例說數列與不等式的綜合題型

■湖南省長沙市周南雨花中學 彭向陽

例說數列與不等式的綜合題型

■湖南省長沙市周南雨花中學 彭向陽

一、不等式成立問題

已知等比數列{an}滿足2a1+ a3=3a2,且a3+2是a2與a4的等差中項。

(1)求數列{an}的通項公式;

(2)若bn=an-log2an,Sn=b1+b2+…+ bn,求使不等式Sn-2n+1+47＜0成立的n的最小值。

解析:(1)容易求得an=2n。

(2)bn=2n-log22n=2n-n。

故所求的n的最小值為10。

點評:正確利用求和公式求解,得到關于n的不等式,解不等式時,注意n是正整數。

二、不等式證明問題

設n∈N*,xn是曲線y=x2n+2+1在點(1,2)處的切線與x軸交點的橫坐標。

(1)求數列{xn}的通項公式;

解析:(1)第一問簡單,利用導數y'=(2n+ 2)x2n+1,求出切線方程y-2=(2n+2)· (x-1),再令y=0得到

(2)第二問難度大一點,有以下兩種解法:

解法1:利用單調性。

說明{n Tn}單調遞增,于是nTn≥1·T1=,所以

解法2:利用放縮法。

放縮法一:

放縮法二:

放縮法三:

變式1 已知數列{an}中,a1=1,an+1=

(1)求數列{an}的通項公式;

(3)已知pn=(1+b1)(1+b3)(1+b5)… (1+b2n-1),求證:

解析:(1)由題意知,則整理得到

(3)原 不 等式 即為 pn=

故原不等式成立。

變式2 數列{an}的前n項和為Sn,且Sn=2an-1,設bn=2(log2an+1),n∈N*。

(1)求數列{an}的通項公式;

(2)求數列{an·bn} 的前n項和Tn;

(3)證明:對于任意n∈N*,不等式恒成立。

解析:(1)由題意知Sn=2an-1。①

當n≥2時,Sn-1=2an-1-1。②

由①-②得an=2an-1。

由于S1=2a1-1,所以a1=1,an=2n-1。

(2)bn=2(log2an+1)=2n。

故Tn=2·20+4·21+6·22+…2n· 2n-1。③

故2Tn=2·21+4·22+…+(2n-2)· 2n-1+2n·2n。④

③-④得:

-Tn=2+2(21+22+…2n-1)-2n·2n= (2-2n)·2n-2。

所以Tn=(2n-2)·2n+2=(n-1)· 2n+1+2。

(3)待證不等式兩邊平方得:

變式3 在數列{an}中,已知并且當n≥2且n∈N*時,有an+1=

(1)若bn=an+1-an(n∈N*),求證:數列{bn}是等比數列;

解析:(1)當n=1時

由累加法得到:

變式4 數列{an}的通項公式an=n+1。

解析:(1)設f(x)=sin,則結合函數y=cosx的單調性,知,函數f(x)在區間(0,x0)上遞增,在上遞減;又f(0)=,因此在上,恒有f(x)≥0,即sin

(2)因為anan+1≥6,所以由(1)知故

三、不等式恒成立問題

已知數列{an}是等差數列,a2= 6,a5=12,數列{bn}的前n項和是Sn,且

(1)求數列{an},{bn}的通項公式;

解析:(1)由題意容易求得an=2n+2,

點評:數列中的恒成立問題,同函數中的恒成立問題一樣,m＞an對任意的n∈N*都成立,則m大于an中的最大項;反之一樣。這樣轉化為考慮數列的單調性,來求解最大值(上界)或者最小值(下界)。

變式1 已知數列{an}中,a1=2,anan-1-2n=0(n≥2,n∈N*)。

(1)求數列{an}的通項公式;

解析:(1)根據題意,利用累加法容易求得an=n(n+1)。

變式2 已知數列{an}中,a1=1,an+1=

(1)求數列{an}的通項公式an;

(2)若數列{bn}滿足數列{bn}的前n項和為Tn,如果不等式(-1)nλ＜Tn對一切n∈N*恒成立,求λ的取值范圍。

解析:(1)對原等式兩邊取倒數,得到令解得整理得

所以λ的取值范圍是(-1,2)。

四、不等式有解問題

等差數列{an}的首項為a1,公差d=-1,前n項和為Sn,a1∈{1,2,3}。

(1)若存在n∈N*,使Sn=-5成立,求a1的值。

(2)是否存在a1,使Sn＜an對任意大于1的正整數n均成立?若存在,求出a1的值;不存在,請說明理由。

解析: (1)由條件得Sn=na1+

整理得n2-(2a1+1)n-10=0。

由于n∈N*,所以Δ=(2a1+1)2+40必為完全平方數。

由于a1∈{1,2,3},逐個檢驗得a1=1符合要求,此時n=5。

(2)由Sn＜an得:

故不存在a1,使Sn＜an對任意大于1的正整數n均成立。

點評:不等式有解問題,同函數不等式的有解問題一樣,實質也是最值問題。存在n∈N*使得m＞an有解,則m大于an的最小項;m＜an有解,m小于an的最大值。這樣轉化考慮數列的單調性,來求解最大值(上界)或最小值(下界)。

(責任編輯 徐利杰)