航天器編隊的六自由度循環追蹤協同控制

羅建軍，周 亮，蔣祺祺，張 博

(1.西北工業大學航天學院，西安710072;2.航天飛行動力學技術重點實驗室，西安710072; 3.深圳大學機電與控制工程學院，深圳518060)

航天器編隊的六自由度循環追蹤協同控制

羅建軍1，2，周 亮1，2，蔣祺祺1，2，張 博2，3

(1.西北工業大學航天學院，西安710072;2.航天飛行動力學技術重點實驗室，西安710072; 3.深圳大學機電與控制工程學院，深圳518060)

針對航天器編隊的姿軌協同控制問題，提出一種使用循環追蹤策略的六自由度(6-DOF)協同控制方法。首先，結合Lagrangian形式的姿態動力學和軌道動力學方程，建立航天器編隊的六自由度相對運動模型;然后，以線性雙積分系統的循環追蹤算法為基礎，分別設計可跟蹤動態目標的循環追蹤算法和航天器匹配自然周期相對運動的循環追蹤算法。綜合上述兩種算法，設計航天器編隊六自由度協同控制的循環追蹤算法。該算法可實現航天器編隊空間圓構型初始化，跟蹤動態的期望姿態和相對運動。仿真結果證明了所提出的航天器編隊六自由度協同控制的循環追蹤算法的有效性。

航天器編隊;循環追蹤;六自由度;姿軌協同控制;Lagrangian方程

0 引 言

與傳統的單平臺航天器相比，分布式航天器系統具有結構靈活、可靠性高、生命周期長以及發射風險低等優點，不僅可以實現傳統航天器無法實現的任務，如合成孔徑、長基線任務，還具有傳統航天器所不具備的快速空間響應能力和空間攻防對抗下的任務保護能力［1－3］。分布式自主協同控制(或稱多智能體協同控制)是航天器編隊自主協同飛行的重要研究方向和技術核心。實際任務往往要求對多個航天器的相對位置和相對姿態進行協同控制［4－7］。

近年來很多學者開展了航天器六自由度(6 degree of freedom，6-DOF)協同控制的研究，并取得一定進展。航天器六自由度的協同控制，目前主要采用的方法是將航天器相對姿態和軌道描述為Lagrangian方程形式的六自由度模型，借助Lagrangian方程的反對稱性等性質設計協同控制律［4］。呂躍勇等［5］和Lv等［6］在考慮輸入受限和參數不確定情況下，基于退步控制設計了協同控制律，并通過加入指令濾波器，使控制信號滿足輸入約束。在此基礎上針對輸入受限和模型參數不確定，又設計了一種滿足輸入有界條件的自適應L2增益干擾抑制控制器。張博［7］在多Lagrangian系統線性和非一致控制律基礎上，分別設計了航天器協同飛行交會對接任務和編隊構型控制任務的兩個6-DOF協同控制算法，并研究了姿軌控制推力器配置與控制分配算法。畢鵬等［8］采用一致性理論，設計了一種非線性控制律。Chung等［9］將衛星編隊相對軌道和姿態運動描述為Lagrangian系統，設計了一種分布式非線性協同控制律以實現衛星編隊的六自由度協同控制。Kristiansen等［10］針對模型參數不確定，分別設計了基于無源方法的PD+控制器、滑模控制器及后退控制器3個控制器。Ren［11］在有向拓撲結構下研究了多星系統的相對軌道和相對姿態，但是將航天器相對運動建模為簡單的線性二階積分系統。

循環追蹤策略是一種分布式協同控制策略，采用單向信息拓撲，實現n個智能體前后跟蹤，首尾相接。該方法在一致性問題基礎上，通過加入一個旋轉耦合矩陣使每個自主體的控制輸入通過旋轉角產生偏置，最終使所有自主體形成期望幾何構型［7］。循環追蹤策略的基本原理是通過選擇不同的旋轉角，使閉環系統特征值配置在復平面的左半平面、虛軸或右半平面，實現以下3種基本的運動模式:共點模式、圓形編隊模式、對數螺旋線模式。Ren［12］針對一階系統和二階系統，設計了循環追蹤算法，并通過分析閉環系統狀態轉移矩陣的特征值來分析系統穩定性，并研究信息拓撲、阻尼增益及耦合矩陣對集群運動的影響。Mier-Y-Teran-Romero等［13］考慮了時間延遲、噪聲的存在，采用循環追蹤方法研究了非線性自主體的編隊控制。Riberos等［14］對循環追蹤理論進行了研究，探討了其在深空探測干涉儀成像、衛星編隊飛行等空間任務的應用。但是，現有文獻中循環追蹤策略主要應用于航天器編隊軌道控制中，目前還沒有將其應用于航天器編隊飛行六自由度協同控制的文獻。

本文基于線性雙積分系統的循環追蹤算法［14－15］，設計了可跟蹤動態目標的協同控制循環追蹤算法，并結合航天器近地環境自然周期相對運動特性，設計了與自然構型匹配的循環追蹤算法。在此基礎上，設計了一種編隊飛行六自由度循環追蹤算法，同時跟蹤航天器編隊的期望姿態和相對運動軌跡，實現了航天器六自由度姿軌協同控制。

1 航天器編隊的六自由度相對運動模型

1.1 單個航天器的六自由度相對運動模型［7］

采用修正的羅德里格斯參數 (Modified Rodriguez parameters，MRPs)描述航天器體坐標系相對于慣性坐標系的方位，可以避免求解復雜的約束方程，并且沒有冗余參數，同時能夠減少奇異性影響，其具體表示為

式中:e為歐拉軸，θ為繞e軸的旋轉角。

采用MRPs表示的姿態運動學方程為

航天器的姿態動力學模型為

式中:J為對稱正定的航天器轉動慣量陣，τ=［τ1，τ2，τ3］T，是作用于航天器上的控制力矩或干擾力矩，ω =［ω1，ω2，ω3］T，為航天器相對于慣性系的姿態角速度，［·］×表示叉乘矩陣。

聯立式(1)和式(2)可得采用MRPs描述的某個編隊航天器Si，i=1，…，N的姿態運動方程為

定義參考軌道坐標系Oxyz，原點位于編隊參考中心，x軸沿矢徑方向，z軸沿垂直軌道面的角動量方向，y軸由右手法則決定且Oxyz組成右手直角坐標系。假設編隊中所有航天器同構(質量統一為m)，可得Lagrangian形式的相對軌道動力學方程:

若參考航天器S0運行在不受攝動影響的圓參考軌道上，軌道半徑為r0，軌道角速度為n，編隊航天器Si，i=1，…，N的相對運動動力學方程可采用如下的C-W方程描述

定義某個編隊航天器Si，i=1，…，N的六自由度運動狀態為，結合式(3)～(4)，可得

式中:

1.2 航天器編隊的六自由度相對運動模型

2 軌跡協同控制的循環追蹤算法

2.1 線性雙積分系統的循環追蹤算法［14］

設i∈{1，…，N}表示三維空間多智能體系統中第i個智能體，Xi(t)=［xi(t)，yi(t)，zi(t)］T∈R3，表示i在t≥0時刻的位置狀態，運動模型為線性雙積分系統:

考慮如下線性雙積分系統的循環追蹤算法

式中:km∈R+，kn∈R，當i=N時，XN+1與等效表示為X1與。Q(α)是旋轉角為α的三維旋轉矩陣，其旋轉軸為［0，0，1］T，則有

由式(9)可知，循環追蹤控制需要每個智能體相對于參考點的位置(kn≠0)和速度信息(kn≠－km)。

在循環追蹤算法(9)的作用下，N個智能體組成的多智能體系統可寫為

選擇適當的參數，在式(9)的作用下，多智能體系統在三維空間可形成3種典型的運動模式:聚集運動、圓構型周期運動和對數螺旋線運動。關于參數和多智能體的運動特征有如下3個定理。

定理1.對閉環系統(10)，若 －km不是(α)的特征值，則系統狀態矩陣(α)的特征值由以下兩部分組成:

2)3 N個重根 －km。

定理2.對閉環系統(10)，假設kn＞0，若0≤＜π/N，則(α)的所有特征值都位于左半復平面內(即(α)的所有特征值都位于左半復平面內)，收斂到原點上;若π/N≤＜2π/N，則有如下結論:

1)若kn＞2sin(π/N)sin(α－π/N)，所有特征值位于左半開復平面內;

2)若kn=2sin(π/N)sin(α－π/N)，有兩個非零特征值位于復平面虛軸上，其余特征值位于左半開平面內;

3)若kn＜2sin(π/N)sin(α－π/N)，兩個非零特征值位于右半開平面內，其余非零特征值位于左半開平面內。

定理3.對多智能體系統(10)，若 －km不是(α)的特征值，且kn＞0，則系統從非零初始狀態開始，在式(9)作用下指數收斂:

當kn＞2sin(π/N)sin(α－π/N)，收斂到原點;

當kn=2sin(π/N)sin(α－π/N)，收斂為一個以原點為圓心的圓構型上;

當kn＜2sin(π/N)sin(α－π/N)，收斂到一個均勻分布的對數螺旋線編隊。

2.2 追蹤動態目標的循環追蹤算法

在線性雙積分系統循環追蹤算法(9)的基礎上，加入跟蹤的動態目標狀態，可設計如下的可追蹤動態目標的循環追蹤算法［7，14］:

由式(12)與式(10)的對比可見，可追蹤動態目標的線性雙積分系統循環追蹤算法(11)是式(9)的推廣，因此定理1、定理2、定理3也都適用于式(11)。

2.3 追蹤軌跡匹配自然構型的循環追蹤算法

對于航天器的協同飛行，減少航天器編隊飛行過程中的燃料消耗，應該充分利用航天器間的自然周期相對運動。為了實現航天器自然周期相對運動，減少燃料消耗，本文采用同胚映射將編隊航天器的追蹤軌跡轉換到航天器間的自然周期相對運動構型，實現考慮自然周期相對運動幾何形態的相對運動協同控制［7，14］。

采用同胚映射的方法可以將循環追蹤的軌跡轉換到特定的幾何形狀。相似變換是一種常用的同胚映射方法。通過選擇合適的線性可逆變換 T∈ RN×N對循環追蹤算法的旋轉矩陣Q(α)進行相似變換，可以使原來收斂的系統收斂到新的不變集［7，14］。這樣，狀態就會產生如下轉換

因此，循環追蹤算法產生的圓構型在同胚映射作用下就能夠與航天器相對運動的橢圓形自然構型相匹配，從而形成自然的周期相對運動。

假設參考航天器S0在近圓軌道運行，即e0≈0，且不考慮J2項攝動的影響，選取變換矩陣如下:

式中:z0和φz是兩個可調參數，決定了圓參考軌道周期構型的法向振幅和相位角。

對線性雙積分系統的循環追蹤算法(9)的旋轉矩陣進行相似變換，可設計如下的匹配自然構型的航天器編隊循環追蹤算法:

式中:kc=n/［2sin(π/N)cos(α－π/N)］。其余參數的含義與式(9)相同。下面對控制性能進行分析。

式(15)除去第一項的剩余部分如下:

N個航天器組成的編隊系統可寫為

由定理1，若 －km不是(α)的特征值，則式(16)中狀態矩陣A～(α)的特征值由以下兩部分組成:

由式(17)可得，當kn＞0，π/N≤＜2π/N時，特別地，當kn=2sin(π/N)sin(α－π/N)，有兩個位于虛軸的特征值λ1，2=±j2kcsin(π/N)cos(απ/N)，其余特征值均位于左半平面。虛軸上的特征值決定了圓編隊的角速度，即圓編隊角速度ωN= 2kcsin(π/N)cos(α－π/N)。

要實現匹配自然周期相對運動構型，除了幾何形狀、尺寸外，還要匹配運動角速度(頻率)，即ωN=n，則kc=n/［2sin(π/N)cos(α－π/N)］。

根據文獻［14］中的命題3.4.1，以及定理2和定理3，式(15)能夠保證閉環系統穩定。

當t→∞ ，編隊系統中的航天器Si，i=1，…，N將收斂到以下構型［14］:

式中:α0，i=2π(i－1)/N，aE為航天器相對運動橢圓形自然構型的長半軸，由所有航天器初始狀態決定。將式(14)代入式(18)，并對參考軌道坐標系的方向分量進行化簡，可得

式(19)為由C-W方程描述的航天器相對運動的橢圓形自然構型。將式(19)代入式(5)易得，當Xi(t)→Xdi(t)，i=1，…，N，fi→0。

3 六自由度協同控制的循環追蹤算法

圓編隊構型在實際中有著廣泛的應用，根據定理3的情況2)，選擇適當的參數，使用可追蹤動態目標的循環追蹤算法(11)和追蹤軌跡匹配自然構型的循環追蹤算法(15)，結合航天器編隊的六自由度相對運動模型，可以在得到匹配自然構型圓編隊軌跡的同時實現姿態一致。

將式(20)～(21)代入式(6)可得:

根據定理3，選擇合適的參數α、km1、km2、kn1和kn2，就可以實現空間圓編隊任務。

4 仿真校驗

4.1 仿真參數設置

應用航天器編隊六自由度協同控制的循環追蹤算法(20)，實現5個在近地軌道飛行的航天器的姿態同步、編隊構型初始化以及編隊構型的保持控制。

初始條件如下:設5個航天器同構，質量均為50 kg，轉動慣量均為

航天器編隊系統內的信息拓撲圖G為單向循環追蹤環，如圖1所示。序號1～5表示航天器S1～S5，仿真結果如圖2～5所示。

5個航天器的初始姿態MRPs與初始角速度如表1所示。

設參考軌道是高度為679.9718 km的圓軌道，軌道傾角75°，5個航天器相對于參考軌道S0的初始位置與初始速度如表2所示。

表2 初始位置和初始速度Table 2 Initial position and velocity

追蹤角為α=1.5π/N，N=5為航天器數目。給出控制參數:km1=0.01，km2= 0.01，kn1= 2sin(π/N)sin(α－π/N)+0.2，kn2=2sin(π/N)sin(α－π/N)－0.2，0＜t≤2T，kn2=2sin(π/N)sin(απ/N)，2T ＜t≤3T，kc=n/(2sin(π/N)cos(απ/N))。其中自然周期頻率。在變換矩陣Tc(式(14))中，選擇(空間圓構型)， φz=0°。

5個航天器協同飛行的期望相對運動為等相位分布在半徑為1 km的空間圓構型，并且期望姿態運動為:=0.3547，=0.0564，=0.2870。每個航天器上12個推力器，每個推力器的最大推力為1 N，具體配置方案參考文獻［16－17］。

4.2 仿真結果分析

從初始條件開始，在式(20)的作用下，實現5個航天器姿態的同步、編隊構型的初始化與編隊保持，仿真時間為3個軌道周期3T(17700 s)。

圖2是5個航天器協同飛行的構型建立過程，5個實心圓分別表示航天器的初始位置，5個五角星分別表示航天器的最終位置，可見5個航天器由初始狀態在式(20)的控制作用下可以等相位分布在空間圓構型上。

圖3是5個航天器的姿態MRPs、角速度的同步過程及控制力矩變化曲線，曲線最終收斂到期望姿態。由圖3可知，在式(20)的作用下，約在500 s時，5個航天器姿態MRPs同步到期望姿態，角速度趨向0，控制力矩也趨向0，說明姿態同步已完成，因此僅繪制出前600 s的仿真曲線。

圖4為整個任務周期內5個航天器在式(20)的控制作用下的相對位置、速度及控制力變化曲線。任務周期分為兩個階段:第一階段，在0＜t≤2T時間段內，利用循環追蹤螺旋線運動模式，執行編隊的初始化任務;第二階段，在2T＜t≤3T時間段內，利用循環追蹤圓構型運動模式，使編隊保持空間圓相對運動。從控制力變化曲線來看，2T時刻(11800 s)是操作任務的切換點，控制力存在跳變，這是由于算法由螺旋線模式轉換到圓構型模式導致的?？刂屏S持在10－3量級，符合燃料消耗需求。

由圖5可見，在式(20)的作用下，5個航天器之間的相對距離和相對速度呈周期變化，達到了穩定的六自由度編隊協同運動狀態。

5 結 論

本文首先以Lagrangian形式的姿態動力學和軌道動力學為基礎，建立了航天器六自由度相對運動動力學方程。然后，基于線性雙積分系統的循環追蹤算法，設計了可跟蹤動態目標的循環追蹤算法。然后結合航天器自然周期相對運動特性，使用同胚映射方法，設計了匹配自然構型的循環追蹤算法。綜合上述兩種循環追蹤算法，進一步設計了航天器編隊飛行六自由度協同控制的循環追蹤算法。仿真結果表明，所設計的使用循環追蹤的六自由度協同控制算法，可以使多個航天器同時準確跟蹤期望姿態運動和相對軌跡運動，可實現航天器圓編隊構型建立、航天器姿軌協同和編隊構型的保持控制。

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電話:(029)88493685，(029)88493350

E-mail:jjluo@nwpu.edu.cn

(編輯:牛苗苗)

6 DOF Coordinated Control Using Cyclic Pursuit for Spacecraft Formation

LUO Jian-jun1，2，ZHOU Liang1，2，JIANG Qi-qi1，2，ZHANG Bo2，3
(1.School of Astronautics，Northwestern Polytechnical University，Xi’an 710072，China; 2.National Key Laboratory of Aerospace Flight Dynamics，Xi’an 710072，China; 3.College of Mechatronics and Control Engineering，Shenzhen University，Shenzhen 518060，China)

A 6 degree of freedom(6-DOF)attitude and orbit coordinated control method using cyclic pursuit is proposed for spacecraft formation flying.Firstly，a decentralized coordinated tracking cyclic pursuit algorithm is developed based on the linear second-order cyclic pursuit control algorithm.Then，a cyclic pursuit algorithm which can match the natural period configuration of satellites is improved based on a similarity transformation to the rotation matrix.Next，a proposed 6-DOF coordinated control method which uses cyclic pursuit algorithm is applied to both orbital and attitude dynamics formulated as the integrated Lagrangian equations.The three dimentional circular formation composed of multiple spacecraft can be realized by the proposed algorithm and the attitude of an arbitrary number of spacecraft can be synchronized to the constant reference states simultaneously.Numerical simulation results demonstrate the efficiency of the proposed algorithm.

Spacecraft formation flying;Cyclic pursuit;6 degree of freedom(6-DOF);Attitude and orbit coordinated control;Lagrangian equations

V448.2

A

1000-1328(2017)02-0166-10

10.3873/j.issn.1000-1328.2017.02.008

羅建軍(1965－)，男，博士，教授，主要從事航天飛行動力學、導航、制導與控制等方面的研究。

2016-08-16;

2016-11-21

國家自然科學基金(11072194，61690211)