基于Copula函數的不同歷時暴雨組合分析

萬永靜，朱程亮，劉 俊，李岱遠

(1.河海大學水文水資源學院，南京 210098；2.南京水利科學研究院，南京 201129； 3.江蘇省宿遷市水務局，江蘇 宿遷 223800)

0 引 言

隨著我國城市化進程的推進，城市內澇問題越來越受到社會和政府的關注。引起內澇災害的主要因素是降雨強度超過排水標準，降雨歷時和降雨范圍超過區域排澇標準。城市的管道排水系統是按照市政排水規范設計，設計標準為2～5 a，設計歷時采用不超過2 h的短歷時為控制時段；城市區域排澇是按照水利部門的河道排澇規范設計，設計標準為10～30 a，設計歷時采用3、6、24及72 h的長歷時為控制時段[1-3]。由于兩者設計歷時及設計標準的差異，造成管道排水與河道排澇工程運行的不銜接，尤其是6、7月份連綿不斷的長歷時降雨極易導致排水管道受河道水位抬升帶來的頂托作用，使得管道正常排水受到影響，引起城市內澇等災害，對人們的生活生產造成一定的影響和損失。因此，將城市管道排水的短歷時暴雨與河道排澇的長歷時暴雨進行銜接，長歷時暴雨與短歷時暴雨關系進行遭遇組合分析，對解決這一現象有著很重要的意義。

Copula函數是被廣泛用來構建聯合分布的鏈接函數[4-6]，劉曾美等[7]采用Copula函數建立區間暴雨和外江洪水位的聯合分布,用聯合概率密度來描述兩者遭遇的機率,用以分析排澇風險率和重現期；張娜等[8]利用 G-H Copula 函數構建年最大日雨量與年最大七日雨量之間的聯合分布；陳子燊[9]等用Copula函數構建最大日降水量與歷時7 d降水量兩個組合的聯合概率分布模式；謝華等[10]用Copula函數構建多變量聯合概率模型，將其用于分析長江、淮河及黃河流域的徑流量的聯合概率和條件概率問題；陸桂華等[11]運用Copula函數構建了蚌埠市暴雨與淮河上游洪水遭遇概率模型。研究表明，Copula函數能夠有效地描述水文事件的內在規律和特征屬性之間的相互關系。

本文基于Copula函數，采用不同重現期下沭陽年最大2 h短歷時管道排水暴雨(R2h)和其對應時段的最大1 d長歷時區域排澇暴雨(R1d)為組合樣本，建立聯合分布概率模型，進行遭遇組合分析，計算超過某一設計值的短歷時暴雨與超過某一設計值的長歷時暴雨的同現重現期，計算在短歷時暴雨不超過某一設計值的條件下長歷時暴雨超過某一設計值條件重現期，研究結果可為城區排水防澇系統的建設提供科學依據，保障城區排水防澇安全。

1 研究方法

1.1 Copula函數

根據Sklar定理，隨機變量X1、X2,…,Xd的聯合分布F(x1,x2,…,xd)為：

F(x1,x2,…,xd)=P(X1≤x1,X2≤x2,…,Xd≤xd)=

C(u1,…,ud)

(1)

Copula函數能夠通過邊際分布和相關性結構兩部分來構造多維聯合分布，形式靈活多樣，且求解比較簡單。Copula函數的優勢在于：邊際分布可以采用任何形式。水文領域常用的幾種Copula函數包括：Archimedean Copula函數、橢圓Copula函數以及經驗Copu1a函數。其中，在水文分析方面以Archimedean Copula 函數應用為主。d維對稱阿基米德copula 函數族定義為：

C(u1,…,ud)=φ-1[φ(u1)+φ(u2)+…+φ(ud)],

uk∈[0,1],k=1,…

(2)

式中：φ為Copula函數的生成函數；φ-1為φ的反函數。

水文中常用的二維Archimedean Copula函數有Clayton Copula、Frank Copula及GH Copula，其表達式見表1。

表1 常用的Archimedean Copula函數Tab.1 Common symmetric Archimedean Copula function

1.2 參數估計及擬合度檢驗

確定適宜的邊際分布是應用 Copula 函數的第一步，Copula 函數不限定變量的邊際分布類型。我國水文計算普遍采用的頻率分布主要有皮爾遜Ⅲ型分布、指數分布和耿貝爾極值分布，理論頻率曲線參數確定方法：先根據離差最小原則計算單歷時樣本系列的統計參數，再采用綜合目估適線法對各歷時暴雨統計參數進行調整，使其變化滿足規律，最后選取擬合精度最高的分布函數計算變量的設計頻率。

Copula 函數只含有一個計算參數θ，其可以根據Kendall秩相關系數τ和參數θ的關系(表1)計算，其中τ可以根據實測樣本系列直接求得。

Copula函數擬合優度的檢驗方法主要選用離差平方和(OLS)最小準則法，OLS值越小表明擬合精度越高，選取OLS值最小的Copula 函數作為連接函數，OLS的計算公式為：

(3)

式中：Pei為經驗概率；Pi為理論概率；i為數據系列序號。

1.3 概率及重現期

在組合概率及其重現期計算過程中，一般分析變量的同現概率、同現重現期、條件概率及條件重現期。

X1≥x1,X2≥x2同時發生的概率為：

P(X1≥x1∩X2≥x2)=1-u1-u2+C(u1,u2)

(4)

其重現期Ta為：

Ta=[1-u1-u2+C(u1,u2)]-1

(5)

在給定X1≤x1條件下，X2≥x2發生的概率為：

P(X2≥x2|X1≤x2)=1-C(u1,u2)/u1

(6)

其重現期Tc為：

Tc=u1/[1-C(u1,u2)]-1

(7)

2 不同歷時暴雨組合分析

沭陽縣地處江蘇北部，沂沭泗水下游，屬魯南丘陵與江淮平原過渡帶，幅員面積2 298 km2，以沭陽氣象站1981-2015年共35 a的降水量數據為基本資料，選取沭陽縣年最大2 h的短歷時暴雨(R2h)和其對應時段的最大1 d長歷時暴雨(R1d)為組合樣本，進行聯合分布概率分析。

2.1 邊際分布函數參數計算

分別采用皮爾遜Ⅲ型分布、指數分布和耿貝爾分進行頻率擬合計算，先根據離差最小原則計算單歷時樣本系列的統計參數，再采用綜合目估適線法對各歷時暴雨間統計參數進行調整，使其變化滿足規律，確定頻率分布參數，將3種頻率分布曲線的頻率計算的擬合離差進行比較。計算結果如表2所示。

表2 邊際分布函數統計參數Tab.2 Statistical parameters of marginal distribution function

由表2可知，在進行短歷時擬合時，擬合精度由高到低為耿貝爾分布、皮爾遜Ⅲ型分布和指數分布，其相對均方差分別為5.2%、6.4%和8.4%；在進行長歷時擬合時，擬合精度由高到低為皮爾遜Ⅲ型分布、耿貝爾分布和指數分布，其相對均方差分別為6.1%、7.1%和8.8%。依擬合指標而言，短歷時擬合精度最高的為耿貝爾分布，長歷時擬合精度最高的為皮爾遜Ⅲ型分布。設長歷時暴雨相對均方差與短歷時暴雨相對均方差的算數平均值為綜合誤差，皮爾遜Ⅲ型分布擬合的綜合誤差為6.25%，耿貝爾分布擬合的綜合誤差為6.15%，鑒于皮爾遜Ⅲ型分布擬合和耿貝爾分布擬合的綜合誤差接近，本次采用水文計算中習慣用的皮爾遜Ⅲ型分布計算設計暴雨概率，繪制邊際分布概率圖(圖1)。

圖1 邊際分布概率Fig.1 Marginal probability distribution

2.2 Copula函數參數計算

根據實測資求得各個組合的Kendall秩相關系數τ，由τ和Copula函數參數θ的關系(表1)可以求得θ。由表3可知秩相關系數τ為0.421，即長歷時暴雨和短歷時暴雨的成正相關，故可以用Archimedean Copula函數進行聯合分布計算。根據式(3)，采用OLS法檢驗函數的擬合優度，OLS值越小表明擬合精度越高，選取擬合度最好的函數，相關計算參數見表3。

表3 R2h和R1d的相關計算參數Tab.3 Several calculation parameters of R2h and R1d

由表3可知，Frank Copula函數的OLS值最小，表明其擬合效果最佳，故采用Frank Copula函數進行聯合分布計算，將長歷時暴雨和短歷時暴雨的經驗累積概率和采用Frank Copula函數計算理論累積經驗概率繪制在一張圖上，如圖2所示。

圖2 R2h和R1d的經驗累積概率和理論累積概率比較Fig.2 Comparison of empirical and theoretical accumulation probabilities

由圖2可以看出，聯合經驗累積概率和聯合理論累積概率的點距基本形成一條45°的對角線，表明聯合經驗累積概率和聯合理論累積概率計算結果接近，采用Frank Copula函數計算長歷時暴雨和短歷時暴雨的聯合分布概率合理。

2.3 聯合分布計算

由表2中的邊際分布參數可以求得長歷時暴雨與短歷時暴雨所對應的邊際分布概率，由表3可以得到Copula函數的統計參數，根據擬合結果選取Frank Copula函數為聯合分布函數，由Copula函數關系式及其對應的參數θ，計算聯合分布概率，繪制聯合分布概率圖(圖3)，從圖中可以查出任意量級的長歷時暴雨與短歷時暴雨組合的聯合分布概率。

圖3 聯合分布圖Fig.3 Joint probability distributions

2.4 組合重現期分析

由于城市的管道排水系統和區域排澇系統兩者設計歷時及設計標準存在差異，會造成管道排水與河道排澇工程運行不銜接，將2 h的短歷時暴雨和1 d的長歷時暴雨進行組合分析。當短歷時暴雨和長歷時暴雨同時發生時，河道排澇水位是上漲，管道排水可能受河道排澇水位頂托影響，城市排澇壓力增大。根據式(4)～式(7)，主要分析了短歷時暴雨和長歷時暴雨均超過某一量級的同現重現期，及短歷時暴雨在發生小于某一量級的暴雨時，長歷時暴雨發生大于某一量級的暴雨的重現期(表4)。

表4 組合重現期分析Tab. 4 Combined Reproductive Period Analysis

由表4可以看出，2 a一遇的短歷時暴雨和20 a一遇和30 a一遇的長歷時暴雨同現重現期分別為24.8、37、3 a一遇的短歷時暴雨和20 a一遇和30 a一遇的長歷時暴雨同現地重現期分別為32.1、47.6 a。在發生小于2 a一遇的短歷時設計暴雨時，發生超過20 a一遇和30 a一遇的長歷時暴雨條件重現期分別為12.4和18.5 a，在發生小于3 a一遇的短歷時暴雨時，發生超過20 a一遇和30 a一遇的長歷時暴雨條件重現期分別為10.7和15.9 a。可以看出同現重現期大于任何一個單一變量的重現期，條件重現期介于兩個單變量重現期之間。在排水防澇系統建設過程中，根據區域長歷時短歷時降雨特性，采用不同的組合重現期進行分析，為排水防澇系統設計提供科學依據，保障城市排水防澇安全。

3 結 語

基于沭陽縣1981-2015年35 a的降雨數據，將2 h的短歷時暴雨和1 d的長歷時暴雨進行組合分析，主要得出以下結論。

(1)分別采用皮爾遜Ⅲ型分布、指數分布和耿貝爾分布進行頻率計算擬合，結果表明，短歷時擬合精度最高的為耿貝爾分布，長歷時擬合精度最高的為皮爾遜Ⅲ型分布，但皮爾遜Ⅲ型分布和耿貝爾分布的綜合擬合精度接近，本次計算采用水文計算中習慣用的皮爾遜Ⅲ型分布。

(2)采用水文中常用Clayton Copula、Frank Copula及GH Copula函數構建聯合分布計算模型，采用OLS法進行聯合經驗累積概率和聯合理論累積概率擬合精度檢驗，結果表明Clayton Copula函數擬合精度最好。

(3)將短歷時重現期和長歷時重現期進行聯合分布計算，分析組合同現重現期和條件重現期，計算結果表明短歷時暴雨重現期2～5 a與長歷時暴雨重現期10～30 a的同現重現期為12.5～259.3 a，條件重現期為4.6～18.5 a。在排水防澇系統建設過程中，根據聯合設計標準及區域長歷時短歷時降雨特性，采用不同的組合重現期進行分析，將管道排水與區域排澇統籌考慮，可以更好地確定工程的規模大小，為排水防澇系統建設提供科學依據，保障城市排水防澇安全。

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