電流變夾層板控制系統(tǒng)的傳感器優(yōu)化布置

陳春強(qiáng), 陳 前

(南京航空航天大學(xué) 機(jī)械結(jié)構(gòu)力學(xué)及控制國家重點(diǎn)實(shí)驗室，南京 210016)

電流變夾層板控制系統(tǒng)的傳感器優(yōu)化布置

陳春強(qiáng), 陳 前

(南京航空航天大學(xué) 機(jī)械結(jié)構(gòu)力學(xué)及控制國家重點(diǎn)實(shí)驗室，南京 210016)

為了解決ER夾層板系統(tǒng)的模態(tài)控制的實(shí)用性問題，研究了懸臂板模態(tài)坐標(biāo)估計和傳感器定位問題。按照變剛度模態(tài)控制算法的要求，給出了離散坐標(biāo)下模態(tài)坐標(biāo)估計的方法；根據(jù)連續(xù)結(jié)構(gòu)的振型分析，分析傳感器定位計算，建立了數(shù)學(xué)優(yōu)化模型；按照模態(tài)動能法初步篩選后，枚舉得到傳感器優(yōu)化布置方案，并且從估計精度和控制效果兩個角度進(jìn)行了布置方案的算例驗證。結(jié)果表明，優(yōu)化的傳感器布置能在較少的數(shù)目下，模態(tài)坐標(biāo)估計滿足模態(tài)控制算法的輸入需求。

模態(tài)控制算法；模態(tài)坐標(biāo)估計；傳感器布置優(yōu)化；MAC檢驗

電流變液夾層板(Electrorheological sandwich plate，ER夾層板)是一種振動控制新型的智能結(jié)構(gòu)，具有集被動控制安全、可靠和半主動控制適應(yīng)性強(qiáng)、控制效果顯著等特點(diǎn)。但這種結(jié)構(gòu)與工程應(yīng)用還有距離，還有某些實(shí)用性問題需要解決，例如簡單開關(guān)變剛度控制算法難以在連續(xù)結(jié)構(gòu)(梁、板)取得較好的控制效果，而在模態(tài)坐標(biāo)下設(shè)計控制算法是一個有效的解決方案[1]。而要實(shí)現(xiàn)模態(tài)控制，首要問題就是獲取模態(tài)坐標(biāo)。由于現(xiàn)實(shí)技術(shù)條件限制，不可能在所有自由度上布置傳感器，還應(yīng)當(dāng)用盡量少的傳感器獲得最有效的信息，以降低系統(tǒng)的復(fù)雜度；此外，研究[2-5]指出，夾層板結(jié)構(gòu)高階模態(tài)的振動能量將通過芯層的剪切變形得以消耗，也就是說控制器不需要所有模態(tài)的信息。因此，在ER夾層結(jié)構(gòu)的半主動控制系統(tǒng)中，對傳感器優(yōu)化布置從而實(shí)現(xiàn)模態(tài)坐標(biāo)估計，特別是低階模態(tài)是很有必要的。

模態(tài)坐標(biāo)估計包含了兩個步驟，估計手段和傳感器定位。模態(tài)坐標(biāo)估計包括模態(tài)觀測器和模態(tài)濾波兩種方法[6]，對于已經(jīng)建立了有限元模型，采用離散型模態(tài)濾波器是合適的，也利于數(shù)值檢驗。模態(tài)坐標(biāo)估計的傳感器定位，通常是基于結(jié)構(gòu)振型相關(guān)。對于復(fù)雜結(jié)構(gòu)的傳感器定位，振型通常是用有限元建模求得，是各節(jié)點(diǎn)的離散值，直接用于傳感器定位存在困難，插值法[7]具有優(yōu)化模型清晰和搜索快速的特點(diǎn)。

本文關(guān)注了ER夾層控制系統(tǒng)的關(guān)鍵技術(shù)模態(tài)控制和模態(tài)坐標(biāo)估計。首先，基于單自由度的開關(guān)控制策略介紹了適用于板的模態(tài)控制算法；隨后，采用了離散系統(tǒng)的模態(tài)坐標(biāo)估計方法，基于傳感器定位的優(yōu)化模型，給出了不同數(shù)目下的傳感器布置方案；最后，用估計值與精確值對比和控制效果對比兩種手段，驗證了模態(tài)估計方案、傳感器布置的有效性。

1 ER夾層板控制系統(tǒng)模型以及模態(tài)控制算法

如圖1所示的電流變液夾層板振動控制系統(tǒng)，將ER夾層處劃分為4節(jié)點(diǎn)7自由度單元，限于篇幅，有限元建模過程從略，得到如下的ER夾層板系統(tǒng)的控制方程

(1)

式中:零電場下的復(fù)剛度矩陣K*=K1+jK2，G(E)是由外加電場強(qiáng)度決定的剛度變化系數(shù)陣。

圖1 電流變夾層板振動控制系統(tǒng)Fig.1 The sandwich plate with an ER fluid core and a constraining layer

開關(guān)控制算法[8](Bang-Bang control，also called On-Off control)，是變剛度控制(Active Variable Stiffness，AVS)中最成熟的算法，其以位移和速度輸入，當(dāng)兩者符號一致時，控制輸出為1，系統(tǒng)附加上剛度；否則控制輸出為0，即撤去附加剛度，從而舍棄相應(yīng)的彈性應(yīng)變能。從以上描述可知，變剛度控制利用是剛度實(shí)部的變化，那么可以做以下模型簡化，略去剛度的虛部，即

(2)

記Φ是K1、M的關(guān)于M歸一化了的特征向量陣，用δ=ΦQ變換上式，并兩端左乘ΦT，可得

(3)

式中:左邊兩項的系數(shù)矩陣均是對角陣;第三項系數(shù)陣ΦTK1G(E)ΦT一般而言不會是嚴(yán)格對角的，但研究[9]表明，ER夾層板結(jié)構(gòu)的固有振型基本不隨電場強(qiáng)度變化而變化，這說明用任意電場工況下的振型進(jìn)行解耦，得到的第三項系數(shù)陣也是對角占優(yōu)的，略去其非對角元素，有

(4)

式中:fi為ΦTF向量的i元素;qi(t)為近似的實(shí)模態(tài)坐標(biāo)，在控制中，該值在每個采樣周期內(nèi)實(shí)測而得。

在控制算法設(shè)計之前，系統(tǒng)相關(guān)的參數(shù)，如質(zhì)量矩陣M、剛度矩陣K1以及包含主要振動能量的前p階模態(tài)的振型φ1,φ2,…,φp，應(yīng)當(dāng)首先獲得。那么，結(jié)合控制中監(jiān)測到的模態(tài)坐標(biāo)，可以獲得各階模態(tài)的振動能量U1,U2,…,Up。出于平衡各階模態(tài)的控制需要，引入由模態(tài)振動能量確定的權(quán)重系數(shù)向量Q。模態(tài)權(quán)重系數(shù)向量Q就由這些模態(tài)振動能量構(gòu)成，并進(jìn)行無量綱化

(5)

(6)

綜合考慮到前p階次模態(tài)的輸出要求，控制器輸出電場的綜合平均值為

(7)

式中，Qs為權(quán)重系數(shù)向量Q中的元素。

考慮到電場強(qiáng)度有其邊界條件限制，即不能超過最高強(qiáng)度Eb且保持非負(fù)，所以半主動模態(tài)控制算法(Semi-active modal control algorithm)的輸出的控制電場是

(8)

2 模態(tài)坐標(biāo)估計

(9)

式中:qr為第r階模態(tài)位移;φr為全體自由度的振型矩陣Φ的第r列。利用固有振型的正交性和關(guān)于質(zhì)量歸一化條件，模態(tài)坐標(biāo)可以表示為

(10)

對于復(fù)雜的離散結(jié)構(gòu)，模態(tài)階數(shù)N很大，通常采用模態(tài)截斷技術(shù)，考慮結(jié)構(gòu)的前n階模態(tài)，n?N。把由全部自由度的物理位移變換得到的模態(tài)坐標(biāo)認(rèn)為是精確值。實(shí)際控制中，在結(jié)構(gòu)上布置有p個傳感器，每個傳感器的測得的分別響應(yīng)為w1,w2,…,wp，即

(11)式中，φs,r為系統(tǒng)的s階模態(tài)向量中第r元素。不計噪聲信號，該組響應(yīng)與式(11)對應(yīng)相等，解一組線性方程組可得模態(tài)位移的估計值，分別把式(10)和式(11)中位移替換成速度，即可得到模態(tài)速度的精確值和估計值。

3 傳感器定位

3.1 傳感器定位計算

利用傳感器的輸出計算受控結(jié)構(gòu)的模態(tài)位移和速度，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)模態(tài)控制，而傳感器的數(shù)目和位置對模態(tài)位移和模態(tài)速度具有很大影響的。所以，需要考慮傳感器定位對從傳感器測量中提取模態(tài)坐標(biāo)精度的影響。由于有限元方法獲得的振型是各節(jié)點(diǎn)處的離散值，將其用于傳感器定位的優(yōu)化存在一定的困難，下面參考插值法，給出ER夾層板系統(tǒng)傳感器定位優(yōu)化過程。

選擇懸臂板的彎曲振動和面內(nèi)拉伸的振型函數(shù)為容許函數(shù)，下表層的振型函數(shù)與上表層類似，這里就不列出，即

(12a)

(12b)

(12c)

φi(x,y)=X(x)Yi(y)

(13)

(14)

式中:Φr(x,y)為結(jié)構(gòu)的彎曲振型;ηr(t)為第r階模態(tài)位移。

(15)

式中:xj和yj是傳感器的位置;G(x,y,xj,yj)是由傳感器布置點(diǎn)插值函數(shù)。

將式(15)代入式(14)，測量得到模態(tài)坐標(biāo)表示為qr(t)，即

(16)

式(16)也可寫成矩陣形式

(17)

(18)

式中:HM(i,j)=Φj(xi,yi)，i=1,2,…,l;j=1,2,…,m；HR(i,j)=Φm+j(xi,yi),i=1,2,…,l;j=1,2,…;m為量測模態(tài)數(shù)目;l為傳感器數(shù)目。

模態(tài)濾波的誤差

em(t)=ηm(t)-qm(t)=

(19)

忽略測量噪聲的影響，傳感器的定位問題可以表述為一個優(yōu)化問題

findxi,yi

(20)

subjectto0

約束條件中，Lx,Ly為ER夾層板在x,y方向上的最大尺寸，在有限元模型中，xi和yi為節(jié)點(diǎn)對應(yīng)的自然數(shù)。目標(biāo)函數(shù)J實(shí)際上是有量測模態(tài)和無量測模態(tài)對目標(biāo)模態(tài)誤差累積。另外，考慮到低階模態(tài)的響應(yīng)更大，是控制中模態(tài)估計的重點(diǎn)，對目標(biāo)函數(shù)采用了結(jié)構(gòu)模態(tài)頻率的加權(quán)，低階模態(tài)對應(yīng)的權(quán)重更大。為了簡便，插值函數(shù)G(x,y,xi,yi)可以選用齊次位移形函數(shù)。

3.2 傳感器優(yōu)化定位步驟

模態(tài)動能法 (Modal Kinetic Energy, MKE)是傳感器布置的傳統(tǒng)方法，其思想是在模態(tài)動能較大的自由度上布置傳感器，使其具有較高的信噪比。這里，首先采用MKE方法篩選出對前六階模態(tài)動能較大的位置，縮小優(yōu)化模型的搜尋范圍，然后利用優(yōu)化模型，即式(20)進(jìn)行枚舉搜索。結(jié)合電流變夾層板的控制系統(tǒng)的實(shí)際需要，給出傳感器的定位、布置和檢驗流程。

(1)建立ER夾層板結(jié)構(gòu)的有限元模型，模態(tài)分析獲得全體階次的振型信息，根據(jù)計算結(jié)果和控制需求確定監(jiān)測模態(tài)坐標(biāo)的階次，這里取前三階，即傳感器的布置數(shù)目>3。

(2)按照MKE法，在全體彎曲自由度上篩選出模態(tài)動能較大的自由度，每個階次選擇一定數(shù)目的自由度，將這些自由度集合起來，并刪除重復(fù)的自由度，組成傳感器的候選自由度。

(3)對候選自由度集合進(jìn)行組合，構(gòu)成傳感器布置的候選組合，按照式(20)的優(yōu)化模型，計算所有組合的目標(biāo)函數(shù)值，選取函數(shù)值最小的布置組合，傳感器數(shù)量l分別取為3、4、5和6，測量模態(tài)數(shù)目m定為3。

(4)采用置信度MAC矩陣(由確立的測點(diǎn)自由度組成的模態(tài)向量構(gòu)成)，對被測模態(tài)的交角狀況進(jìn)行判斷。

(5)為對控制系統(tǒng)中的傳感器布置方案進(jìn)行驗證比較，采用精度對比和控制效果對比兩種方法，具體的方法見下文算例中。

4 算 例

如圖1所示的ER懸臂夾層板，其幾何、物理參數(shù)見表1，ER材料參數(shù)參考DON[10]的研究。網(wǎng)格數(shù)9×6，滿鋪結(jié)構(gòu)共有441個自由度，其中63個是彎曲自由度，將這些彎曲自由度作為候選點(diǎn)，如圖2所示。

取ER夾層板的前三階模態(tài)為監(jiān)測模態(tài)，分別采用MKE方法和優(yōu)化方法，選取傳感器數(shù)目為6、5、4、3的情形，可以獲得表2所示的優(yōu)化后的傳感器布置方案。

表1 ER夾層板的幾何、物理參數(shù)

圖2 電流變懸臂版的有限元模型Fig.2 The finite element model of ER sandwich plate

數(shù)目方法傳感器位置節(jié)點(diǎn)編號目標(biāo)函數(shù)值J/%6MKE優(yōu)化(6，1)(6，7)(7，1)(7，7)(8，1)(8，7)(8，6)(8，3)(8，2)(6，4)(4，2)(4，7)2．70．55MKE優(yōu)化(6，1)(7，1)(7，7)(8，1)(8，7)(8，6)(8，2)(6，4)(4，7)(4，1)2．10．44MKE優(yōu)化(4，2)(4，6)(9，2)(9，6)(8，6)(7，7)(7，1)(4，1)3．30．93MKE優(yōu)化(8，6)(8，2)(9，6)(8，4)(7，7)(5，2)3．20．8

表2中第四列反映的是各種布置方案下的目標(biāo)值即量測誤差J，結(jié)果顯示，優(yōu)化的布置方案能大幅降低量測誤差。需要指出的是，由于量測模態(tài)數(shù)目與傳感器數(shù)目一致，傳感器數(shù)目越多，需要積累誤差的模態(tài)數(shù)目也越多，所以該結(jié)果未能完全反映出傳感器數(shù)目增加對估計精度的有效性。

在選擇測點(diǎn)時有必要使測量的模態(tài)向量保持較大的空間交角，從而盡可能的把原來模型的特性保留下來[11]，是進(jìn)行MAC檢驗的出發(fā)點(diǎn)。按照表2給出的傳感器布置方案，對前三階模態(tài)的MAC12以MAC13及MAC23值比較，如圖3所示，每個圖的左右兩部分四個值分別對應(yīng)著傳感器數(shù)目編號3、4、5和6。圖中可以看出MKE法布置方案確定的MAC陣的值較大，該方法獲得各階模態(tài)之間的正交性較差；而優(yōu)化方法時的MAC陣的值較小，特別是MAC12和MAC23的值更接近于0，也表明了優(yōu)化方法監(jiān)測模態(tài)之間具有更好的正交性和獨(dú)立性。另外也注意到傳感器數(shù)目對MAC值的影響較為復(fù)雜，MKE法和優(yōu)化方法中都沒有明顯的規(guī)律，在MAC13的圖中，兩種方法布置傳感器數(shù)目的影響幾乎是相反的，這也體現(xiàn)了傳感器布置數(shù)目和位置的隨機(jī)性。

顏曉晨忙把手中的杯子和碟子都放下，站起來，從角落里走了過去，恭敬地打招呼：“程先生，晚上好！想喝點(diǎn)什么？”

圖3 不同優(yōu)化方法和數(shù)目下模態(tài)間MAC值比較Fig.3 The comparison chart of MAC value

在ER夾層板控制系統(tǒng)中，采用優(yōu)化方法得到傳感器優(yōu)化布置的目的是快速、準(zhǔn)確地獲得廣義坐標(biāo)，從而作為控制器的輸入，最終在控制效果上得到體現(xiàn)。從這兩點(diǎn)出發(fā)，下面就幾種傳感器布置方案，進(jìn)行模態(tài)坐標(biāo)估計的精度和控制效果的比較。

選用激勵信號，隨機(jī)激勵(2～50 Hz, 5 s)和寬頻快掃頻(2～40 Hz,4 s)。首先，把式(10)得到的模態(tài)坐標(biāo)作為對照基準(zhǔn)，考察由式(11)估計得到的坐標(biāo)的準(zhǔn)確性，圖4比較了隨機(jī)激勵下模態(tài)位移估計的精度，由于快掃頻激振工況下，模態(tài)位移估計得較為準(zhǔn)確，而模態(tài)速度差異較明顯些，所以取模態(tài)速度對比如圖5所示。由于三種工況下的測量值和估計值都較為接近，把圖4(c)和圖5(c)框中的細(xì)部放大，對應(yīng)地獲得圖4(d)和圖5(d)。

圖4 隨機(jī)激勵下，模態(tài)位移估計值與精確值對比Fig.4 Comparison between estimate and exactitude value of the modal velocity

圖5 寬頻帶快掃頻激勵下，實(shí)測模態(tài)速度坐標(biāo)與準(zhǔn)確值對比Fig.5 comparison between estimate and exactitude value of the modal velocity

由圖4和圖5可知，兩種工況下，四種布置傳感器方案估計的模態(tài)坐標(biāo)的精度均較高，特別是第一階模態(tài)坐標(biāo)的估計值幾乎與精確值相等，這主要是該階模態(tài)坐標(biāo)的絕對值較大，估計的誤差較小，同時也是優(yōu)化模型中權(quán)重對低階模態(tài)傾斜的結(jié)果。而估計所得的第二、三階的模態(tài)坐標(biāo)，相對精確值的誤差稍大些，需要指出的是，這里的誤差體現(xiàn)在幅值的微小差異，相位信息是較為準(zhǔn)確的。另外，從細(xì)部圖圖4(d)、圖5(d)可以看出傳感器數(shù)目3時的誤差最大，而布置5、6個傳感器時誤差很小，特別是6個傳感器方案的估計模態(tài)坐標(biāo)曲線時幾乎與精確值曲線重合。

為直觀體現(xiàn)傳感器布置對控制系統(tǒng)的影響，采用式(8)給出的變剛度模態(tài)控制算法，選用模態(tài)坐標(biāo)的精確值和估計值作為控制器輸入。此處為體現(xiàn)差異，模態(tài)坐標(biāo)的估計值是由精度最低的3傳感器布置方案得到的。激振載荷選用隨機(jī)激勵，控制電場上限Eb=3 kV/mm，控制模態(tài)為前三階，為方便比較，選取統(tǒng)一測點(diǎn)p的位移時域響應(yīng)對比，如圖6所示。

圖6 隨機(jī)激勵下，模態(tài)坐標(biāo)精確值和估計值輸入時的控制效果Fig.6 Comparison between estimate and exactitude value for the control input

圖7 控制電場時程曲線Fig.7 Comparison of control electric field strength

圖6反映了兩點(diǎn)內(nèi)容，首先，變剛度模態(tài)控制能在全時域范圍內(nèi)抑制振動水平；其次，精確值和估計值輸入下的控制響應(yīng)幾乎是重合的，說明控制效果是極其相似的，說明即便是估計精度較低的優(yōu)化布置方案也能得到類似于精確輸入的控制效果。為進(jìn)一步說明該現(xiàn)象，圖7給出了控制中電場強(qiáng)度時域曲線，從圖中可以看出，兩種輸入下的控制電場雖然有所不同，但主要位置、構(gòu)形是一致的，這也是控制后響應(yīng)相似的原因。究其根源，圖4、圖5中已經(jīng)表明傳感器布置估計出的模態(tài)位移、速度的相位都是較為準(zhǔn)確的，也就是能量占優(yōu)的模態(tài)識別，而模態(tài)控制算法對而模態(tài)控制算法對輸入的模態(tài)坐標(biāo)精度要求不高。

5 結(jié) 論

通過數(shù)值計算進(jìn)行了估計精度和控制效果的驗證，驗證了本文模態(tài)坐標(biāo)估計方案和傳感器定位方法的有效性，主要得到了以下結(jié)論：

(1)變剛度模態(tài)控制算法能適應(yīng)復(fù)雜激勵工況，取得較好的振動控制效果，如圖6所示。

(3)當(dāng)控制輸入的精度不高時，控制仍然能取得令人滿意的效果，顯示了模態(tài)控制算法對系統(tǒng)輸入精確性要求較低，即該算法具備一定的魯棒性能。

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Optimal sensor placement in the control system of a sandwich plate with electro-rheological fluid

CHENChunqiang,CHENQian

(State Key Laboratory of Mechanics and Control of Mechanical Structures, Nanjing University of Aeronautics and Astronautics, Nanjing 210016, China)

Modal control algorithm and optimal sensor placement for an electrorheological sandwich plate under semiactive variable modality stiffness vibration control were investigated. First of all, on the modal coordinate, a modal coordinate estimation method was obtained according to the demand of the control algorithm. And then, an optimal model was developed based on the analysis of vibration mode shape. Lastly, complete enumeration was adopted after filtering the structure nodes and these optimal configurations were verified by two kinds of comparisons of precision in calculation and vibration control. The numerical example shows that this modal coordinate estimation from the configuration with a few sensors can satisfy the demands of modal control algorithm.

modal control algorithm; modal coordinate estimation; optimal sensor placement; modal assurance criterion

中央高校基本科研業(yè)務(wù)費(fèi)專項資金資助；江蘇高校優(yōu)勢學(xué)科建設(shè)工程資助項目

2015-05-27 修改稿收到日期：2016-01-21

陳春強(qiáng) 男，博士生,1987年生

陳前 男，教授，博士生導(dǎo)師，1951年生

O328; TP273

A

10.13465/j.cnki.jvs.2017.04.021