傳輸控制協議下網絡控制系統的H∞控制

王建華

華東交通大學電氣與電子工程學院，南昌 330013

網絡控制系統( Networked Control System, NCS) 是指通過實時網絡形成閉環的反饋控制系統[1-3],它融合了計算機、通信、網絡和控制等技術。與傳統的點對點連接方式相比 ，它具有連線少、信息資源能共享、易于維護和擴展等優點。 然而, 在NCS中不可避免地存在丟包、時延和錯序等因素,給NCS的應用帶來消極影響，甚至導致系統失穩。目前，NCS的研究越來越受關注,已逐步成為控制領域中的一個研究熱點。

目前 ,針對帶有延時的網絡控制系統方面的研究已取得了一定成果[4-14]。 文獻[4-7]考慮了含有常數延時的網絡控制系統的穩定性問題。文獻[4]給出了系統結構事件率和數據包丟失率之間的關系 ,確定出系統指數穩定的充分條件和容許數據丟包率,以及開環系統狀態和閉環系統結構的關系。文獻[5]通過帶有常數延時的無記憶信道研究了一類非線性系統控制問題。文獻[5]建模并分析了具有多重時延的多輸入多輸出(MIMO)網絡化控制系統。文獻[7]討論了一個數字控制器和多個控制對象通過一個共用的帶有延時的計算機網絡連接在一起的NCS設計問題。文獻[8-10]考慮了含有常數延時的網絡控制系統的穩定性問題。文獻[8]針對帶有隨機延時的 NCS提出了隊列預報延時補償方法 ,在控制器和執行器節點端分別設立接收緩沖區,將隨機的時變延時轉化為固定延時。文獻[9]在全狀態或部分狀態信息已知的條件下,設計了網絡誘導延時大于采樣周期的 NCS的隨機最優控制器,使得NCS指數均方穩定。文獻[10]針對隨機延時,提出了延時估計和在線獲得延時數據的方法。從網絡角度出發,網絡時延往往受到協議參數和調度算法等影響。

在考慮含有外部噪聲輸入的情況下，本文研究了一類時延網絡控制系統在傳輸控制協議(TCP)下的H∞控制問題。 首先, 為了同時改善網絡控制系統的控制性能和服務質量，本文基于傳輸控制協議設計了主動隊列管理算法。 該算法有利于縮減時變時延的變化范圍，從而有利于獲得期望的隊列長度。 其次, 結合Lyapunov理論和線性矩陣不等式理論，提出了H∞控制器的設計方法。 結論表明, 在H∞控制器和AQM共同作用下, 既能使具有外界噪聲輸入的網絡控制系統漸近穩定，又能縮小時延的變化范圍。最后, 通過仿真算例驗證了本文方法的有效性和可行性。

1 TCP下的NCS模型

考慮TCP 動態模型如下：

(1)

(2)

(3)

利用狀態反饋原理, AQM算法可表示為

(4)

其中：Kn=[kn1,kn2] 是待設計的AQM控制增益。 進一步地, 令δ(t)=[Δq(t),Δw(t)]T，將AQM (4) 代入TCP (1)中可得如下閉環系統：

(5)

考慮如下所示的一類具有外界輸入的線性被控對象：

(6)

其中：xp(t)∈Rn，u(t)∈Rm，y(t)∈Rr和r(t)∈Rp分別表示狀態、控制輸入、輸出和外部噪聲輸入;A0，B0，C0和H0為具有適當維數的矩陣。

圖1 TCP下NCS的基本結構圖

傳輸控制協議(TCP)下網絡控制系統(NCS)的基本結構如圖1所示。 本文假設網絡中的時延(數據在網絡中傳輸的往返時間)具有下界ηm和上界ηM, 即有ηm≤τ(t)≤ηM。 令狀態反饋控制器的控制增益為Kp，狀態反饋可表示為：

u(t)=Kpxp(t-τ(t))

(7)

(8)

注1 由式(3)可知, 網絡時延τ(t)取決于隊列長度, 且被控對象和AQM通過變量τ(t)進行交互，這導致系統式(8)成為一個非線性系統。

2 TCP下NCS的H∞控制器設計

定義 1 對于NCS 式(8), 如果存在控制增益矩陣K=diag(Kp,Kn), 使如下條件成立:

1) 當r(t)=0時, 閉環系統式(8)漸近穩定；

引理 1[14]給定正定矩陣Q∈Rm×m, 常量a,b滿足a

(9)

定理1 給定ηm,ηM, 對稱正定矩陣Ri(i=1,2), 控制增益矩陣Kp以及AQM增益矩陣Kn, 如果存在矩陣Uj(i=1,2…,6), 對稱正定矩陣P>0, 及標量λ>0, 滿足如下矩陣不等式：

(10)

證明 首先, 取如下Lyapunov-Krasovskii 函數：

(11)

其中：P>0 與Ri(i=1,2)是具有適當維數的對稱正定矩陣。基于式(8)求Lyapunov-Krasovskii函數式(11)關于時間t的導數可得：

(12)

其中：

根據引理1可得

(13)

和

(14)

將式(13)和(14)代入式(12)可得：

(15)

在式(15)兩邊加上yT(t)y(t)-λrT(t)r(t)可得：

(16)

接下來,

2)當v(0)=0,v(∞)≥0時, 必有

故有,

(17)

注 2 顯然,矩陣不等式(17) 是線性矩陣不等式,H∞控制增益和AQM算法增益可以直接通過利用LMI工具箱求解(17)的可行解來獲得。

3 算例仿真

選取被控對象式(6)的參數分別為：

設置常量β1=0.29,β2=0.14,β3=-0.29,β4=0.12， 將這些參數代入LMI 式(17), 利用LMI工具箱得可行解

令初始狀態為：

基于隊列長度的網絡誘導時變時延如圖2所示。 由圖可知, 網絡誘導時延最終停留在穩定值τ=0.6s處。 由此可見, AQM算法有利于縮減時延的變化范圍，使其停留在一個期望的穩定值附近。 NCS的狀態響應如圖3所示，由圖可知, 在外部噪聲輸入之前, NCS在t=40s時達到穩定狀態。 在外部噪聲加入以后, NCS在t=80s時重新回歸到平衡位置。 從而，驗證了本文方法的有效性。

圖2 網絡誘導時延

圖3 TCP下NCS的狀態響應

4 結論

在傳輸控制協議下研究了網絡控制系統的H∞控制器和AQM的算法設計。 首先, 為了同時改善網絡控制系統的控制性能和服務質量，基于傳輸控制協議,設計了主動隊列管理算法。 該算法有利于縮減時變時延的變化范圍，從而有利于獲得期望的隊列長度。 其次, 結合Lyapunov理論和線性矩陣不等式理論，在考慮外部噪聲輸入的情況下，提出了H∞控制器的設計方法。 結論表明, 在H∞控制器和AQM共同作用下, 既能使具有外界噪聲輸入的網絡控制系統漸近穩定，又能縮小時延的變化范圍。 最后, 通過仿真算例驗證了本文方法的有效性和可行性。

[1] 宋楊, 董豪, 費敏銳. 基于切換頻度的馬爾科夫網絡控制系統均方指數鎮定[J]. 自動化學報,2012, 38(5): 876-881.(Song Yang, Dong Hao, Fei Minrui. Mean Square Exponential Stabilization of Markov Networked Control Systems Based on Switching Frequentness[J]. Acta Automatica Sinica, 2012, 38(5): 876-881.)

[2] 郭一楠，張芹英，鞏敦衛，等.一類時變時延網絡控制系統的魯棒容錯控制 [J].控制與決策, 2008, 23(6):689-696. (Guo Yinan, Zhang Qinyin, Gong Dunwei, et al. Robust Fault-tolerant Control of Networked Control Dystems with Time-varying Delays[J]. Control and Decision, 2008, 23(6):689-696. )

[3] M B G Cloosterman, Nathan van de Wouw, W P M H Heemels, et al. Stability of Networked Control Systems with Uncertain Time-varying Delays [J]. IEEE Trans on Automatic Control, 2009, 54(7):1575-1580.

[4] 邱占芝, 張慶靈, 連志春, 等. 存在時延和數據包丟失情況下狀態反饋網絡控制系統的指數穩定性[J]. 信息與控制, 2005, 34(5): 567-575. (Qiu Zhanzhi, Zhang Qingling, Lian Zhichun, et al . Exponential Stability of State Feedback Networked Control System Withtime Delay and Data Packet Dropout [J]. Information and Control, 2005, 34(5): 567-575.)

[5] S Battilotti. Control over a Communication Channel with Random Noise and Delays [J]. Automatica, 2008, 44(2):348-360.

[6] L Feng, M James, T Dawn. Optimal Controller Design and Evaluation for a Class of Networked Control Dystems with Dist Ributed Constant Delay[C]. Proc of American Control Conf. Anchorage, 2002: 300923014.

[7] Park B I , Kwon O K. Network Design Accounting for Delay Information[J].Springer, 2004, 3314: 130-135.

[8] R Luck, A Ray. An Observer-based Compensator for Distributed Delays [J].Automatica, 1990, 26(5): 903-908.

[9] S. Hu , Q. Zhu. Stochastic Optimal Control and Analysis of Networked Control Systems with Long Delay [J]. Automatica, 2003, 39(11): 1877-1884.

[10] 鄭英, 方華京, 謝林柏, 等. 具有隨機時延的網絡化控制系統基于等價空間的故障診斷[J]. 信息與控制, 2003, 32(2): 156-159. (Zheng Ying, Fang Huajing, Xie Linbai, et al . Parity Space Based Fault Diagnosis of Networked Control System with Random Delay [J]. Information and Control, 2003, 32(2): 156-159.)

[11] G Walsh, H Ye,Bushnell L. Stability Analysis of Networked Control System [C]. Proc of the American Control Conf. California, 1999: 2876-2880.

[12] J Qiu, H Gao, S Ding. Recent Advances on Fuzzy-model-based Nonlinear Networked Control Systems: a Survey[J]. IEEE Transactions on Industrial Electronics, 2016, 63(2): 1207-1217.

[13] A W Al-Dabbagh, T Chen. Design Considerations for Wireless Networked Control Systems [J]. IEEE Transactions on Industrial Electronics, 2016, 63(9): 5547-5557.

[14] K Gu, V L Kharitonov, J Chen. Stability of Time-Delay Systems [M].S Birkhauser, 2003.