具有學習因子的動態搜索煙花算法*

方柳平，汪繼文，邱劍鋒+，朱林波，蘇守寶

1.安徽大學 計算機科學與技術學院，合肥 230601

2.安徽大學 計算智能與信號處理教育部重點實驗室，合肥 230039

3.金陵科技學院 計算機學院，南京 211169

具有學習因子的動態搜索煙花算法*

方柳平1,2，汪繼文1,2，邱劍鋒1,2+，朱林波1,2，蘇守寶3

1.安徽大學 計算機科學與技術學院，合肥 230601

2.安徽大學 計算智能與信號處理教育部重點實驗室，合肥 230039

3.金陵科技學院 計算機學院，南京 211169

采用核心煙花動態爆炸半徑策略的動態搜索煙花算法（dynamic search fireworks algorithm，dynFWA）已被證明是解決優化問題的一個重要算法。然而，dynFWA的尋優精度低且容易過早地陷入局部最優解。為了改善上述的缺陷，通過嵌入一種利用歷史成功信息生成兩種不同的學習因子來改進傳統的動態搜索煙花算法，稱為改進的動態搜索煙花算法（improved dynFWA，IdynFWA）。算法中的學習因子充分利用搜索過程中每一代最好的煙花個體信息，使得煙花具有向群體的優良搜索信息學習的能力，并且它的兩種不同產生方式有助于平衡算法的局部搜索和全局搜索能力。改進后的算法在CEC2013的28個Benchmark函數上進行測試，實驗結果表明IdynFWA的尋優效果明顯優于dynFWA，并且比粒子群算法SPSO2011和差分演化算法DE/randto-best/1能達到更好的尋優性能。

動態搜索煙花算法；爆炸半徑；變異算子；學習因子

1 引言

煙花算法（fireworks algorithm，FWA）[1]是近些年發展起來的模擬煙花爆炸產生火花這一自然現象的新型群智能算法，能夠有效地解決一些優化問題。與粒子群算法、遺傳算法等其他智能算法相比，FWA采用的是一種新型的爆炸搜索機制，具有爆發性。此外，煙花之間通過交互機制來計算爆炸半徑和爆炸火花數目。但是，很多科研工作者很快發現傳統的FWA在求解優化問題時存在一些缺陷，如適用范圍小，收斂速度慢，計算耗時等。針對這些缺陷，科研工作者提出了很多改進方案，主要有兩方面：第一是在傳統煙花算法的基礎上對算子進行分析和改進；第二是與其他算法結合成混合算法。Zheng等人對傳統煙花算法的算子、映射規則和選擇策略等方面進行改進，并提出了增強型煙花算法（enhanced fireworks algorithm，EFWA）[2]。接著，Zheng等人根據適應度值的優劣將煙花種群劃分為核心煙花和非核心煙花，并對核心煙花采用自適應調整爆炸半徑的策略提出了動態搜索煙花算法（dynamic search fireworks algorithm，dynFWA）[3]，使得算法的搜索性能得以改善，但其性能的提升主要是由于適應度值最優的煙花局部搜索能力加強，煙花之間的交互能力沒有變化。此外，Zheng等人采用另一種自動調整爆炸半徑的方法提出了自適應煙花算法（adaptive fireworks algorithm，AFWA）[4]。Yu等人提出使用差分變異算子替換煙花算法中的高斯變異算子的新型算法FWADM[5]。Zheng等人提出將差分演化算法中的變異、交叉和選擇算子引入到煙花算法中，得到混合算法FWADE[6]。還有一些其他的改進和補充方案，例如多目標煙花算法[7-8]、混合型煙花算法[9-10]和并行煙花算法[11]。此外，FWA已經被應用到諸多領域中，主要有非負矩陣分解（non-negative matrix factorization，NMF）計算[12-14]、數字濾波器設計[15]和選擇性諧波消除問題[16]等領域。

本文對傳統的動態搜索煙花算法加以改進，提出了一種具有學習因子的動態搜索煙花算法（improved dynFWA，IdynFWA），加強種群中煙花向群體的優良搜索信息學習的能力，有助于平衡局部搜索和全局搜索能力，改善算法的尋優精度且具有更好的搜索性能。并采用CEC2013的28個基準函數進行測試，以檢驗算法的有效性。

本文組織結構如下：第2章介紹動態搜索煙花算法；第3章詳細地討論增加學習因子的變異算子以及算法的總流程；第4章是仿真實驗和結果分析；第5章總結全文。

2 動態搜索煙花算法

不失一般性，假設待求解的優化問題形式如下：minf(x)∈R,x∈Ω。算法對優化問題的求解目標是在可行域Ω內，尋找一點x，使其具有全局最小適應度值。在動態搜索煙花算法中有3個重要組成部分：爆炸算子（爆炸產生火花操作）、映射規則、選擇策略。

2.1 爆炸算子

眾所周知，當煙花爆炸時在它周圍一定的區域內會產生大量的火花，這就是爆炸火花數量和爆炸半徑。對于第i個煙花xi，它的爆炸火花數量Si的計算公式介紹如下：

其中，是一個常量，用于控制火花的數量；N是煙花種群的數目。函數f(xi)表示煙花xi的適應度值，且Ymax=max(f(xi)) 為當前煙花種群中最差的煙花個體的適應度值（最大）。ε是機器最小量，用來避免除零操作。

在式（1）中，為了限制適應度值好的煙花個體不會產生過多的爆炸火花，同時適應度值差的煙花個體不會產生過少的爆炸火花，文獻[1]對爆炸火花數量進行了如下的限制：

其中，a和b是根據經驗設置的兩個常數；round()是根據四舍五入規則的取整函數。

煙花種群被分成兩類，即非核心煙花（non-core fireworks）和核心煙花（core firework），其中核心煙花是目前煙花種群中適應度值最小的煙花個體。非核心煙花的半徑計算方法與核心煙花不一樣。本文用Ai表示第i個非核心煙花xi的爆炸半徑，ACF表示核心煙花XCF的半徑，且有：

其中，是用于控制爆炸半徑的常量；Ymin=min(f(xi))為當前煙花種群中最好的煙花個體適應度值（最小）。

式中，t表示當前的迭代次數；變量Ca和Cr分別用來控制核心煙花爆炸半徑的增大與減小。X?b表示新創建的最好的火花個體，XCF表示核心煙花。

算法1 IdynFWA中的爆炸算子

算法1中，變量N和D分別表示煙花種群的數量和維數。rand(a,b)表示在區間[a,b]中產生服從均勻分布的隨機數。變量Xij是第i個煙花的第j維的位置，表示火花的第j維的位置。

2.2 映射規則

上面提到的產生的火花有可能會超出可行域，為了解決這個問題，給出了以下的映射規則來處理超出邊界的火花：

其中，表示第i個煙花Xi的第k維的位置；和分別為煙花第k維位置的上界和下界。

2.3 選擇策略

為使煙花種群中優秀的信息能夠傳遞到下一代種群中，算法使用一種精英隨機選擇策略，從煙花種群、爆炸火花這兩個候選者集合中選擇N個個體進入下一代。首先選擇候選者集合中適應度值最小（最優）的個體，其余的N-1個個體采用隨機選擇策略。

3 具有學習因子的動態搜索煙花算法

在優化算法中，局部搜索能力和全局搜索能力之間的平衡是影響算法性能的重要因素之一。Idyn-FWA是在dynFWA的基礎上改進的，它們的不同之處是IdynFWA增加了一個產生變異火花的新算子，稱為變異算子。傳統的dynFWA中核心煙花的半徑計算方法過于簡單，僅僅考慮上一次迭代中是否找到更優的解，搜索性能主要依賴于核心煙花爆炸半徑的縮放，而沒有充分利用搜索過程中的一些信息，這種搜索策略在適應度值最優的煙花個體附近做局部探測，有助于發現最優解，但在優化多峰問題時，存在較大的陷入局部最優的風險，導致算法過早地收斂。因此，dynFWA算法在搜索策略上更多地傾向于局部搜索，很難跳出多峰優化時的局部最優解的束縛。而且，核心煙花的半徑每一代都會進行更新，過于頻繁。這些缺點導致了傳統的dynFWA具有較差的搜索能力，尋優精度低，從而容易陷入局部最優解。為了解決上述問題以及增加種群的多樣性，為IdynFWA設計了一個新的產生火花的變異算子。這些新產生的火花在本文中統稱為變異火花。變異算子充分利用了每一代最好的煙花位置和歷史成功信息。下面詳細地介紹變異算子：

其中，Xbest是目前為止找到的最好的煙花位置；c稱為學習因子，用來控制新產生的火花與當前最好煙花位置之間的距離。學習因子使煙花具有向群體中優秀個體學習的能力，從而向群體內的歷史最優點靠近，學習因子c的設計對整個算法的搜索效率極其重要，其根據式（6）更新：

其中，randc(a,b)是一個位置參數為a和尺度參數為b的柯西分布。從式（7）可知，學習因子c有兩種不同的柯西分布產生方式，它們具有不同的位置參數和相同的尺度參數。第一種產生方式是位置參數小的柯西分布，有利于全局搜索；第二種產生方式是位置參數大的柯西分布，有利于局部搜索。式中變量P的計算公式如下：

其中，t1表示學習因子產生于位置參數較小（第一種方式）的柯西分布的次數；t2表示學習因子產生于位置參數較大（第二種方式）的柯西分布的次數。初始化時P設置為0.5，且每隔T次迭代更新一次，也就是對前T次的搜索過程進行總結，從而進行學習。

算法2 IdynFWA中的變異算子

算法2中，M是變異火花的數目。T是更新P需要的迭代次數，也就是說每隔T次對P更新一次，它的值根據經驗設置。變量fitcount中當一個更好的火花個體被找到時，即，Xbest將會更新為這個新的個體。學習因子c有兩種不同的柯西分布產生方式，算法2中的t1表示學習因子產生于位置參數較小即第一種方式的柯西分布的次數，t2表示學習因子產生于位置參數較大即第二種方式的柯西分布的次數。變異算子每隔T次對前面的搜索過程進行總結。這種學習因子的生成方式是從歷史成功信息中學習的，為后面的搜索提供更好的尋優方向和更加優質的候選解，加強了整個算法的魯棒性，同時反映煙花種群個體之間對信息的共享和相互合作關系。

IdynFWA的算法過程描述如下：

步驟1初始時刻隨機生成N個位置，即N個煙花。

步驟2計算每一個煙花的適應度值。

步驟3循環如下的（1）到（4）步，直到滿足終止條件。

（1）使用算法1產生爆炸火花。

（2）使用算法2產生變異火花。

（3）計算所有的爆炸火花和變異火花的適應度值。

（4）采用選擇策略從煙花種群、爆炸火花和變異火花中選擇N個個體作為下一次迭代計算的煙花。

步驟4返回最優個體的位置和其適應度值。

4 實驗設置與結果分析

4.1 實驗數據集和參數設置

為了驗證本文所提進的IdynFWA算法的性能，分別對CEC2013的28個不同Benchmark函數進行30維和50維仿真實驗分析，表1列出了Benchmark函數，函數的具體定義參考文獻[17]。另外，和傳統的dynFWA算法、標準的粒子群算法SPSO2011以及差分進化算法DE/rand-to-best/1進行對比實驗，并加以分析。本文提出的IdynFWA的參數設置如下：M= 5，30維和50維的情況下T分別取100和1 000，且初始化時r=0.5，其他參數的設置與dynFWA一樣。其中dynFWA的參數設置參考文獻[3]，粒子群算法SPSO 2011的參數設置參考文獻[18]，DE/rand-to-best/1算法的參數設置如下：F=0.5，CR=0.9和NP=60。每個測試函數都以D×10 000函數評估次數作為終止條件，獨立運行51次。使用的實驗平臺是Matlab 2011b（Windows 7；Intel Core i7-2600 CPU@3.7 GHz；8 GB RAM）。

Table 1 28 Benchmark functions of CEC2013表1 CEC2013的28個Benchmark函數

4.2 實驗結果與分析

表2和表3分別列出了4個算法在28個Benchmark函數30維和50維上的平均誤差和標準差，表4和表5分別列出了它們在不同類型函數上的平均誤差排名。其中，粗體表示4個算法中的最優解。從表2和表3中都可以看出IdynFWA總體上的尋優性能優于其他3個算法，特別是在函數f4、f10、f16上的表現較為明顯，且算法也很穩定。此外，從表2也能發現與dynFWA相比，除了函數f5和f28，對于其余測試函數，IdynFWA的尋優精度都有所提高，尤其表現在多峰函數和復合函數上。同樣地，從表3中發現，除了函數f8和f9，IdynFWA的尋優效果都比dyn-FWA好。對于SPSO2011和DE/rand-to-best/1，在個別函數上IdynFWA的尋優精度較差，但總的來說，IdynFWA的尋優性能還是優于這兩個算法。從表4和表5中可得，IdynFWA在單峰函數、多峰函數以及全部函數的排名都比其余3個算法靠前；在復合函數上，IdynFWA排名比SPSO2011和DE/rand-to-best/1靠前，與dynFWA持平。

Table 2 Results of 4 algorithms test on 28 Benchmark functions(D=30)表2 4個算法在28個Benchmark函數上的測試結果（D=30）

在28個Benchmark函數中，f1～f5是單峰函數，f6～f20是多峰函數，f21～f28是復合函數，函數偏多；為了比較IdynFWA、dynFWA、SPSO2011和DE/randto-best/1算法的性能，本文從上面提到的3種函數中各選一個函數，因為多峰函數占的比例比較多，所以選了兩個多峰函數。圖1～圖4分別給出了4個算法對于30維函數f4、f10、f15和f23的平均適應度值誤差的進化曲線。圖5～圖8分別給出了4個算法對于50維函數f4、f10、f15和f23的平均適應度值誤差的進化曲線。為了對比清楚，畫圖時對4個算法的平均適應度值誤差均取以10為底的對數進行對比。由圖可見，IdynFWA在30維和50維函數f4、f15和f23的

收斂精度相對于dynFWA明顯都有所提高。對于30維函數f10，雖然兩個算法的收斂精度是一樣的，但收斂速度上IdynFWA比dynFWA快。在50維函數f10上，IdynFWA的尋優精度較弱一點，但也幾乎接近。dynFWA和IdynFWA的大部分參數設置是一樣的，尋優效果的改善主要是由于引入了學習因子，其中產

生于位置參數較大的柯西分布的學習因子有利于全局搜索，而產生于位置參數較小的柯西分布的學習因子有利于局部搜索。它們的引入在搜索過程中起到了較好的方向指引，減少了無效的搜索；學習因子的自動調整也在一定程度上提高了搜索精度，從而獲得了更佳的搜索性能。另外，IdynFWA的尋優性能也遠遠優于SPSO2011和DE/rand-to-best/1算法。

Table 3 Results of 4 algorithms test on 28 Benchmark functions(D=50)表3 4個算法在28個Benchmark函數上的測試結果（D=50）

Table 4 Rank of mean errors on 28 Benchmark functions(D=30)表4 在28個Benchmark函數上的平均誤差排名（D=30）

Table 5 Rank of mean errors on 28 Benchmark functions(D=50)表5 在28個Benchmark函數上的平均誤差排名（D=50）

Fig.1 Evolution curve off4圖1 函數f4的進化曲線

Fig.2 Evolution curve off10圖2 函數f10的進化曲線

Fig.3 Evolution curve off15圖3 函數f15的進化曲線

Fig.4 Evolution curve off23圖4 函數f23的進化曲線

Fig.5 Evolution curve off4圖5 函數f4的進化曲線

Fig.6 Evolution curve off10圖6 函數f10的進化曲線

Fig.7 Evolution curve off15圖7 函數f15的進化曲線

Fig.8 Evolution curve off23圖8 函數f23的進化曲線

Table 6 Mean errors of differentTon 28 Benchmark functions表6 不同的T值在28個Benchmark函數上的平均誤差

此外，根據上面的介紹，變異算子每隔T次對前面的搜索過程進行總結學習，T的取值對算法的尋優效果影響較大。于是本文對T進行了調節分析，使用控制變量法，即固定其他相關參數不變，通過單獨改變T的取值，觀察其對算法結果的影響。在單峰函數、多峰函數和復合函數中進行實驗，T取值依次為100、500和1 000，每個測試函數都以D×10 000函數評估次數作為終止條件，獨立運行51次。實驗結果如表6所示，當D=30時，在單峰函數和多峰函數上表現最差的都是T=1 000，總體上表現最好的為T=100，特別是在多峰函數上表現尤為明顯。T= 500在總體上介于上面兩者之間。當D=50時，總體上表現最差的為T=100，其中只有4個函數在該情況下取得最好的值。T=500和T=1 000時尋優效果差不多，但后者在單峰函數上尋優精度優于前者。如果D取較小值時，函數評估次數D×10 000相應地也會減小，此時T也應該取較小值。因為如果T取較大的值，變異算子向前面搜索過程的學習次數就會減少，從而不能充分利用歷史成功信息；反之亦然。總之，當函數評估次數D×10 000較小時，T值一般取較小值；當函數評估次數D×10 000較大時，T值也相應地取較大值。

5 結束語

本文針對傳統的動態搜索煙花算法中存在的尋優精度低，容易陷入局部最優解的問題，提出了一種改進的具有學習因子的動態搜索煙花算法（Idyn-FWA）。通過引入利用歷史成功信息的學習因子使得新加入的變異算子具有自動調整性，為后面的搜索過程提供了更好的尋優方向和更優質的候選解，提高了算法的搜索性能。基于CEC2013上的28個 Benchmark函數的仿真結果表明，IdynFWA能夠有效地改進算法的尋優精度，平衡算法的局部搜索和全局搜索能力。然而，IdynFWA的缺點是算法耗時相對較長，由于其采用的是一種新型的爆炸搜索機制，這個特點既是優點也是缺點，優點表現在具有爆發性，這也是研究的難點之一。

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FANG Liuping was born in 1992.She is an M.S.candidate in computer application technology at Anhui University. Her research interest is intelligent algorithm.

方柳平（1992—），女，安徽安慶人，安徽大學計算機應用技術專業碩士研究生，主要研究領域為智能算法。

WANG Jiwen was born in 1958.He is a professor and Ph.D.supervisor at Anhui University.His research interests include intelligent algorithm and fluid animate simulation,ect.

汪繼文（1958—），男，安徽宿松人，安徽大學教授、博士生導師，主要研究領域為智能算法，流體運動的動畫模擬等。

QIU Jianfeng was born in 1979.He received the Ph.D.degree from Anhui University.He is a lecturer at Anhui University,and the member of CCF.His research interests include swarm intelligence,evolutionary computation and machine learning,etc.

邱劍鋒（1979—），男，安徽桐城人，博士研究生，安徽大學講師，CCF會員，主要研究領域為智能優化算法，進化計算，機器學習等。

ZHU Linbo was born in 1991.He is an M.S.candidate in computer application technology at Anhui University.His research interest is intelligent algorithm.

朱林波（1991—），男，安徽明光人，安徽大學計算機應用技術專業碩士研究生，主要研究領域為智能算法。

SU Shoubao was born in 1965.He received the Ph.D.degree from Anhui University in 2009.Now he is a professor and M.S.supervisor at Jinling Institute of Technology,and the senior member of CCF.His research interests include swarm intelligence,big data computing and embedded control optimization,etc.

蘇守寶（1965—），男，安徽六安人，2009年于安徽大學獲得博士學位，現為金陵科技學院教授、碩士生導師，CCF高級會員，主要研究領域為群智能，大數據計算，嵌入式控制優化等。

Dynamic Search FireworksAlgorithm with Learning Factor*

FANG Liuping1,2,WANG Jiwen1,2,QIU Jianfeng1,2+,ZHU Linbo1,2,SU Shoubao3
1.School of Computer Science and Technology,Anhui University,Hefei 230601,China
2.Key Laboratory of Intelligent Computing and Signal Processing,Ministry of Education,Anhui University,Hefei 230039,China
3.School of Computer,Jinling Institute of Technology,Nanjing 211169,China
+Corresponding author:E-mail:qiujianf@ahu.edu.cn

Dynamic search fireworks algorithm(dynFWA)which adopts a dynamic explosion amplitude for core fireworks(CF)has been proved to be a great algorithm for solving optimization problems.However,dynFWA has the disadvantages that it is easy to fall into local optimal solutions prematurely and has slow convergence rate.In order to improve the above mentioned problems,this paper improves conventional dynFWA by embedding two different learning factors which make use of the history successful information,referred as improved dynamic search firework algorithm (IdynFWA).The learning factors take advantages of the information of the best firework in each generation,which makes the fireworks have the ability to learn from the excellent search.Moreover,two different generations of learningfactor are beneficial to balance the local search and global search ability.The improved algorithm has been tested on 28 benchmark functions of CEC2013.And the experimental results show that IdynFWA significantly outperforms dyn-FWA,and achieves better performance than both SPSO2011 and DE/rand-to-best/1.

dynamic search fireworks algorithm;explosion amplitude;mutation operator;learning factor

10.3778/j.issn.1673-9418.1604027

A

：TP18

*The National Natural Science Foundation of China under Grant No.61375121(國家自然科學基金);the Provincial Projects of Natural Science for Anhui Universities under Grant No.KJ2013A009(安徽高校省級自然科學研究項目);the Doctoral Scientific Research Foundation of Anhui University(安徽大學博士啟動基金);the JIT Scientific Research Program for Introducing Talents under Grant No.jit-rcyj-201505(金科院引進人才科研項目).

Received 2016-04,Accepted 2016-06.

CNKI網絡優先出版:2016-06-23,http://www.cnki.net/kcms/detail/11.5602.TP.20160623.1401.018.html

FANG Liuping,WANG Jiwen,QIU Jianfeng,et al.Dynamic search fireworks algorithm with learning factor. Journal of Frontiers of Computer Science and Technology,2017,11(3)：491-501.