兩種毛管壓力模型對比的儲層孔隙結構分形研究

劉銀山

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兩種毛管壓力模型對比的儲層孔隙結構分形研究

劉銀山

（陜西延長石油（集團）有限責任公司研究院，陜西 西安 710075）

基于多孔介質分形理論進行Li-Horne 毛管壓力模型和 Brooks-Corey 毛管壓力模型的推導， 證明Brooks-Corey 毛管壓力模型為 Li-Horne 毛管壓力模型的一種特殊形式。并利用兩種毛管壓力模型對北部灣盆地不同滲透率巖樣的壓汞曲線進行擬合，獲得孔隙大小分布指數來評價儲層的非均質程度，由于Brooks-Corey 模型適用于均質儲層，而 Li-Horne 模型對于均質、非均質儲層均適用，所以 Li-Horne 模型擬合結果好于 Brooks-Corey 模型。同時，根據 Li-Horne 模型推導出多孔介質孔隙分布的分形概率模型，其指數與分形維數有關，利用該模型計算的孔喉尺寸分布與壓汞曲線獲得的結果一致。

分形維數；孔隙大小分布指數；毛管壓力模型；孔隙概率分布函數

20 世紀80年代初，法國數學家 Mandelbrot 創立了分形幾何學，并在《自然分形幾何》中引入分形概念。分形的重要特征是自相似性（也稱標度不變性），即分形的局部與整體以某種方式相似，而分形的整體不隨測量尺度變化； 維數是確定幾何對象中一個點位置的獨立坐標數目，由于歐拉幾何空間中維數為整數，因此，無法確定無序的不規則物體的維數。

1985 年，Katz 和 Thompson 采用掃描電鏡（SEM）研究砂巖的分形特征，并提出基于分形統計數據預測巖石孔隙度的方法[1-3]；1986 年，Wong 等人利用小角度中子散射（SANS）研究沉積巖的微觀結構，發現砂巖和頁巖的孔隙空間由于粘土礦物的存在而呈現分形特征[4-5]；1987年，Friesen 和 Mikula 提出了一種利用壓汞數據推斷煤顆粒分形維數的方法[6]；1988 年，Hansen 和 Skjeltorp 指出巖石的滲透率與分形維數有關；1992年，Angulo 和Gonzalez提出另一種利用壓汞數據推斷分形維數的方法[7,8]；1994 年，Shen和李克文指出：與大孔隙有關的多孔介質部分不具有分形特征，而與小孔隙相關的多孔介質部分具有分形特征[9]；2003年，李克文和 Horne發現 Brooks-Corey 模型對裂縫性砂巖不適用，并提出 Li-Horne 毛管壓力模型來獲取多孔介質的分形維數[6-9]。

綜上所述，推斷巖石分形維數的主要方法有：掃描電鏡法（SEM）、小角度中子散射法(SANS)、薄片法和壓汞法。壓汞法主要通過毛管力模型擬合壓汞曲線獲得分形維數，毛管壓力模型主要有：Corey 模型（1954 年）、Thomeer 模型（1960 年）、Brooks-Corey 模型（1964年）、Van Genuchten 模型（1980 年）、 Skelt-Harrison 模型（1995 年）、Jing-Van Wunnik 模型（1998 年）、Li-Horne 模型（2003年）[10-12]等。目前 Brooks-Corey 模型和 Li-Horne 模型比較常用。

1 多孔介質的分形理論

在分形理論中，維數可以是整數，也可以是分數，簡稱分形維數， 它是描述分形的最基本的特征量。根據分形幾何理論，孔隙數目()與半徑之間有如下的關系：

式中：D—分形維數。

多孔介質的油氣儲集空間與滲流空間由孔隙和孔隙間的喉道組成，孔喉的空間分布具有統計的自相似性，即某一部分放大之后與較大部分具有相同的概率分布，可以用隨機分形描述。對于單根圓柱形毛細管，其半徑為、長度為，則體積為π2。根據毛細管模型，()的表達式如下：

式中：—毛細管長度；

聯立式（1）和式（2），可得：

假設長度不是半徑的函數，對于三維孔隙空間，假設=，則：

由于毛管壓力與孔喉半徑成反比，所以式（4）可以變為：

2 毛管壓力模型推導

含汞飽和度=汞侵入巖樣的總體積/巖樣的孔隙體積，則：

式中：—常數。

當Hg從 0 增加到 0+時，毛管壓力相應的從 0 增加到P，根據式（6），可得：

其中，ε為接近于 0 的無限小的正數。

當毛管壓力為max，Hg為最大值，根據式（6），可得：

式中：Hg∞—最大含汞飽和度；

max—在Hg∞時的最大毛管壓力。

聯立式（ 6）-式（ 8），可得：

由于ε趨于0，對于濕相飽和度， 式（9）可簡化為：

式（10）可簡化為：

則：

該模型為 Brooks-Corey 毛管力模型。

綜上所述，Brooks-Corey 模型是 Li-Horne 模型的一種特殊形式。 當=1 時，Li-Horne模型簡化為自吸毛管壓力模型；當=0 時，P=max，Li-Horne 模型簡化為單根毛細管模型。

3 孔隙分布的分形概率模型

汞的表面張力為 480 mN/m，潤濕角為 140°，故毛管壓力與孔喉半徑的關系為：

對式（14）求導，可得：

對式（11）求導，可得：

根據式（14）-（16），孔隙概率分布函數()表達式為：

4 實例分析

圖 1為利用Li-Horne 模型和 Brooks-Corey 模型對北部灣盆地四個樣品的毛管壓力曲線進行擬合，其擬合結果如表 1 所示。

由于樣品 A 和 B 比較均質，樣品 C 和 D 非均質性強，并且 Brooks-Corey 模型適用于均質儲層，Li-Horne 模型對于均質、非均質儲層均適用，因此， 對于樣品 A 和樣品 B，兩個模型的擬合效果相差不大；對于樣品和樣品D， Li-Horne 模型的擬合效果好于 Brooks-Corey 模型。

表 1 兩種模型擬合參數對比表

多孔介質具有如下性質：分形維數越小，孔喉表面越光滑，均質性較強，巖石的儲集性能越好；分形維數越大，孔喉表面越不光滑，儲集性能越差， 巖石分形結構越復雜，非均質性越強。根據這一性質，對北部灣盆地不同滲透率巖石的巖樣的非均質性進行研究。 圖 3 為利用 Li-Horne 模型對北部灣盆地不同滲透率巖樣的毛管壓力曲線擬合圖，其擬合結果如表 2 所示。

圖 3 北部灣盆地不同滲透率巖樣的毛管壓力曲線擬合圖（Li-Horne 模型）

根據表 2 擬合結果，初步認為：北部灣盆地儲層分形維數與孔隙度和滲透率沒有明顯關系；利用 Li-Horne 毛管壓力模型能夠很好的擬合北部灣盆地不同滲透率的毛管壓力曲線，氣相關系數大于0.9。

表 2 北部灣盆地不同滲透率巖樣的毛管壓力曲線擬合結果

圖 4 為樣品 5 孔隙大小分布柱狀圖。模型計算結果與毛管壓力曲線求孔隙大小分布的結果一致，說明該孔隙分布的分形概率模型比較可靠。

圖 4 樣品 5 孔隙大小分布柱狀圖

5 結 論

（1）基于多孔介質的分形理論對 Li-Horne 模型進行推導，發現 Brooks-Corey 模型是 Li-Horne模型的一種特殊情況。

（2）Brooks-Corey 模型適用于均質儲層，而 Li-Horne 模型對于均質、非均質儲層均適用。

（3）基于 Li-Horne 模型推導出孔隙概率分布函數，該函數是關于孔喉半徑的冪函數，其指數與分形維數有關。通過計算分形維數可以直接獲得孔隙概率分布函數，從而可以得到孔隙大小分布。相對于直接由壓汞曲線獲得孔隙大小分布，孔隙分布的分形概率模型簡單易行，并且精度較高。

[1] 賀承祖,華明琪.儲層孔隙結構的分形幾何描述[J].石油與天然氣地質,1998,19(1):17-23.

[2] 馬新仿,張士誠,郎兆新.儲層巖石孔隙結構的分形研究[J].中國礦業,2003,12(9):46-48.

[3] Angulo, R.F., Gonzalez, H. Fractal dimensions from mercury intrusion capillary tests. SPE 23695,Presented at the 2nd Latin American Petroleum Engineering Conf.of SPE Held in Caracas, Venezuela,March 8–11, 1992.

[4] Brooks R H,Corey A T.Hydraulic properties of porous media[C].Colorado State University： Hydro paper No.5,1964．

[5] Li Kewen. Theoretical development of the Brooks-Corey capillary pressure model from fractal modeling of porous media[A].SPE 89429,2004．

[6] Li, K., Horne, R.N. Fractal characterization of The Geysers rock. Proceedings of the GRC 2003 annual meeting, October, 2003, Morelia, Mexico: GRC Trans.V.,vol.27.

[7] Li, K. Characterization of rock heterogeneity using fractal geometry. Proceedings of the 2004 SPE Western Region Meeting, Bakersfield, CA,USA, March 16–18, 2004. SPE 86975.

[8] Katz, A.J., Thompson, A.H. Fractal sandstone pores: implications for conductivity and pore formation. Phys. Rev. Lett. 54, 1325–1328.

[9] Krohn, C.E. Fractal measurements of sandstones, shales, and carbonates. J. Geophys. Res. 93 (B4), 3297–3305.

[10] Lenormand, R. Gravity-assisted inert gas injection: micromodel experiments and model based on fractal roughness. The European Oil and Gas Conference, Altavilla Milica, Palermo, Sicily, October 9–12.

[11] Wong, P., Howard, J., Lin, J.S. Surface roughening and the fractal nature of rocks. Phys. Rev. Lett. 57, 637–640.

[12] Shen, P., Li, K. A new method for determining the fractal dimension of pore structures and its application. Proceedings of the 10th Offshore South East Asia Conference, Singapore, 1994.

Fractal Research on Reservoir Rock Pore Structure Based on Two Kinds of Capillary Pressure Models

（Research Institute of Yanchang Petroleum (Group) Co.,Ltd., Shaanxi Xi’an 710075, China）

Based on fractal theory of porous media, Li-Horne capillary pressure model and Brooks-Corey capillary pressure model were deduced. It's proved that Brooks- Corey capillary pressure model is a special form of Li-Horne capillary pressure model. Through using two kinds of capillary pressure models, mercury injection curves of different permeability rock samples from Northern Gulf Basin were fitted. Pore size distribution index was obtained to evaluate heterogeneity of the reservoir. Because Brooks-Corey model is for homogeneous reservoir and Li-Horne model is applicable for homogeneous and heterogeneous reservoirs, fitted results of Li-Horne model are better than those of Brooks-Corey model. At the same time, pore size distribution model of porous media was deduced according to Li–Horne model, the index of which related with the fractal dimension. Pore size distribution calculated by the model is consistent with the result obtained by using mercury injection curves.

fractal dimension; pore size distribution index; capillary pressure models; pore size distribution function

2017-05-09

劉銀山（1988-），男，工程師，碩士，湖北孝感人，畢業于中國地質大學（北京）能源學院，從事石油開發及資源儲量評價。

TE 122

A

1004-0935（2017）07-0673-04