三垂線定理教學初探

文/鐘瑜

一、如何教學三垂線定理

(一)研究背景

在數學教學的探討這一方面，前人已經做了相當多的研究。紹興師專學報刊登的《論數學方法的教學》、南京師范大學韓龍淑博士提出的《數學啟發式教學研究》、東北師范大學劉先茹提出的《高中數學問題解決及其教學研究》、華東師范大學的吳駿博士提出的《基于數學史的統計概念的教學研究》等等。在教學的這個方面，學者們都下了不少的功夫，從各個層面去分析教學上的問題，以達到把我們的數學知識點在課堂上更加完美的呈現出來的目的。這樣的研究也有力的推動了我國數學文化的發展。

三垂線定理及其逆定理是整個立體幾何的一個典型代表，是立體幾何的一個重要定理。①三垂線定理是立體幾何知識的樞紐——三垂線定理在線面垂直的基礎上來研究直線間垂直關系的重要定理，它闡明了平面的斜線、射影以及平面內的直線三者的垂直關系，溝通了線線關系、線面關系，為今后學習面面垂直，空間角、多面體與旋轉體的性質等奠定基礎。并且，三垂線定理及其逆定理因涉及的概念較多、在立體幾何的證明中應用較廣而成為立體幾何的重點。②三垂線定理有利于培養學生的邏輯思維能力——三垂線定理及其逆定理是培養高中學生空間想象力和邏輯思維能力的重要內容之一。只要圍繞三垂線定理合理進行解題變式的訓練，將對學生的多種能力的培養有更加重要的、獨到的作用。

當然，在三垂線定理的教學探討上，很多學者也已對其進行了分析、解剖。他們分別對這個課題從講解的角度進行一一分析，對學生能力的培養，突破三垂線定理的教學的難點方法，三垂線定理的利弊等各方面進行探討。他們提出問題的同時也發表自己相應的觀點，并且以與學生共同探討的思想進行教學。目前在對教學探討上的研究仍是以數學方法、部分數學問題為主要方面，已有的教學探討對學生的學習情緒缺乏關注。本次筆者研究主要是基于前人的基礎上，分析出教師、學生這兩大因素給教學帶來的影響，根據這些影響尋求到一個較好的解決方案。

(二)如何進行三垂線定理的講解

三垂線定理及其逆定理本身來說并不是十分復雜的，但很多學生對定理的理解往往浮于表面。這就要求教師在教學的過程中應該注意以下幾個方面：一是，要強化三垂線定理的條件。教師在教學過程中要仔細的向學生剖析出三垂線定理的內容中的條件，和學生一起探討出三垂線定理中的條件與結論的含義。特別是要強調“平面內的一直線、這個平面的一條斜線、這條斜線在該平面內的射影”等一系列極其容易被忽視的條件；二是，教師應該在本堂課揭示三垂線定理及其逆定理的實質。三垂線定理及其逆定理都是研究線與線的垂直關系的，他們要揭示的實質都是：平面的一條斜線與該斜線在平面內的射影必然是同時垂直于該平面的某一條直線的。而這條斜線與其射影所垂直的那條平面的直線與斜線存在兩種關系，要么相交，要么異面。無論他們是什么樣的關系，教師只要抓住三垂線定理及其逆定理的實質，這樣有助于學生更好的理解，把握三垂線定理及其逆定理的知識點；三是，應該理清三垂線定理的結構關系。教師在教學三垂線定理的過程中，學生學習定理的一大難點是一時分不清楚各條直線之間的關系，教師應該幫助學生理清楚我們本節課所要涉及的面與線，線與線之間的關系，在教學的過程中給定一個支架圖，標明本節課所要涉及的面，線，讓學生一目了然的觀察出三垂線定理及其逆定理的條件與結論無非僅涉及了四線、三垂以及一平面，相信在這個環節，學生能清楚的了解到這四線分別是哪些，三垂是哪些線與線的垂直，面與線的垂直。在實際的學習中學生一定要先找到兩個垂直，再推出第三個垂直，這樣在以后的應用中就要容易許多。

在講完以上三點之后，教者可以安排以下的幾個問題，幫助學生明辨是非，消除對定理定義的模糊理解。

例題1下列命題是否正確，為什么？

(1)和平面斜線垂直的直線也和斜線在該平面內的射影垂直。

(2)直線a是平面α的斜線，直線b垂直于a在平面內的射影，則a⊥b.

(3)直線a是平面α的斜線，平面β內的直線b垂直于直線a在平面α上的射影，則a⊥b.

(4)直線a是平面α的斜線，平行于平面α的直線b垂直于直線a在該平面的射影，則a⊥b.

這四個命題中，僅有命題(4)是正確的，由這四個命題，我們進一步的強調了三垂線定理及其逆定理的相關條件和結論，而且，我們可以看出，三垂線定理及其逆定理的成立，都要求這四線是相對于同一個平面而言。

(三)正確區分三垂線定理及其逆定理

三垂線定理及其逆定理在理論上的敘述是極其的相似，因而，很多的學生在學習三垂線定理及其逆定理時很容易將它們的定義混淆，很多學生往往說不清楚誰是原定理，誰是逆定理，從而導致學生在知識的把握上感到頭疼。對此，我們教師就應該設法講清二者的區別，找到一種適合學生記憶的簡單的鑒別方法。事實上，三垂線定理是判定平面內的一條直線與平面的一條斜線即平面外的一條直線的垂直關系，那么我們就可以簡單記為判定平面“內、外”直線的垂直關系。而三垂線定理的逆定理是判定平面內的一條直線與平面的斜線在該平面內的射影的垂直關系，那么我們就可以簡單的記為判定平面“內、內”直線的垂直關系。在蔣建華《優化三垂線定理教學之管見》中表明教學中將這兩個簡單的記憶方式引出來，便易將三垂線定理及其逆定理更好的區分開來，并且這樣的教學方法使得教學效果顯著。

(四)三垂線定理及其逆定理是爪子定理的特例

在高中數學中，三垂線定理及其逆定理是爪子定理的一個特列所在，那么什么是爪子定理呢，我們一起來看一下。

爪子定理：如下圖所示，過平面α外一點O引一條斜線，交該平面于點A，過O點做平面α的垂線，交平面α于點B，連接直線AB，過點A做射線AC，AC在平面α上，所以有cos∠OAC=cos∠ BACcos∠ OAB， 當 ∠ BAC =90度，必有∠OAC =90度，此時為三垂線定理；當∠OAC =90度，必有∠BAC=90度，此時為三垂線定理的逆定理。中，自然而然的學會知識點的連線，總的來說，這一步的教學，有著重大意義。

(五)如何靈活應用三垂線定理及其逆定理

在高中數學的教學中，教師對三垂線定理及其逆定理的教學，主要是為了能讓學生靈活的應用三垂線定理及其逆定理，使得學生在遇到實際的問題時能運用三垂線定理及其逆定理進行解決。很多同學在學習了三垂線定理之后，遇到問題總是繞道而行，不知如何應用，那么教師在教學的過程中，應該著重的引導學生，培養學生靈活應用定理的能力，強化利用定理解題的意識。在教學的過程中我們要適度的利用例題的講解，充分借助平面位置變化打破學生的定勢思維習慣。因為三垂線定理及其逆定理都是四線相對于一個平面而言的，我們在解題的過程中，圖示可能存在幾個平面，那么我們應該選擇一個適當的參考系進行思考。在確定二面角的平面角的過程中應用三垂線定理法，從而進一步深化三垂線定理的功能。

例題 如圖1-110，MA⊥平面ABCD，四邊形ABCD是正方形，且MA= AB=A.試求：

(1)點M到BD的距離；

所以我們應該在講解這些知識點時，做一個適當的鏈接，讓它們聯系起來，這樣，學生更容易理解知識點，并且能拓展自己的知識面，看到爪子定理，自然而然腦海中就浮現三垂線定理及其逆定理的相關概念以及相關的知識點，能在數學學習

分析：(1)首先在讀題目時應該分析好已知條件是哪些，并在圖紙上進行一個標注，為后面解題做好準備，拿到一道題，不要急著下手，應該先思考這道題的實質是什么，要用到什么知識點。從第一小問，我們可以分析出，要求解點M到直線BD的距離，即要求解點M到BD直線垂線長。那么我們就要試著去尋找這條垂線。從題設，我們可以看出，要求解出線線垂直，而且相對于一個平面，那么我們就可以試著構造出四線，使得可以使用三垂線定理。我們記BD線段的中點為點O，連接AO，MO，由于四邊形ABCD為正四邊形，就可以得到AO垂直于BD，又因為AM垂直于正四邊形所在面，那么MO的射影為AO，從未得到MO垂直于BD，固線段MO為M到直線BD的距離，根據題目給出的數據就可以計量出其大小。在解題的過程中，我們需要充分的利用條件，依據題目和對圖形的分析，進而理清了本題的解題思路，而本題也正是利用三垂線定理進行了解題。本題目涉及了空間想象力，學生的觀察力，教師的有效引導。此題簡單易上手，學生在初步感受三垂線定理的應用的同時，也減輕其學習負擔。最后安排一兩道類似例題，從而提升學生應用三垂線定理及其逆定理的能力，增加學生學習空間幾何的信心。

(六)三垂線定理教學方法分析

本節課的教學，主要體現了建立模型、啟發引導、猜想論證、學習應用、發展能力的教學思想。讓學生動手做模型，教師演示指導，讓學生直觀地感受到空間線面、線線關系的變化。再在教師的引導下思考線面、線線垂直存在的因果關系，逐步推理，猜想命題，論證命題，從而發現定理，揭示定理的實質。對定理的應用，只要求學生在理解定理的基礎上理清應用定理證題的一般步驟，學會證明一些簡單問題。大部分學生認為空間幾何是整個高中數學的難點，所以在教學的過程中，學生學習起來總有畏懼心理。本節課的設計，能充分的讓學生感受到數學模型的魅力。安排的例題簡單易懂，讓學生輕松的接受，自然而然將心態放平。我們在教學的過程中，教師應該時時刻刻鼓勵學生動手、動腦，時時關心學生，讓學生在學習過程中與教師能建立起一種平等的關系。教學矛盾的主要方面是學生的學，學是中心，會學是目的，因此要在教學中不斷指導學生學會學習。根據立體幾何的教學特點，本節課主要是教給學生“動手做、動腦想、大膽猜、嚴格證、多訓練、勤鉆研”的研討式學習方法，這樣做教給了學生獲取知識的途徑，思考問題的方法，增加了學生的參與機會，增強了參與意識，，使學生真正能成為學習的主體。也只有這樣做，才能使學生“學”有

新“思”，“思”有所“得”，“練”有新“獲”，學生才會逐步感受到數學的美，會產生一種成功感，從而提高學生學習數學的興趣；也只有這樣做，才能適應素質教育下培養“創新型”人才的需要。同時本節課還應用了比較法，對三垂線定理及其逆定理進行比較，分析其相同點及其不同點，從而強化對三垂線定理與其逆定理的理解與記憶。

二、結束語

本文對高中數學的教學進行了分析和研究，通過本文的探討，我們了解到，數學這門科學不是我們所想的那么簡單的就能詮釋，一堂課的好壞不是這位老師講得有多么棒，而是在于學生學得有多么好，學得有多么自在，多么輕松，其中包含了許許多多的教學技巧。我們要深入教學的“四基”思想——基礎知識，基本技能，基本思想，基本活動經驗。注重學生心理的發展，在教學的過程中，要注重教學的有效性，真實性，教學要符合學生的認知水平，在整個課堂的教學中要注重學生的參與性，我們要盡量將課堂交給學生。教師掌握了學生的學習心理，便能更有效的完成教學任務，學生在學習的過程中自然而然就會表現的更輕松，學的更好。另外，在教學中我們應該充分的讓學生了解本節課的教學課程實質所在，真正的把握教學內容，從而解決實際問題，進而不斷的促進學生學習上的進步。

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