多維向量空間決策模型及其應(yīng)用研究

張 培，紀(jì)昌明，吳月秋，張驗科，李榮波

(華北電力大學(xué)可再生能源學(xué)院，北京 102206)

水庫群多目標(biāo)調(diào)度問題是一個多階段、多屬性的滾動決策過程。已有研究大多針對水庫群多目標(biāo)調(diào)度模型的構(gòu)建與求解方法方面，關(guān)于水庫群多目標(biāo)調(diào)度的非劣方案評價決策的研究成果則相對較少。不同的調(diào)度方案將引起不同相關(guān)部門(涉及電力、水利、航運、供水、生態(tài)等多部門)的利益的差異，在實際運用中，最佳調(diào)度決策的確定還需要結(jié)合決策者的主觀偏好和利益傾向。針對該問題，有些學(xué)者進(jìn)行了研究并取得了有一定的研究成果[1-4]。但一般的多目標(biāo)決策分析方法存在評價方法不通用、可移植性差、評價結(jié)果不顯著、可擴展性弱等特點。本文對向量空間模型[5,6](Vector Space Model, VSM)進(jìn)行了改進(jìn)，并將其引入到多目標(biāo)決策分析中來，通過評選方案有向線段指標(biāo)與理想方案有向線段指標(biāo)之間的映射距離，建立多目標(biāo)調(diào)度方案最優(yōu)決策模型。由于評價過程全部在N維向量空間中完成，因此當(dāng)模型擴展為N+1維時，之前N維模型的計算結(jié)果都可以直接應(yīng)用，既減少了冗余的計算，又能顯著提高模型求解效率。

1 多維向量空間評價模型

1.1 向量空間模型

VSM是由Gerard Salton等人提出的信息檢索領(lǐng)域的經(jīng)典模型。模型首先將每一文檔都映射為向量空間中的一個點，通過對文檔集進(jìn)行切分、停用處理等步驟得到的一系列詞作為文檔的特征向量。繼而，這些詞對應(yīng)的特征向量就構(gòu)成一個空間，每個詞對應(yīng)空間中的一維。最后通過計算需要檢索的信息向量與文檔向量空間中的信息向量的夾角的余弦值來表示查詢信息與文檔的相似程度。模型原理示意圖如圖1所示。

圖1 向量空間模型示意圖Fig.1 Schematic diagram of vector space model

假設(shè)文檔信息向量為a1,需要檢索的文檔信息向量集為A=(a1,a2,a3,a4),則通過ai∈A與a1的向量夾角余弦值來表示ai∈A與a1的相似程度。一方面，因為原模型采用了向量夾角的余弦值的形式，為保證評價結(jié)果的非負(fù)性，向量夾角通常采用銳角的形式；另一方面，原模型只考慮了空間兩向量的夾角而忽略了向量的長度差異。以上兩方面的處理方式雖然能簡化計算，但卻容易削弱模型的評價性能，造成評價結(jié)果不顯著，對方案間優(yōu)劣排序的區(qū)分度不明顯的現(xiàn)象。基于此，本文提出了待選方案指標(biāo)向量到理想方案指標(biāo)向量的映射距離的表示方法，并以此來表征評價結(jié)果，改進(jìn)后的模型既能提高結(jié)果的顯著性，又能方便決策者更直觀的進(jìn)行了方案的評價與決策。

1.2 向量空間模型的改進(jìn)算法

1.2.1 構(gòu)造向量空間

假設(shè)某水庫群多目標(biāo)調(diào)度的非劣解集為Q(Q1,A2,…,Qm)，綜合評價指標(biāo)集為R(R1,R2,…,Rn)，把方案Qi對指標(biāo)Rj的評價值記為yij(i=1,2,…,m;j=1,2,…,n)，即yij表示第i個方案中的第j個評判指標(biāo)。則建立初始評判矩陣為：

(1)

由于各評價指標(biāo)量綱信息不同，為便于分析，需要對各評價值進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化處理。一般地，采用極差法對不同類型的評價指標(biāo)進(jìn)行無量綱化處理，處理后的結(jié)果形成標(biāo)準(zhǔn)化決策矩陣Umn=(uij)m×n。

對于期望值越大越好型指標(biāo)的處理方法是：

(2)

對于期望值越小越好型指標(biāo)的處理方法是：

(3)

本文采用熵權(quán)法來確定各指標(biāo)的權(quán)重。根據(jù)熵值的定義，第j個指標(biāo)的熵值為：

(5)

(6)

(7)

W(w1,w2,…,wn)為各評價指標(biāo)序列的權(quán)重。這樣就得到了帶有權(quán)重的空間有向線段ouωopti=ωjouopti，j=1,2,…,n；i=1,2,…,m，ouωij=ωjouij，j=1,2,…,n；i=1,2,…,m。綜上所述，有向線段ouωopti、ouωij就構(gòu)成了已所選空間某點O(o1,o2,…,on)為基點的向量空間A。

1.2.2 映射距離的求解方法

上文中所構(gòu)造的向量空間A即為決策向量空間。在向量空間A中多目標(biāo)調(diào)度的理想方案有向線段為ouωopt=(ω1ouopt1,ω2ouopt2,…,ωnouoptn)，多目標(biāo)調(diào)度的評價方案有向線段集合B為B={ouωij|ouωij=ωjouij,j=1,2,…,n;i=1,2,…,m}，有向線段ouωopt與ouωij的夾角為θij。由向量空間的知識可得夾角θij的余弦值為：

(8)

從而求得：

θij=arccos (cosθij)

(9)

最后得到評價方案ouωij與理想方案ouωopt之間的加權(quán)映射距離為：

(10)

Di的值越小表示評價方案到理想方案間的映射距離越短，即Di的值越小對應(yīng)的評價方案的評價值越接近理想方案的指標(biāo)值，也就是說Di越小對應(yīng)的評價方案越優(yōu)。

1.2.3 基于映射距離的空間向量決策模型及其求解方法

于是，建立基于映射距離的空間向量決策模型(Multi-Dimensional Vector Space Model Based on Mapping From，MVSM)如下：

；θ∈(0,2 π)

(11)

MVSM求解步驟如下： ①獲取多目標(biāo)調(diào)度的非劣解集方案Q(Q1,Q2,…,Qm)；②根據(jù)特定水庫群的多目標(biāo)調(diào)度評價指標(biāo)，計算評價指標(biāo)值，構(gòu)成評價方案集P=(pij)m×n；③對評價集進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化處理，得到標(biāo)準(zhǔn)化的評價矩陣U=(uij)m×n；④根據(jù)權(quán)重計算方法，計算各指標(biāo)權(quán)重wj；⑤定義考慮權(quán)重的理想方案有向線段ouωopti=ωjouopti與考慮權(quán)重的待選方案有向線段ouωij=ωjouij,構(gòu)造多目標(biāo)決策向量空間A；⑥計算評價方案有向線段ouωij與理想方案有向線段ouωopt之間的加權(quán)映射距離Di；⑦根據(jù)Di的值從小到大排列得到方案優(yōu)劣排序。

2 實例應(yīng)用

水庫群多目標(biāo)調(diào)度是一個多維的、復(fù)雜的系統(tǒng)工程問題，受所建模型、求解方法及求解精度的影響，得到的非劣解集不盡相同且均存在一定的誤差，有些情況下還會存在某些方案各方面指標(biāo)非常接近的情況。為了在保證方案評價過程全面性、客觀性的基礎(chǔ)上，提高評價模型的顯著性水平，本文引入空間向量對方案集進(jìn)行處理，并將提出的基于空間向量映射距離的多目標(biāo)決策方法，應(yīng)用到三峽梯級防洪多目標(biāo)優(yōu)化調(diào)度方案集的評價過程中。

在此，采用文獻(xiàn)[7]計算得到的多目標(biāo)防洪優(yōu)化調(diào)度非劣解方案集為基礎(chǔ)，根據(jù)實用有效、計算簡便的原則，選取最高水位、超防洪高水位風(fēng)險率，下泄洪峰、超控制下泄流量風(fēng)險率、發(fā)電量5個決策指標(biāo)，則多目標(biāo)防洪優(yōu)化調(diào)度非劣方案評價集如表1所示。

對決策矩陣進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化處理后，所得標(biāo)準(zhǔn)化決策矩陣U為：

表1 多目標(biāo)調(diào)度方案評價集Tab.1 Evaluation set of multi-objective scheduling scheme

采用熵權(quán)法確定各個評價指標(biāo)的權(quán)重，最終的權(quán)重分配結(jié)果為：W=(0.182 0,0.208 2,0.185 3,0.210 0,0.220)。依據(jù)向量空間的有序性，確定理想方案Uopt=WT(uopt,1,uopt,2,…,uopt,5)=(0.182 0,0.208 2,0.185 3,0.210 0,0.220)。選取空間原點O(0,0,0,0,0)作為起點，這樣以理想方案Uopt對應(yīng)的指標(biāo)值作為終點形成有向線段uopti，以評價方案ui[ui=(ui1,ui2,…,ui6),i=1,2,…,9]對應(yīng)的指標(biāo)值作為終點形成有向線段uij，結(jié)合公式(1)計算各方案有向線段與理想方案有向線段之間夾角的余弦值為cosθi,i=1,2,…,9，然后結(jié)合公式(2)、(3)求得各方案與理想方案之間的加權(quán)余弦和值為Di,i=1,2,…,9，計算結(jié)果如表2所示。

根據(jù)方案對應(yīng)的映射距離越小則方案越優(yōu)的原則，選取方案5為最佳優(yōu)選方案，方案4和方案6為備選方案。由表2可以看出，方案5所對應(yīng)的各項指標(biāo)的值比較均衡，且沒有出現(xiàn)極大極小值的情況，且方案5所對應(yīng)的超防洪高水位風(fēng)險率較方案6低5.46%，方案5對應(yīng)的超控制下泄流量風(fēng)險率較方案4低5.67%。根據(jù)三峽水庫的設(shè)計標(biāo)準(zhǔn)，雖然方案5中所對應(yīng)的超防洪高水位157.3 m的風(fēng)險率為14.38%，但該調(diào)度方案超設(shè)計洪水位175 m的風(fēng)險率為0。雖然方案5并屬于任何屬性下的最優(yōu)決策，但與其他方案相比，方案5對各指標(biāo)的考量相對均衡，而且能在保證較大放電量的同時使超防洪高水位風(fēng)險率和超控制下泄流量風(fēng)險率處于相對低的水平，故方案5為最符合工程實際需要的最佳方案。

表2 MVSM計算結(jié)果Tab.2 The results of the MVSM

作為方法對比，將本文所提方法與逼近理想點排序法(Technique for Order Preference by Similarity to Ideal Solution，TOPSIS)、與VSM計算結(jié)果進(jìn)行了分析比較，并根據(jù)TOPSIS方法評價值越小方案越優(yōu)，VSM評價值越小方案越優(yōu)的原則給出了方案優(yōu)劣排序，計算結(jié)果如表3所示。

從表3可以看出，采用MVSM方法計算得到的排序結(jié)果與基于熵權(quán)法確定權(quán)重的TOPSIS計算的排序結(jié)果相同，而與VSM相比，最優(yōu)方案與備選方案相同，不同之處在于最劣兩方案的排列順序，不過他們在整體調(diào)度方案中的排名是十分相近的。

表3 方案排序計算結(jié)果Tab.3 The results of alternatives ranking

此外，我們將MVSM與TOPSIS方法的計算結(jié)果進(jìn)行無量綱化處理，按照本文1.2.1中方法將兩種方法的計算結(jié)果調(diào)整到同一量級水平，便于從顯著性水平上進(jìn)行對比。無量綱化后的評價值轉(zhuǎn)變?yōu)閿?shù)值越大則對應(yīng)方案越優(yōu)的類型。圖2可以直觀地看出，MVSM方法與TOPSIS的方案優(yōu)劣排序相同，但是相比于TOPSIS方法，MVSM能更好地區(qū)分量化各個指標(biāo)，評價值離散度更強，在復(fù)雜問題中更能方便決策者方便快捷的選出最佳調(diào)度方案。

圖2 TOPSIS與MVSM結(jié)果顯著性對比Fig.2 Significant contrast of the results between TOPSIS and MVSM

3 結(jié) 語

本文構(gòu)建了基于映射距離排序的多目標(biāo)調(diào)度方案評價空間向量模型，通過實際算例分析，并與逼近理想點排序法進(jìn)行了對比分析，驗證了本文模型的有效性和合理性。本文所提方法思路清晰、計算簡單，同時具有一定的普適性，尤其在區(qū)分計算相近或易混淆指標(biāo)的量化問題上有顯著優(yōu)勢。在以后的研究中，可以進(jìn)一步地研究動態(tài)的權(quán)重分配方法，使得權(quán)重的設(shè)定更具有普遍適用性，已更好的實現(xiàn)模型的可操作性與可移植性。

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[1] 彭 楊,紀(jì)昌明,劉 方.梯級水庫水沙聯(lián)合優(yōu)化調(diào)度多目標(biāo)決策模型及應(yīng)用[J].水利學(xué)報,2013,44(11):1 272-1 277.

[2] 劉 方,紀(jì)昌明,向騰飛,等.基于鯰魚效應(yīng)多目標(biāo)粒子群算法的水庫水沙聯(lián)合優(yōu)化調(diào)度[J].中國農(nóng)村水利水電,2012,(11):4-8.

[3] 紀(jì)昌明,李克飛,張驗科,等.基于機會約束的水庫調(diào)度隨機多目標(biāo)決策模型[J].電力系統(tǒng)保護與控制,2012,40(19):36-40.

[4] 覃 暉,周建中,王光謙，等.基于多目標(biāo)差分進(jìn)化算法的水庫多目標(biāo)防洪調(diào)度研究[J].水利學(xué)報,2009,40(5),513-519.

[5] 袁新成.基于向量空間模型的自適應(yīng)文本過濾研究[D].哈爾濱:哈爾濱工業(yè)大學(xué), 2006.

[6] 丁月華,文貴華,郭煒強,等.基于核向量空間模型的專利分類[J].華南理工大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)版)，2005,33(8):58-61.

[7] Li Yinghai, Zhou Jianzhong, Zhang Yongchuan, et al. Risk decision model for the optimal operation of reservoir flood control and its application [J]. Water Power, 2009,35(4):19-22.