控制暴雨公式參數精度的綜合誤差法

班 超，葉興成，王 飛，劉 俊，周 宏，于永強

(1.河海大學水文水資源學院，江蘇 南京210098；2.江蘇省宿遷市水務局，江蘇 宿遷 223800)

0 引 言

暴雨公式的編制是城市雨水排水規劃設計工作的基礎，一個精度良好的暴雨公式在城市雨水災害防治管理、應急處置和城市建設等方面都起到十分重要的作用。經過多年大量的工作實踐，目前國內暴雨公式的主要編制方式是利用皮爾遜Ⅲ型曲線、指數曲線和耿貝爾曲線進行頻率分析計算，然后根據“i～t～P”數據求解公式參數并檢驗擬合精度。不同的求解方法對最終公式的精度影響各不相同，如何保證暴雨公式擬合精度最佳，目前尚無定論。

1 綜合誤差法的提出

1.1 傳統算法存在的問題

暴雨公式的傳統算法可以概括為兩步最優法，即第一步利用暴雨選樣資料，以抽樣誤差最小為目標函數，求得選定的頻率模型參數最優解，得到頻率模型輸出的“i～t～P經驗數據表”；第二步根據第一步輸出的“i～t～P經驗數據表”，以統計誤差最小為目標函數，求得選定的暴雨強度公式參數最優解。

目前國內基本均采用該方法進行暴雨資料頻率調整以及暴雨強度公式推求工作[1-4]。但本文認為傳統算法可能存在以下問題：

(1)傳統算法雖保證了原始數據與頻率模型之間的抽樣誤差，頻率模型與暴雨強度公式之間統計誤差最小，但是將頻率模型的參數率定過程和暴雨強度公式的參數率定過程分開獨立進行，難以保證暴雨強度公式與原始數據之間的擬合精度，隔斷了暴雨強度公式與原始數據間的聯系。在出現多個影響參數率定的超大值時，傳統方法常常很難在精度要求范圍內求解，因此需要刪除部分特大值，這導致最終擬合的公式可能難以反映真實的降雨情況。

(2)傳統算法對暴雨資料的調整是對各歷時的暴雨強度按照選定的頻率模型進行單獨擬合，各歷時的頻率模型參數相互獨立。而暴雨強度公式的求解過程，是對頻率模型輸出的“i～t～P經驗數據表”單一重現期的各歷時暴雨強度或者所有重現期的各歷時暴雨強度進行參數率定，各歷時的暴雨強度之間的關系必定會影響暴雨強度公式。傳統算法忽略了各歷時的頻率模型曲線之間的潛在規律，在推求暴雨強度公式之前，頻率模型參數已經固定，導致所求得的暴雨強度公式統計誤差偏大，即暴雨強度公式不能很好地對頻率模型輸出的“i～t～P經驗數據表”進行精確的描述。

1.2 綜合誤差法

目前國內對傳統算法進行了許多改進，改進的主要方向集中在對選樣方法、頻率曲線選擇和求參算法的優化，鮮有從誤差控制的角度優化暴雨公式的推導[5-8]。

為解決前文中提出的傳統算法可能存在的問題，本文提出一種綜合誤差法，將傳統方法的兩步最優法改為一步最優法，即以抽樣誤差和統計誤差之和為目標函數，輔以抽樣誤差和統計誤差同時小于誤差允許值(一般絕對均方差<0.05，相對均方差<5%)進行約束，對頻率模型參數和暴雨強度公式的參數同時尋優，所得結果可以在約束范圍內保證暴雨強度公式的樣本誤差最小。若將頻率模型和暴雨強度公式視為一個系統，那么該方法保證了在約束范圍內系統誤差最小。在參數尋優的過程中，各歷時頻率模型參數按照選定的暴雨強度公式規定的潛在規律進行不斷的調整，一方面可減少暴雨強度公式的統計誤差，另一方面也使得各歷時的頻率模型不再是獨立的、相互之間沒有規律的曲線。

2 算法應用實例

2.1 樣本資料選取及可靠性代表性分析

某市有氣象局提供的1980-2011年共32年降雨資料，為保證雨量資料的可靠性和代表性，選樣過程遵循以下原則：

(1)選用的每一場雨的降雨自記曲線完整。當曲線中斷、虹吸發生大的誤差、筆尖洇水使線位不準等大的缺陷時，棄置不用。當曲線雖有一些小的缺陷，但能根據已知數據用適當方法插補或調整時，視其情況謹慎采用。

(2)在有可能被采用的降雨自記曲線(只要有一個歷時的降雨量位于該年該歷時的前八個，該場雨的降雨自記曲線就被采用)上統計9個規定歷時的最大降雨量，即可找出該段歷時內降雨自記曲線最陡的部分進行統計。

(3)當一次降雨包含前后兩段達到選取要求的高強度部分時，若其中間的降雨量強度低于0.1 mm/min的降雨(包括停止降雨)持續時間超過120 min，按兩場統計。

(4)如一場雨的實際降雨量總歷時小于暴雨強度公式所規定的統計歷時，本文采用傳統的統計處理方法，即大于實際降雨總歷時的時段降雨強度仍由總降雨量除以該時段而求得。

采用年最大值法推求時公式精度難以滿足需求，刪除特大值后雖然精度可以滿足，但特大值刪除數量較多，樣本代表性已遭到破壞，因此采取年多個樣法重新取樣，最低重現期取為0.333 a。每年每個降雨時段選取的暴雨子樣個數為6個，共選取192組1 728個數據。并按要求刪除重現期小于0.333 a的資料后，剩余99個樣。算例推求公式參數使用麥夸爾特法[7-9]。

2.2 傳統算法計算結果

使用皮爾遜Ⅲ型曲線和指數曲線分別對樣本數據進行頻率分析計算，先控制頻率擬合抽樣誤差最低，再控制公式擬合統計誤差在要求范圍內，具體計算結果如表1、表2所示。

表1 傳統算法皮爾遜Ⅲ型總公式結果Tab.1 Result of traditional algorithm with P-Ⅲ distribution

表2 傳統算法指數頻率模型總公式結果Tab.2 Result of traditional algorithm with exponential distribution

在不刪除特大值的情況下，傳統算法在保證抽樣誤差最小時，擬合結果難以滿足精度要求。經過大量調試后，0.33～100重現期下，選用皮爾遜Ⅲ型曲線擬合最終總公式絕對均方差為0.119 9，選用指數頻率曲線擬合得到的總公式絕對均方差為0.083 0，兩個精度和0.05的精度要求差距較大。這一問題不僅是在本算例中，在很多地區的暴雨公式編制時都會遇到。

2.3 綜合誤差法計算結果

使用皮爾遜Ⅲ型曲線和指數曲線分別對樣本數據進行頻率分析計算，以頻率擬合抽樣誤差與公式擬合統計誤差之和最低為控制目標，同時控制頻率擬合抽樣誤差和公式擬合統計誤差均在要求范圍內。擬合誤差見表3，擬合得到暴雨公式各參數見表4。

表3 綜合誤差法求解暴雨公式擬合誤差Tab.3 Result of formula error with comprehensive error method

在不刪除特大值的情況下，0.33～100 a重現期下，選用皮爾遜Ⅲ型曲線擬合得到總公式絕對均方差為0.040 1，選用指數頻率曲線擬合得到總公式絕對均方差為0.038 1，綜合誤差法的總公式擬合精度均能滿足規范要求。

表4 綜合誤差法擬合暴雨公式總公式參數表Tab.4 Parameters of rainstorm formula withcomprehensive error method

3 計算結果對比分析

考慮到多參數公式有更高的擬合精度，為對綜合誤差法的可靠性進行驗證，本文除四參數公式外，額外計算P-Ⅲ曲線下的五參數和六參數暴雨公式進行進一步論證。不同參數暴雨公式誤差結果見表5。

表5 年多樣法下傳統算法和綜合誤差法計算結果對比表Tab.5 Comparison of calculation results between comprehensive error method and exponential distribution

通過對比分析可以看出，采用綜合誤差法計算的結果精度要明顯優于傳統方法。在保證抽樣誤差不超過預定范圍的情況下，總公式絕對均方差、相對均方差和樣本系統絕對均方差都優于傳統方法很多。

四參數公式皮爾遜Ⅲ型曲線下，0.33～10 a傳統算法公式統計絕對均方差為0.066 1，綜合誤差法為0.018 6，精度提高28.1%；0.33～100 a傳統算法公式統計絕對均方差為0.119 9，綜合誤差法為0.040 1，精度提高33.4%。

四參數公式指數曲線下，0.33～10 a傳統算法公式統計絕對均方差為0.057 9，綜合誤差法為0.020 1，精度提高34.7%；0.33～100 a傳統算法公式統計絕對均方差為0.083 0，綜合誤差法為0.038 1，精度提高45.9%。其余各精度指標顯示的結果均為綜合誤差法精度更好，分析結果不再一一贅述。

五參數和六參數情況下各結果顯示的情況均與四參數情況一致，綜合誤差法的精度控制效果均明顯好于傳統方法。且綜合誤差法不用刪除樣本中的特大值，因此不會對樣本的代表性產生影響。

4 結 語

本文在推求暴雨公式傳統算法的基礎上，提出一種改進的綜合誤差法。該方法以抽樣誤差和統計誤差之和為目標函數，輔以抽樣誤差和統計誤差同時小于誤差允許值(一般絕對均方差<0.05，相對均方差<5%)進行約束，對頻率模型參數和暴雨強度公式的參數同時尋優。綜合誤差法計算時不需要刪除樣本中的特大值，不會破壞樣本資料的代表性。

使用某市32 a雨量資料試算，綜合誤差法求解結果在總公式絕對均方差、相對均方差和樣本系統絕對均方差三個精度控制指標上都明顯優于傳統算法。所以本文認為綜合誤差法可以作為推求暴雨公式的一種參考方法，適用于缺乏樣本資料的地區。

綜合誤差法的關鍵在于對樣本抽樣誤差和公式擬合誤差進行聯合控制，但現行的《城市暴雨強度公式編制和設計暴雨雨型確定技術導則》只對公式擬合誤差提出了明確要求，在滿足導則要求情況下，調整聯合控制約束條件對最終暴雨公式參數精度的影響程度，有待進一步探討。

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