瞄準(zhǔn)高考方向 學(xué)好空間向量

■湖北省武漢市黃陂區(qū)第六中學(xué) 梅 磊

瞄準(zhǔn)高考方向 學(xué)好空間向量

■湖北省武漢市黃陂區(qū)第六中學(xué) 梅 磊

空間向量是解決立體幾何問題的有力工具,下面以近三年高考數(shù)學(xué)全國Ⅰ卷中的立體幾何解答題為例,帶你瞄準(zhǔn)高考方向,學(xué)好空間向量。

(2014年全國Ⅰ卷理第19題)如圖1,三棱 柱 ABCA1B1C1中,側(cè)面BB1C1C為菱形, AB⊥B1C。

圖1

(1)證明:AC=AB1;

(2)若AC⊥AB1,∠CBB1=60°,AB= BC,求二面角A-A1B1-C1的余弦值。

解析:(1)連接BC1,交B1C于點(diǎn)O,連接AO。因?yàn)閭?cè)面BB1C1C為菱形,所以B1C⊥BC1,且O為B1C及BC1的中點(diǎn)。

又AB⊥B1C,所以B1C⊥平面ABO。由于AO?平面ABO,故B1C⊥AO。

又B1O=CO,故AC=AB1。

(2)因?yàn)锳C⊥AB1,且O為B1C的中點(diǎn),所以AO=CO。又因?yàn)锳B=BC,所以△BOA≌△BOC。故OA⊥OB,從而OA, OB,OB1兩兩互相垂直。

圖2

因?yàn)椤螩BB1=60°,所以△CBB1為等邊三角形。又AB=BC,則:

設(shè)n=(x,y,z)是平面AA1B1的法向量,則即

設(shè)m=(x,y,z)是平面A1B1C1的法向量,則

二面角A-A1B1-C1的余弦值為

點(diǎn)評:本題中以橫放的三棱柱ABCA1B1C1為基本圖形,側(cè)面BB1C1C為菱形,有利于建立空間直角坐標(biāo)系。

圖3

(2015年全國Ⅰ卷理第18題)如圖3,四邊形ABCD為菱形,∠ABC=120°,E、F是平面ABCD同一側(cè)的兩點(diǎn),BE⊥平面ABCD, DF⊥平面ABCD,BE=2DF,AE⊥EC。

(1)證明:平面AEC⊥平面AFC;

(2)求直線AE與直線CF所成角的余弦值。

解析:(1)連接BD,設(shè)BD∩AC=G,連接EG,FG,EF。

在菱形ABCD中,不妨設(shè)GB=1。由∠ABC=120°,可得AG=GC=。

由BE⊥平面ABCD,AB=BC,可知AE=EC。

從而EG2+FG2=EF2,所以EG⊥FG。

又AC∩FG=G,可得EG⊥平面AFC。

又EG?平面AEC,則平面AEC⊥平面AFC。

圖4

故

點(diǎn)評:本題以同學(xué)們熟悉的菱形為載體,利用添加平面垂線段的方法構(gòu)建空間幾何圖形,使大家感覺到“似曾相識”之中有新意。本題的立體圖形情境是同學(xué)們在學(xué)習(xí)立體幾何中的有關(guān)概念和線面關(guān)系的過程中所熟悉的,同學(xué)們可以根據(jù)題意,按部就班地解題。90°,且二面角D-AF-E與二面角C-BE-F都是60°。

(2016年全國Ⅰ卷理第18題)如圖5,在以A、B、C、D、E、F為頂點(diǎn)的五面體中,面ABEF為正方形, AF=2FD,∠AFD=

圖5

(1)證明:平面ABEF⊥平面EFDC;

(2)求二面角E-BC-A的余弦值。

解析:(1)由已知可得AF⊥DF,AF⊥FE,所以AF⊥平面EFDC。

又AF?平面ABEF,故平面ABEF⊥平面EFDC。

(2)過D作DG⊥EF,垂足為G,由(1)知DG⊥平面ABEF。

由(1)知∠DFE為二面角D-AF-E的平面角,故∠DFE= 60°,則|DF|=2,可得A (1,4,0),B(-3,4,

圖6

因?yàn)锳B∥EF,所以AB∥平面EFDC。

又平面ABCD∩平面EFDC=CD,故AB∥CD,CD∥EF。

由BE∥AF,可得BE⊥平面EFDC,所以∠CEF為二面角C-BE-F的平面角,∠CEF=60°。從而可得C(-2,0

設(shè)n=(x,y,z)是平面BCE的法向量,則滿足:

點(diǎn)評:解立體幾何問題,關(guān)鍵在于建立空間直角坐標(biāo)系,把空間中的點(diǎn)用空間坐標(biāo)表示出來。利用空間向量可解決平行、垂直關(guān)系的證明問題,其理論依據(jù)為向量的共線和數(shù)量積公式。

(責(zé)任編輯 徐利杰)