K);△T(z)為溫差只沿厚度方向變化。

為便于分析FGM熱物性參數的變化規律，表1給出了Si3N4/SUS304材料組份的溫敏系數[11]。

表1 Si3N4/SUS304溫敏系數

1.2 圓柱殼的模態方程

如圖2所示，高超音速飛行器熱防護系統結構簡化為FGM圓柱薄殼，薄殼的幾何參數為：平均半徑R、厚度為h、長度L。假設x，θ和z分別為殼的軸向、周向和徑向坐標，在殼體的中面上建立正交坐標系(x,θ,z)，即殼體中面的軸向、周向和徑向的位移分別為u，v和w。

(a) (b)圖2 熱防護系統FGM圓柱殼簡化幾何模型Fig.2 Simplified geometry model of a FGM cylinder shell for the thermal protection system

圓柱殼的應變能為[12]

2B11e11κ11+2B12(e11κ22+e22κ11)+

(3)

式中：e11，e22和e12為參照曲面的應變;κ11，κ22和κ12為參照曲面的曲率;Aij，Bij和Dij(i,j=1,2,6)分別為薄膜剛度、耦合剛度和彎曲剛度。

不計轉動慣量，圓柱殼的動能為

(4)

式中：t為時間;ρ為密度。

假設位移u,v和w函數形式為

(5)

式中：A、B、C為振幅；U、V、W為振型函數;n為圓周波數;ω為角頻率。

結合方程式(5)和最小能量原理，得到Lagrange函數表達式

F=Tmax-Smax

(6)

式中,Tmax和Smax分別為最大動能和最大應變能。

取Lagrange函數關于振幅A，B，C的極值，可得到用于確定圓柱殼的模態頻率和模態振型的特征方程

(7)

式中,矩陣元素dij取決于圓柱殼的幾何參數和幾何邊界條件。

2 熱環境對FGM殼固有頻率的影響

FGM在熱環境下其力學性能會受物性參數變化的影響，結構剛度和強度也隨之改變。同時，FGM因受熱不均或熱變形受到約束時，圓柱殼內部會產生熱應力，形成非線性剛度矩陣，進一步影響結構剛度和強度。本文首先分析均勻溫度場下FGM物性參數變化對FGM殼的模態頻率的影響，然后綜合考慮熱物性參數變化與熱力耦合，研究FGM殼模態頻率的變化規律。

2.1 熱物性參數變化對FGM殼模態頻率的影響

為簡化分析，忽略熱防護殼外表面與流動空氣的接觸對模態頻率的影響，并假定FGM殼的四邊均為固支邊界條件。計算時取FGM熱防護殼的幾何參數為：θ=0.1 rad，L=0.2 m，R=6 m，h=0.001 5 m。為考慮均勻溫度對FGM物性參數的影響，依次分析了溫度為300 K、500 K、600 K和800 K時FGM殼的各階次模態頻率，結果見圖3。

圖3 均勻溫度場下模態頻率隨體積分數的變化Fig.3 The modal frequency vs. volume fraction under the uniform temperature field

分析發現，FGM殼模態頻率隨體積分數指數N值的增大而減小，同一均勻溫度場環境下，高階模態頻率隨體積分數指數N值的變化程度更為顯著。

2.2 熱應力對FGM殼模態頻率的影響

為模擬表達高超音速飛行器熱防護殼的氣動加熱過程，假設FGM殼的溫度邊界條件為：殼體內表面溫度值為300 K，FGM殼體外表面的溫度區間為400～1 000 K。同理，假定FGM殼為四邊固支邊界條件。計算時取FGM殼的幾何參數為：θ=0.157 rad，L=0.6 m，R=6 m，h=0.004 5 m。

為對比均勻溫度場和溫度梯度場兩類熱環境對FGM模態頻率的影響規律，依次分析了體積分數指數值N=0.1條件下外表面溫度從400 K升高至1 000 K熱力耦合環境下的FGM殼模態頻率值，結果見圖4。

圖4 計熱應力后溫度場對模態頻率的影響Fig.4 Impacts of temperature field on the modal frequency with thermal stress

分析發現，均勻溫度下考慮熱應力后FGM殼的模態頻率明顯增大，第一階模態頻率變化較小，但隨著模態階次的升高模態頻率值變化率是先增大后減小。原因在于，雖然溫度升高，FGM的彈性模量和泊松比下降使結構模態頻率減小，但是溫度升高后熱應力產生的正剛度大于因彈性模量和泊松比下降而引起的負剛度，從而使FGM殼的振動模態頻率略有增加。進一步分析發現，當溫度T>600 K后，隨著溫度的升高，相同各階次模態頻率的增幅開始減小，即均勻溫度達到一定值后，各階次模態頻率的影響逐漸減弱。相反，線性溫度梯度下，熱力耦合時FGM殼的模態頻率下降明顯，而且隨著線性溫度梯度區間范圍的增大，越高階模態的頻率值隨溫度增加下降的速率有所增強。研究表明，和單純的物性參數變化對模態頻率的影響不同，由于熱應力和熱變形綜合影響，相同階次模態頻率隨著線性溫度梯度環境變化FGM殼的模態頻率值有同頻情況。

為進一步探討各種熱環境對FGM殼模態頻率值的影響，表2設計了幾種不同的工況，并針對這幾種工況進行了分析。

表2 計算工況的溫度設置

結果表明，高溫對FGM殼模態頻率的總體影響是使其值減小，室溫環境下模態頻率值最大，在加載均勻溫度場時，FGM殼的模態頻率最小，如圖5所示。

研究發現，各模態頻率曲線之間的間距隨模態階次升高越來越大，即隨著梯度溫度差的增大，溫度環境下熱力耦合對結構模態頻率的影響越來越大。結論表明，當陶瓷面溫度在700 K以下時，均勻溫度場環境下，考慮熱應力后的FGM殼模態頻率最小。同階次模態頻率的大小關系為

froom>flinear-M>funiform-M>flinear-T>funiform-T

當陶瓷面的溫度在800 K以上時，同階次模態頻率的大小關系為

froom>flinear-M>funiform-M>flinear-T

分析表明，FGM物性參數變化對結構模態頻率的影響沒有熱力耦合共同的影響大，線性溫度場條件下的FGM殼模態頻率比室溫環境小。

因此，為保證高超音速熱防護系統具有足夠的強度，進行動力學設計時必須考慮熱應力對結構模態頻率的影響。

圖5 不同熱環境對模態頻率的影響Fig.5 Impacts of thermal environment on the modal frequency with thermal stress

3 結 論

以高超音速飛行器熱防護FGM圓柱殼為研究對象，通過高溫結構熱力耦合殼體理論和FGM溫敏特性相融合，研究了多種溫度場下FGM殼模態頻率的變化規律，得到以下主要結論：

(1)考慮熱力耦合后FGM殼的模態頻率比單純考慮材料物性參數變化影響下的相同階次模態頻率大；溫度越高兩條曲線之間的間隔越大，說明均勻溫度場環境產生的熱應力對結構的模態頻率起主導作用。

(2)隨著溫度梯度區間的增加，FGM殼的物性參數如彈性模量等逐漸下降，而且彈性模量和泊松比的下降導致FGM殼的剛度下降，進而導致FGM殼模態頻率不斷下降。

(3)線性溫度場下，當金屬面和陶瓷面兩端的溫差△T<300 K時，物性參數變化對殼模態頻率起主導作用；反之，當金屬面和陶瓷面兩端的溫度△T>300 K時，熱應力和熱變形對殼模態頻率起主導作用。

(4)功能梯度材料的物性參數變化、熱應力和熱變形綜合影響著結構的模態頻率。

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Impacts of thermal environment on modal frequency of FGM shells

LIUWenguang，SHUBin，GUOLongqing，HEHonglin

(School of Aeronautic Manufacturing Engineering, Nanchang Hangkong University，Nanchang 330063，China)

In order to promote the application of functionally graded materials (FGMs) in the structure of thermal protection systems, the aim of this work is to study the impacts of different temperature fields on the modal frequencies of thermal protection shells and to provide some methods for dynamical design of hypersonic aircrafts. Starting from the thermal-physical property model of the ceramic and metal based FGMs, the modal frequency equation of an FGM shell was derived by using the energy principle. Thereafter, the impacts of the change law of thermal physical properties on modal frequencies were analyzed. And the change law of modal frequency of the FGM shell with thermal stress was discussed under different thermal conditions. Results indicate that the impacts of the change of physical properties on the modal frequency are less than that of thermal-mechanic coupling on the modal frequency. The change law of physical properties plays a main role on modal frequency when the temperature grade below 300 K while the thermal stress and strain plays a main role when the temperature grade above 300 K.

thermal environment; thermal protection system; functionally graded material; modal frequency

國家自然科學基金項目(51565039)

2015-10-20 修改稿收到日期：2016-01-12

劉文光 男，博士,副教授，1978年5月生

V215.4

A

10.13465/j.cnki.jvs.2017.04.020