數列中的創新題賞析

■山東省文登第一中學 崔 文

數列中的創新題賞析

■山東省文登第一中學 崔 文

創新題多以“新情境”為載體,從具體的問題情境中提取數學問題,或者滲透數學文化,考查同學們理解和運用新知識的能力,突出表現為將所學知識和方法遷移到新的問題情境中去。

1.定義“新概念”

對于數列{xn},若對任意n∈N*,都有成立,則稱數列{x}n為“減差數列”。設數列{an}是各項都為正數的等比數列,其前n項和為Sn,且a1=1,

(1)求數列{an}的通項公式,并判斷數列{Sn}是否為“減差數列”;

(2)設bn=(2-nan)t+an,若數列b3, b4,b5,…,bn是“減差數列”,求實數t的取值范圍。

解析:(1)設數列{an}的公比為q。

故t的取值范圍是(1,+∞)。

點評:第一問考查等比數列的通項公式和前n項和公式;第二問套用新概念,最終轉化為恒成立問題。

2.定義“新規則”

(1)設數列{an}的前n項和為Sn,若為常數,則稱數列{a}為“吉祥數n列”。已知等差數列{bn}的首項為1,公差不為0,若數列{bn}為“吉祥數列”,則數列{bn}的通項公式為( )。

Ab.n=n-1 Bb.n=2n-1

Cb.n=n+1 Db.n=2n+1

(2)若一個數列的第m項等于這個數列的前m項的乘積,則稱該數列為“m積數列”。若各項均為正數的等比數列{an}是一個“2017積數列”,且a1＞1,則當其前n項的乘積取最大值時,n的值為____。

解析:(1)設等差數列{bn}的公差為d(d≠因為b1=1,則即2+(n-1)· d=4k+2k(2n-1)d,整理得(4k-1)dn+ (2k-1)(2-d)=0。因為對任意的正整數n上式均成立,所以(4k-1)d=0,(2k-1)· (2-d)=0,解得所以數列{bn}的通項公式為bn=2n-1。

(2)由題可知a1a2a3·…·a2017=a2017,故a1a2a3·…·a2016=1。由于{an}是各項均為正數的等比數列且a1＞1,所以a1008a1009= 1,公比0＜q＜1。所以a1008＞1且0＜a1009＜1,故當數列{an}的前n項的乘積取最大值時,n的值為1008。

點評:第一問考查等差數列的前n項和公式;第二問考查等比數列通項的性質。“吉祥數列”和“m積數列”有別于“新概念”,其本質就是給定了一個新規則,基于新規則進行計算即可。

3.創設新情境

一位牧羊人趕著一群羊通過4個關口,每過一個關口,守關人將收走當時羊的一半,然后退還1只給牧羊人,過完這些關口后,牧羊人只剩下2只羊,則牧羊人在過第一個關口前有____只羊。

解析:記牧羊人通過第1個關口前、通過第2個關口前、…、通過第4個關口前剩下的羊的只數組成數列{an}(n=1,2,3,4),則由題意得1。而解得a=2,依次類推得

4a3=2,a2=2,a1=2。

點評:考查遞推關系。要能夠根據每次羊的數量變化,得出數列的項之間的遞推關系。

4.滲透數學文化

意大利著名數學家斐波那契在研究兔子繁殖問題時,發現有這樣一組數:1, 1,2,3,5,8,13,…,其中從第三個數起,每一個數都等于它前面兩個數的和,該數列是一個非常美麗、和諧的數列,有很多奇妙的性質,比如隨著數列項數的增加,前一項與后一項之比越來越逼近黃金分割0.6180339887,人們稱該數列{an}為“斐波那契數列”。若把該數列{an}的每一項除以4所得的余數按相對應的順序組成新數列{bn},在數列{bn}中第2017項的值是____。

解析:1,1,2,3,5,8,13,…,除以4得的余數分別為1,1,2,3,1,0,1,1,2,3,1,0,…,即新數列{bn}是周期為6的周期數列,b2017= b336×6+1=b1=1,所以第2017項的值是1。

點評:本題考查數列的周期性。“斐波那契數列”是高中數學研究的一個很重要的數列模型,值得同學們深入思考。

鞏固練習:

1.對于數列{an},定義數列{an+1-an}為數列{an}的“差數列”,若a1=2,{an}的“差數列”的通項公式為2n,則數列{an}的前n項和Sn=____。

答案:2n+1-2。

2.根據科學測算,運載神舟飛船的長征系列火箭,在點火后1min上升的高度為1km,以后每分鐘上升的高度增加2km,在達到離地面240km高度時船箭分離,則從點火到船箭分離大概需要的時間是( )。

A.20min

B.16min

C.14min

D.10min

答案:B。

3.設數列{an}的前n項和為Sn,若對任意的正整數n,總存在正整數m,使得Sn= am,則稱{an}是“H”數列。

(1)若數列{an}的前n項和Sn=2n(n∈N*),證明:{an}是“H數列”;

(2)設{an}是等差數列,其首項a1=1,公差d＜0,若{an}是“H數列”,求d的值。

解析:(1)由已知,當n≥1時,an+1=Sn+1-Sn=2n+1-2n=2n。于是對任意的正整數n,總存在正整數m=n+1,使得Sn=2n= am,所以{an}是“H數列”。

(2)由已知得S2=2a1+d=2+d。

因為{an}是“H數列”,所以存在正整數m,使得S2=am,即2+d=1+(m-1)d,于是(m-2)d=1。因為d＜0,所以m-2＜0,故m=1,從而d=-1。

所以{an}是“H數列”。

因此d的值為-1。

(責任編輯 徐利杰)