關于函數極限一題多解的探討

曾春花

【摘 要】函數極限是微積分的基礎，求極限更是高等數學中的基本運算之一。本文通過對函數極限例題一題多解的探討，使學生熟練掌握求極限的方法，并且培養學生數學思維的靈敏性，提高解題能力。

【關鍵詞】極限；等價無窮小；洛必達法則

The Function Limit Discussion on Multiple Solutions to a Problem

ZENG Chun-hua

（School of Mathematical Sciences， Kaili University， Kaili Guizhou 556011，China）

【Abstract】Limit of function is the basis of calculus. Solveing the limit is one of the basic operations of higher mathematics. In this paper， through the function limit example discussion on multiple solutions to a problem， so that students master the method of solveing limit. It raises the sensitivity of students mathematical thinking，and improve problem-solving ability.

【Key words】Limit；Equivalent infinitesimal；Lobidas law

極限理論是高等數學的重要內容，其思想理念貫穿了高等數學的始終，掌握極限的概念和計算是學好高等數學的基礎。如何求函數極限是在高等數學教學中的重點，求極限的方法有很多種，如利用極限定義；利用極限的運算法則；利用函數的連續性；利用兩個重要極限；利用等價無窮小量的替換；利用夾逼準則；利用洛必達法則；利用函數的單調有界性；利用微分和積分的中值定理等等。有關求函數極限的論文很多，例如：文獻[1-3] 探討了求函數極限方法、技巧與應用例析；文獻[4]研究了函數極限定義；文獻[5]陳龍衛討論了函數極限計算的一般步驟及其在考研數學中的應用。在求函數極限時從不同角度出發，就得到不同的解題方法，本文通過函數極限例題的一題多解，使學生熟練掌握求極限的方法，并且培養學生數學思維的靈敏性，提高分析和解題能力，從而提高學生的學習興趣。接下來通過例題來進行分析：

例1 求極限

解法一：這是“”型未定式，利用洛必達法則得==n

解法二：先利用二項式定理把（1+x）n展開得

==

再利用利用等價無窮小量的替換，當x→0時，sinx～x，于是

==C+Cx+…+Cx=n

解法三：利用微分的定義所得的等式，由于（1+x）n=1+nx+o（x），

所以====n

解法四：利用等價無窮小量的替換，當x→0時，sinx～x，（1+x）n-1～nx，于是==n

解法五：利用等式an-1=（a-1）（1+a+a2+…+an-1），于是（1+x）n-1=x[1+（1+x）+（1+x）2+…+（1+x）n-1]

因此==n

例2 求極限（1+）x

解法一：利用重要極限（1+）φ（x）=e和冪指函數的連續性得（1+）=（1+）x=e=1

解法二：由于（1+）x=e，而當時x>0，ln（1+）<，于是1≤（1+）x=e≤e，且e=1，利用夾逼準則，得（1+）x=1

解法三：由于（1+）x=e，由復合函數的連續性得（1+）x=e=e=e=e=e0=1

利用夾逼準則求極限時，關鍵要將所給函數適當的放大和縮小，且放大和縮小后的函數有相同極限，通常在求無窮多項和或積時，夾逼準則是一種有效的辦法。利用無窮小量替換時，只有分子分母中的乘積因子才能替換，而對函數的加減運算的項不能替換。

通過上面函數極限例題的一題多解，觀察到了函數首先要通過公式或恒等變形進行轉化，再來求極限。因此平時應熟記常用公式、恒等變形和等價無窮小量，對解決求極限問題事半功倍。通過一題多解的例子，使學生更熟練掌握求極限的方法，并且培養學生數學思維的發散性、靈敏性，增強了解題能力。

【參考文獻】

[1]周世新.關于函數極限求法的探討[J].呼倫貝爾學院學報，2009，1：70-72.

[2]王亮.函數極限的求法、技巧與應用例析[J].河南科技，2013，24：186-188.

[3]賈玉峰.淺談高等數學中求函數極限的方法[J].赤峰學院學報（自然科學版），2008，3：15-17.

[4]周志昂，杜燕，蘇翃.函數極限定義研究[J].重慶理工大學學報（自然科學），2013，5：129-131.

[5]陳龍衛.函數極限計算的一般步驟及其在考研數學中的應用[J].蘭州文理學院學報（自然科學版），2014，3：121-124.

[責任編輯：朱麗娜]