不同支撐條件下方形帶孔薄板的彈性屈曲特性研究

劉 康， 胡廣鶴， 沈 樂

(中廣核工程設計有限公司上海分公司, 上海 200000)

不同支撐條件下方形帶孔薄板的彈性屈曲特性研究

劉 康， 胡廣鶴， 沈 樂

(中廣核工程設計有限公司上海分公司, 上海 200000)

冷彎薄壁型鋼由于其獨特的成型特性在各領域都有廣泛的應用。薄壁型鋼處于不同的約束形式條件工作。在實際應用過程中，常常根據需要，在冷彎薄壁型鋼腹板采用不同的支撐形式以及在不同位置采用機械方式沖剪不同直徑的孔洞-帶孔薄板。而在承受軸向壓力載荷的情況下，帶孔的薄壁型鋼將具有不同的穩定性，并且當荷載增大到一定程度，可能發生屈曲破壞。針對受均布載荷下帶孔薄壁板的彈性屈曲問題，通過有限元方法，研究方形薄板在不同支撐邊界條件下及不同位置不同孔徑的彈性屈曲特征性，以獲取其屈曲臨界載荷的變化規律及其對穩定性的影響。

均布載荷； 支撐形式； 帶孔薄板； 彈性屈曲

1 帶孔薄壁鋼板結構研究概況

薄壁鋼構件由于易成型和易開孔等工藝特性在現代鋼結構設計中應用非常廣泛，如薄壁型鋼組裝的貨架、電纜塔架以及船體內的格柵結構等。而在實際應用中不可避免地對薄壁型鋼進行開孔，但以往的問題重點是對薄壁型鋼桿件的彎曲和受壓的屈曲。雖然對帶孔薄壁鋼板的研究較早[1-2]，文獻顯示，大多是從載荷的作用形式等方面著手，且由于當時技術條件限制致使研究進展緩慢。M·AydinKomur和Mustafa Sonmez[3]對中心處開有不同直徑圓孔的方形薄板處于簡支條件下，一對邊分別作用集中載荷與局部均布載荷，且載荷沿著板邊移動時，研究了其屈曲臨界載荷的變化規律，得到在集中載荷從板邊向中心移動過程中，屈曲臨界載荷先增大后減小，且呈現類似正弦曲線特征的結論；同時在局部均布載荷下其屈曲臨界載荷也呈現類似的規律；該研究并沒有考慮不同邊界支撐條件的情況。Khaled和Mohammad[4]也通過有限元方法研究了對a=2b(a為長邊長度，b為短邊長度)的長方形簡支薄板四邊都作用均布載荷時，孔洞分別沿著長邊和短邊不同位置時的屈曲臨界載荷的變化規律，結論為孔洞的直徑越大，屈曲系數k越小，孔洞離載荷作用邊越遠，板的穩定性越高；這個研究同樣也沒有考慮不同邊界支撐條件的情況。N·E·Shanmugan、V·Thevendran與Y·H·Tan[5]建立了帶孔受壓薄板的屈曲臨界力的簡易計算公式，這個公式考慮了帶孔薄板的4種支撐形式，并且用ABAQUS軟件與公式計算結果進行了驗證，雖然結果吻合較好，但公式中的系數來源及其適用條件沒有說明。在實際應用中，帶孔薄板會根據不同情況采用不同的支撐形式，所以在研究帶孔薄板的屈曲特性時應該考慮不同支撐形式的影響，而目前對不同支撐條件下帶孔薄板的屈曲特性的研究成果仍然較少。

本文通過模擬工程上開孔薄板常用的4種支撐形式，采用有限元數值分析方法，在對有限元軟件中不同板殼單元類型和網格劃分方式對有限元數值分析結果精度的影響的同時，針對薄板在開孔孔徑以及開孔位置不同時，分析開孔的孔徑大小及位置對薄板屈曲臨界載荷變化規律和穩定性的影響規律，以供相應支撐形式的薄板在進行開孔操作時參考。

2 數值分析誤差分析及網格劃分

2.1 軟件ANSYS的適用性

ANSYS軟件[6]是融結構、流體、電場、磁場、聲場分析于一體的大型通用有限元分析軟件，是現代產品設計中的高級CAE工具之一。在ANSYS中，穩定分析分為兩類：線性或特征值屈曲分析和非線性屈曲分析。其中線性屈曲分析時線性或特征值屈曲分析考慮了應力剛化效應，這種效應會導致結構在承受應力后抵抗橫向載荷能力降低，當壓應力增加時，結構抵抗橫向能力減小。在某一載荷水平下，這種負的應力剛度超過線性結構剛度，造成結構屈曲。屈曲發生的點稱為分叉點，由于力-變形曲線達到該點后可能沿兩條不同途徑前進，所以當超過分叉點時，結構將屈曲或者在不穩定狀態下承受載荷；而要精確地確定屈曲載荷，應該使用非線性屈曲分析。非線性屈曲分析中得出的極限載荷通常比線性屈曲分析確定的分叉點低。這是由于非線性屈曲能考慮真實結構中存在的初始缺陷，以及幾何和材料的各種非線性。ANSYS程序在大變形分析中是把弧長法和Newton-Raphson法結合起來修正結構單元的方位，從而求出屈曲臨界載荷。當單獨使用增量Newton-Raphson法時，剛度矩陣可能會變成奇異矩陣。弧長法使Newton-Raphson平衡迭代沿一條弧收斂到其平衡路徑。因此，可避免矩陣在那些奇異點處變為奇異矩陣，并控制收斂性。

2.2 數值計算誤差分析

軟件ANSYS[6]進行帶孔薄板的屈曲臨界載荷分析中，兩類因素對計算對結果有影響，一是由于網格尺寸的大小造成的計算誤差，另一個是單元類型不同帶來的計算誤差。分析兩類計算誤差的影響程度，選取ANSYS軟件中的SHELL63、SHELL181、SHELL281 3種單元類型分別建模和進行屈曲計算，并通過結果進行對比分析，選擇其中一種進行帶孔薄板的屈曲臨界載荷研究。

對比分析中采用各項同性材料，其彈性模量取E=201GPa，泊松比μ=0.3，板厚δ=1mm，板大小為a×b=100mm×100mm。為了保證所選單元和網格大小能夠滿足研究的需要，用四邊簡支的無孔板，一邊受均布載荷作為比對標準。根據彈性力學[5]給出的屈曲臨界載荷理論公式：

Fc=k

(1)

(2)

式中：k為屈曲系數，本文取k=4；μ為泊松比，取0.30；δ為板的厚度，本文取1mm；b為板邊長，本文取100mm。

由式(1)、式(2)得到理論屈曲臨界載荷為72 593N。

ANSYS軟件分別用SHELL63、SHELL181、SHELL281 3種單元模擬，分別采用四邊形網格和三角形網格，并考慮了不同網格劃分密度。表1匯總了不同單元類型、網格形狀和尺寸的有限元計算結果和理論值之間的誤差。

由表1可以看出，四邊形網格時，SHELL63精度較高，SHELL281穩定性更高，三角形網格時SHELL281仍然體現了足夠的穩定性，其他兩個單元精度或穩定性較差。并且注意到當網格尺寸達到a/30時，計算的精度已經足夠高。

2.3 單元網格劃分選用

考慮實際工程中板內開孔的不同情況，在網格劃分時可能會出現三角形網格，需要關注計算分析的穩定性。綜合考慮，本文分析時選用SHELL281單元，三角形網格，網格尺寸為a/30，以確保各單元的計算精度。有限元網格劃分模型見圖1。

圖1 有限元模型

3 模型構建

本文研究的重點是在均布載荷q作用下，不同直徑的孔、孔中心在方板的中心線上分別沿X或Y軸上移動到對邊時板的屈曲臨界載荷變化規律(圖2)。孔洞移動方式分兩種情況，一種是孔中心沿著板的X軸方向移動(當孔中心落在Y方向中心，沿X方向從邊4向邊2移動稱為X方向移動)；一種是孔沿著Y方向移動(當孔中心落在X方向中心，沿Y方向從邊1向邊3移動稱為Y方向移動)。

表1 誤差表

圖2 孔洞中心移動方式示意

3.1 參數選用

研究使用的材料是各項同性，彈性模量E=201GPa，泊松比μ=0.25，正方形板，邊長a=b=100mm，板厚δ=1mm；孔直徑d取5種大小的孔徑，分別為d/a=0.05、0.1、0.15、0.2和0.25。孔中心到板邊的距離為ex，X方向分取9個位置，ex/a=0.3、0.5、0.7、0.9、1.0、1.1、1.3、1.5和1.7；Y移動位置與X方向相同。

3.2 邊界條件

由于板的支撐條件對帶孔板的屈曲臨界力影響較大，所以對板每邊的約束要明確指定以滿足研究的需要。圖3給出了采用的薄板支撐形式。

圖3 薄板支撐形式

圖3中的4種約束條件分別為：

(1)四邊簡支-支撐1: 邊1約束Z方向，邊2約束Z方向，邊3約束Y和Z方向，邊4約束X和Z方向；

(2)三邊簡支、一邊自由邊-支撐2：邊1為自由邊；邊2約束Z方向；邊3約束Y和Z方向；邊4約束X和Z方向；

(3)一邊夾支、一邊自由邊-支撐3：邊1為自由邊；邊2約束Z方向；邊3約束Y和Z方向；同時約束X軸的轉動；邊4約束X和Z方向；

(4)兩邊夾支-支撐4：邊1約束Z方向，同時約束X軸的轉動；邊2約束Z方向；邊3約束Y和Z方向，同時約束X軸的轉動；邊4約束X和Z方向。

4 不同約束條件計算結果分析

4.1 四邊簡支孔板-支撐1

在薄板采用四邊簡支時，在孔洞沿X方向移動過程中，計算結果見圖4。屈曲臨界載荷先降低后升高，呈類似拋物線特征。孔在板的中心時屈曲臨界載荷最小。經過與四邊簡支無孔板的臨界荷載對比我們注意到，孔在ex/a=0.15附件時，帶孔板的穩定性比無孔板的穩定性高，而且隨著孔徑增大穩定性也提高；當ex/a大于0.15時，帶孔板穩定性比無孔板差，且開孔越大，屈曲臨界載荷越小，當ex/a接近0.85時，屈曲臨界載荷又趨于相同，并且接近于無孔板的屈曲臨界載荷。

圖4 孔洞沿X方向移動

在孔沿著Y方向移動過程中，分析結果見圖5。臨界屈曲荷載明顯低于四邊簡支無孔板的臨界屈曲力荷載，板的穩定性降低，且孔徑越大臨界屈曲荷載越小。同時可以觀察到，當孔徑d/a小于0.15時，孔中心在Y軸上的位置對臨界屈曲荷載影響不大。

圖5 孔洞沿Y方向移動

4.2 三邊簡支、一邊自由邊板-支撐2

三邊簡支、一邊自由邊時，孔沿著X方向移動過程中，孔板的屈曲臨界載荷先降低后升高，呈類似拋物線特征(圖6)，孔在板中心時，孔板的屈曲臨界載荷最低。

圖6 孔洞沿X方向移動

當孔沿著Y方向移動過程中(圖7)，孔板的屈曲臨界載荷逐漸增大。

圖7 孔洞沿Y方向移動

依據圖6、圖7的所示結果，無論孔洞沿X或Y方向移動，薄板采用支撐2時屈曲臨界載荷均比無孔板小。

4.3 一邊夾支、一邊自由邊板-支撐3

一邊夾支、一邊自由邊時，孔沿著X方向移動過程中，屈曲臨界載荷無明顯變化(圖8)，屈曲臨界載荷基本隨孔洞的直徑增大而降低，只有當ex/a=0.75后，屈曲臨界載荷降低的比較明顯。

圖8 孔洞沿X方向移動

當孔沿著Y方向移動過程中(圖9)，d/a=0.05的孔的屈曲臨界載荷無明顯變化，隨著d/a增大，屈曲臨界載荷逐步減低的幅度比較大，即孔徑越大屈曲臨界載荷越小；在相同的d/a時，卻隨著ey/a的增大，屈曲臨界荷載有所逐步提高，在ey/a大于0.75后又呈減低趨勢。

圖9 孔洞沿Y方向移動

從圖8、圖9可看出，當薄板采用支撐3時，無論孔洞沿X或Y方向移動，屈曲臨界載荷均比無孔板小。

4.4 兩邊夾支板-支撐4

兩邊夾支的帶孔板，孔沿著X方向移動過程中，屈曲臨界載荷呈現類似正弦波的形狀(圖10)，當孔在方板的中心附近時屈曲臨界載荷最大；當ex/a大于0.60后，孔徑越大，屈曲臨界載荷越小。

圖10 孔洞沿X方向移動

當孔沿著Y方向移動過程中，屈曲臨界載荷呈現類似拋物線特性(圖11)，孔在方板的中心附近時屈曲臨界載荷最大，即隨著ey/a的變化，屈曲臨界載荷經歷由小變大，但孔洞在板中心附近，屈曲臨界載荷最大，隨后又逐步減少。ey/a等于0.15和0.85時，隨孔徑增大，屈曲臨界載荷越小。

圖11 孔洞沿Y方向移動

依據圖10、圖11所示，孔洞在板邊緣，其屈服臨界荷載均小于無孔板；同時我們注意到，孔在板中心附近時，無論孔徑大小，均比無孔板更加穩定。

5 結 論

通過有限元方法，分析a=b=100mm、δ=1mm的帶孔薄板承受均布載荷、4種支撐形式時的屈曲臨界荷載的變化規律，其中孔的直徑d及孔的位置ex或ey是重要的控制變量，并可以得出以下結論：

(1)薄板采用支撐1時，在孔洞開在ex/a小于0.20位置，有助于提高板的穩定性，并且隨孔徑的增小穩定性越好。在其他位置開孔，無論孔的大小均比無孔板的穩定性差。

(2)薄板采用支撐2和支撐3的形式時，無論孔徑的大小及在板中任何位置，板的穩定性都比無孔板有所降低，且孔徑越大，板的穩定性越差。

(3)支撐3的形式，當ex/a=0.45～0.55時，帶孔板的屈曲臨界載荷最大，在該位置開孔比無孔板更穩定。當ex/a=0.75屈曲臨界載荷最小，孔徑越大屈曲臨界載荷越小。

(4)支撐4與其他3種支撐對比發現，無論薄板孔徑大小，只要開孔在板的中心附近，均可提高了薄板的穩定性。

(5)根據本文的研究，對方形薄板開孔并不一定降低薄壁型鋼的穩定性，有時在適當位置開孔甚至有助于提高薄板的穩定性。

[1]M·Z·Khan，K·C·JohnsandB·Hayman，Bucklingofplateswithpartiallyloadededges[J].J.struct.Div，ASCE103. 1977: 547-558.

[2]C·J·Brown，Elasticstabilityofplatessubjectedtoconcentratedloads[J].Comput.Struct. 1989 (33): 1325-1327.

[3]M·AydinKomur，MustafaSonmez，Elasticbucklingbehaviorofrectangularplateswithholessubjectedtopartialedgeloading[J].JournalofConstructionalSteelResearch， 2015(112): 54-60.

[4]KhaledM.EI-Sawy，MohammadIKbalMartiniElasticstabilityofbi-axiallyloadedrectangularplateswithasinglecircularhole[J].Thin-WalledStructures, 2007(45): 122-133.

[5]N·E·Shanmugan，V·Thevendran，Y·H·TanDesignformulaforaxiallycompressedperforatedplates[J].Thin-WalledStructures, 1999(34): 1-20.

[6]ANSYSVersion12.1

[7] 徐芝綸. 彈性力學[M].高等教育出版社，2006.

劉康(1982～)，男，碩士，工程師，從事鋼結構力學計算;胡廣鶴(1985～)，男，工程師，本科，從事鋼結構力學計算；沈樂(1985～), 男，工程師,碩士，從事鋼結構力學計算。

TU33

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[定稿日期]2016-09-26