二階張量的特征問題

王 帥， 楊恩孝

(長春光華學院基礎教研部，吉林長春 130033)

二階張量的特征問題

王 帥， 楊恩孝

(長春光華學院基礎教研部，吉林長春 130033)

本文對二階張量的特征值與特征向量(函數)展開研究，并在此基礎上研究了對稱二階張量的特征值與特征向量，得到了一些較理想的結果．通過線性變換找到了在不同基底下的二階張量的特征．

二階張量；特征值問題；線性變換

1 二階張量概念與運算

(采用Einstein求和約定).

既然是物理量和幾何量,它們表述的事實就應該與坐標系的選取無關， 這就是張量的不變性.但在不同坐標系下,它們的分量卻不同.只有在坐標系變換下,張量分量遵循確定的變換規律才能表述張量的不變性.

(1.1)

式中Aii′Ai′i是變換系數,

(1.2)

Aij′Aj′j=δij,Ai′jAjj′=δi′j′， (i=1,2,3;i′=1′,2′,3′).

(1.3)

σi′j′=Ai′iAj′jσij, (i=1,2,3,;i′=1′,2′,3′),

(1.4)

(1.5)

(1.5)式正好表明張量的不變性.

張量的點積

是一階張量,這與用張量分量的縮并運算σijuj是相同的.

2 二階張量與線性變換

(2.1)

(2.2)

(2.3)

有

σi′j′=Ai′iAj′jσij.

2.2 二階張量的特征值問題

因為方程

(2.4)

(2.5)

亦即

(2.6)

(2.7)

確定.

2.3 對稱二階張量的特征值與特征向量

于是

而

因此

σ(α)(β)=e(α)ie(β)jσij

又因為

(σij-λ(α)δij)e(α)ie(β)j=0,

則有

σije(α)ie(β)j=λ(α)e(α)ie(β)i,

因此

即有

(2.8)

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[責任編輯 胡廷鋒]

The Characteristics of Second Order Tensor

WANG Shuai， YANG En-xiao

(Basic Research Section, Changchun Guanghua University, Changchun 130033, China)

In this paper, we study the eigenvalue and eigenvector (function) of second order tensor. On this basis, we obtain some ideal results for the eigenvalues and eigenvectors of symmetric second order tensor. The characteristics of two order tensors in different bases are found by linear transformation.

second-order tensor; Eigenvalue problem; linear transformation

O151．24

A

1009-4970(2017)02-0023-03

2015-02-03

王帥(1985—)， 男， 滿族， 吉林長春人， 碩士， 講師. 研究方向： 系統分析與建模.