高階殘差修正GM(1,1)區間預測模型及其應用

張 磊，孫長青

(1.中國人民解放軍66021部隊，天津 301900； 2.沈陽工程學院 機械學院,沈陽 110136)

【基礎理論與應用研究】

高階殘差修正GM(1,1)區間預測模型及其應用

張 磊1，孫長青2

(1.中國人民解放軍66021部隊，天津 301900； 2.沈陽工程學院 機械學院,沈陽 110136)

提出了一種Markov高階殘差修正GM(1,1)區間模型，在GM(1,1)模型的基礎上對擬合數據殘差項的絕對值運用Markov模型進行數據擬合，通過將殘差項疊加的方式逼近數據真實值。根據殘差項的正負狀態構建了預測區間，并通過數值模擬論證了預測區間的適用范圍與合理性，運用Markov模型對預測區間進行了修正和改進，給出了Markov高階殘差預測區間的表達式。分析結果表明，模型弱化了灰色發展系數的取值條件，并且計算修正殘差的階數越高，預測區間結果可靠性越高，避免了根據概率大小選擇預測結果所產生的預測風險，提高了預測結果的可靠性。

GM(1,1)模型；殘差修正；Markov模型；需求預測

隨著我國“軟科學”的逐步發展和普及，運用各類數學模型進行需求預測的方法在決策領域發揮著日益重要的作用。與此同時，對于模型的精度和合理性方面的要求也越來越高。

基于傳統概率統計理論所構建的數學模型往往要求數據變化存在某種規律或者服從某種概率分布，這使預測變得非常困難。以新型裝備的備件需求量為例，因其投入使用速度的加快，以及裝備使用環境的復雜性，影響備件需求預測數量的因素非常之多，很難從中找到數據的變化規律?；疑獹M模型能夠較好地處理“小樣本”、“貧信息”等不確定性系統的預測問題[1]，在各個領域得到廣泛應用[2-4]。但當數據變化跳躍性較大時，GM(1,1)模型預測結果會產生較大誤差。不少學者通過修正GM(1,1)模型產生的殘差，提高GM(1,1)模型的預測精度，特別是Markov模型，具有無后效性的優點，非常適合預測GM模型殘差的變化，因此近幾年來相關研究比較活躍，如王秋萍等[5]將Markov殘差修正的灰色GM(1,N)模型運用于預測糧食產量，宋強等[6]運用Markov修正模型預測機床切削力等。在運用GM(1,1)模型做備件和維修器材需求預測方面也有類似研究，趙平等[7]提出了運用Markov殘差修正的灰色GM(1,1)模型預測裝備維修器材消耗情況，王鐵寧等[8]運用加權Markov修正模型對預測結果進行修正，均取得非常理想的效果。

然而，運用Markov相關模型解決GM模型產生的殘差，并最終得出預測值的方法卻存在部分缺陷。比如，Markov模型要求將GM模型產生的殘差人為地劃分狀態區間，其劃分標準不一將在較大程度上影響模型精度[8-9]。同時，Markov模型最終得到的僅僅是其結果數值處于某一狀態的概率值，在取得概率較大狀態結果的同時，忽略了其他狀態結果的可能性，甚至有可能使預測結果更加偏離真實值，為決策增加風險因素。單一的預測結果不利于為多樣性決策提供有力支撐。

因此，本文在“區間預測”思想的基礎上[10]，通過求解高階殘差對擬合值進行修正并構建預測區間，通過數值模擬論證了GM(1,1)高階殘差區間模型在提高預測精度上的有效性，運用Markov模型對模型進行了改進，給出了高階殘差預測區間的表達式。為保障決策提供了較為“大膽”和相對“保守”的預測結果，有效提高了運用Markov模型修正GM(1,1)預測結果的可靠性。

1 GM(1,1)模型的建立

1.1 模型基本原理

由定義可知，{x(0)(k)}為原始序列，GM(1,1)模型的可以描述為

(1)

1.2 邊界條件的確定

(2)

2 殘差修正區間模型

2.1 殘差修正模型

根據原始數據序列和GM(1,1)模型的擬合值序列，可以定義殘差序列

(3)

由于式(3)為絕對值形式，在殘差修正GM(1,1)模型中，不同時滯下殘差修正模型可以表達為

(4)

(5)

a1和b1分別為擬合1階殘差時的系數。

2.2 高階殘差GM(1,1)區間模型

同理，在對GM(1,1)模型擬合的數據進行1次殘差修正后，為提高擬合精度，仍然可以在修正后的序列基礎上繼續進行殘差擬合修正，即

(6)

由式(4)可以看出，殘差的正負影響著預測值的準確與否，將式(5)中的δ(k+1)帶入式(6)，便得到了高階殘差修正模型。在理想狀況下，這種模型擬合精度非常高(這一點在實例分析中說明)。因此，從決策的實際角度來看，可以考慮預測的真實值落在某一區間：

2.3 數值模擬

分別令a=0.1,0.2,…,0.7，取k=1，2,…,10，按照x(k)=eak構造指數序列，將前6位數作為已知序列，運用式(1)和式(2)進行計算，并運用式(3)～式(6)構造預測區間。將后4位數作為預測對比值，計算結果如表1所示。

表 1 1階殘差區間預測模型模擬

2.4Markov修正區間模型

當序列變化的幅度較大時(即R0較大時)，便會造成灰度區間過大和側重方向無法體現等問題。

根據殘差變化情況判斷,其正負變化過程存在Markov鏈的變化特點，于是便可以根據殘差的正負關系劃分Markov鏈的狀態：將殘差符號為正時的狀態定義為狀態1，殘差符號為負時的狀態定義為狀態2。在預測時，根據不同狀態概率的大小取定符號，即

(7)

其中，pk+1(j)為在k+1時刻，處于狀態j的概率，j=1，2。

由式(7)可知，在實際預測時，不能忽略δ(k+1)取不同值的可能性，特別是pk+1(1)與pk+1(2)相差不大時，預測便存在“賭博”的特性。然而區間形式的預測結果卻能很好地彌補這一缺陷，可以將1階殘差預測區間改進為

這一數值反映了原始數據跳躍變化的幅度大小，由模擬區間可以看出，當數據跳躍變化的幅度逐漸減小時，預測區間將逐漸縮短，預測區間和擬合值都將收縮為傳統GM(1,1)模型的預測值。

同時顯然有

ipk + 1(2) +ipk + 1(1) = 1

當考慮1階殘差修正的情況下，由式(8)可知，當1pk + 1(1)→1時，有1pk + 1(2)→0。此時變為

當1pk + 1(2)→1時，有1pk + 1(1)→0。此時模擬空間變為

此時，模擬區間預測結果類似于傳統模型的預測結果。

3 實例分析

以文獻[8]中的裝備備件統計數據為例，2004—2013年備件S需求數量序列為

x(0)={86,91,102,91,103,101,93,94,107,99}

因為該數據引自文獻[8]，故在此不再進行級比檢驗。同時，為便于進行數值說明，保留小數點后4位小數。

3.1 3階殘差GM(1,1)模擬

將式(9)代入式(1)～式(6)，計算前3階殘差修正模型，計算結果如表2所示。

表2 GM(1,1) 模型擬合結果以及各階殘差修正擬合結果

由表1可以看出，由于數據變化幅度較大，傳統GM(1,1)的相對誤差較大，達到4.53%。同時可以看到，殘差計算階數越高，平均相對誤差越小，擬合值與真實值之間就越接近，從備件需求數量擬合的角度來看，3階殘差模型擬合出的數值幾乎與真實值完全一致。因此可以認為，只要階數m足夠大，且模型發展系數a無較大變化，即在沒有新的突變因素的干擾下(如設備操作環境沒有大幅度變化、設備操作方式沒有大幅度改變等)，以m階殘差修正后的GM(1,1)區間必將涵蓋序列在k+1時刻的真實值，即：[93.856 6, 109.162 7]。

然而，這一區間不能體現決策時殘差正負的傾向性，而且區間長度太長，無形當中降低了決策的可操作性，因此采用Markov模型預測殘差正負的變化情況。

3.2 Markov修正區間

如前文所述，將殘差符號為正時的狀態定義為狀態1，殘差符號為負時的狀態定義為狀態2。根據表2中各階殘差變化的次數統計并建立一步狀態轉移矩陣:

初始狀態概率為：

其中，iP為第i階殘差的一步狀態轉移矩陣。再由切普曼-柯爾莫哥洛夫方程計算各步長的狀態轉移矩陣，最后計算不同時刻下的狀態概率，計算結果如表3所示。

表3 各階殘差計算不同狀態概率的計算結果

計算可得預測區間為：[98.034 9, 105.687 9]。

因此在這個預測區間里較大膽的預測值為98，而較為保守的預測值為106。

4 結論

2) 當數據跳躍變化的幅度逐漸減小時，預測區間將逐漸縮短，預測區間和擬合值都將收縮為傳統GM(1,1)模型的預測值。當其中一個狀態對應的轉移概率無限接近于1時，該模型將退化為類似傳統模型。

3) 在無突變因素影響的前提下，計算殘差階數越高，數據擬合的平均相對誤差就越小。從實際運用的角度來看，如果計算階數足夠高，相對誤差可以忽略不計。在沒有新的突變因素的干擾下，以高階殘差修正后的GM(1,1)區間必將涵蓋序列預測的真實值。

4)區間式的預測結果很好地避免了根據概率大小選擇預測結果所產生的預測風險，同時為決策提供了較為大膽和相對保守的預測值，提高了預測結果的可靠性。

[1] 劉思峰.灰色系統理論及其應用[M].北京:科學出版社,2014.

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[5] 王秋萍,閆海霞,閆建波.Markov殘差修正的灰色GM(1,N)模型在糧食產量預測中的應用[J].西安理工大學學報,2009,25(3):347-350.

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[9] 李雪梅.灰色關聯分析與GM(1,1)模型優化的研究與應用[D].南京:南京航空航天大學,2011.

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[11]劉思峰,鄧聚龍.GM(1,1)模型的適用范圍[J].系統工程理論與實踐,2000,20(5):121-124.

(責任編輯 楊繼森)

Higher-Order Residual Error Corrected GM(1, 1) Interval Prediction Model and Its Application

ZHANG Lei1, SUN Chang-qing2

(1.The No. 66021stTroop of PLA, Tianjin 301900, China;2.School of Mechanical and Engineering, Shengyang Institute of Engineering, Shengyang 110136, China)

The interval prediction GM(1, 1) with Markov higher order residual error correction was proposed. Based on prediction results of GM(1, 1), the absolute residual error was calculated by markov, and the true value was approximated by superposition of residual error items. the prediction interval was constructed, and the suitable range and rationality of model were discussed. Finally the Markov model was used to improve the prediction interval model and the equation was given and discussed. The model softens the restrict range of development coefficients; and the higher order residual error correction is used, the less mean relative error is obtained, and the more reliable the prediction result is. The prediction risk caused by which prediction result is selected according to its state probability is avoided; and the reliability of prediction is improved.

GM(1, 1) model; residual error correction; Markov model; demand prediction

2016-09-27；

2016-10-25

國家自然科學基金資助項目(51371173)

張磊(1983—)，男，助理工程師，博士，主要從事裝備精確保障研究；孫長青(1978—)，男，講師，博士，主要從事機械強度和合金材料研究。

10.11809/scbgxb2017.02.039

張磊，孫長青.高階殘差修正GM(1,1)區間預測模型及其應用[J].兵器裝備工程學報，2017(2):177-181.

format:ZHANG Lei, SUN Chang-qing.Higher-Order Residual Error Corrected GM(1, 1) Interval Prediction Model and Its Application[J].Journal of Ordnance Equipment Engineering,2017(2):177-181.

TJ01；N941.5

A

2096-2304(2017)02-0177-05