小波模極大值法與數學形態學邊緣檢測細化結果

江宇博，劉 波

(中北大學 機械與動力工程學院，太原 030051)

小波模極大值法與數學形態學邊緣檢測細化結果

江宇博，劉 波

(中北大學 機械與動力工程學院，太原 030051)

圖像邊緣檢測的關鍵是盡可能多的檢測到邊緣并且抑制噪聲的同時，盡可能的滿足單線的邊緣定位精度；為此選取了一種融合小波模極大值和數學形態學的邊緣檢測方法來獲取圖像邊緣；首先在對圖像進行小波分解，分別利用模極大值法和多尺度多結構數學形態學方法來處理小波分解的高頻分量和低頻分量，利用差影法對二者的結果進行融合；然后利用大律法得到二值化圖像，并用形態學邊緣細化算法細化圖像邊緣得到最后結果；實驗結果顯示，融合的方法可以得到比較完善的邊緣，經過二值化和邊緣細化后，獲得的單線寬邊緣更加清晰，定位精度更高。

圖象處理；邊緣檢測；模極大值；數學形態學；邊緣細化

0 引言

邊緣檢測是機器視覺中基礎的一步，為后續的工作打下基礎。圖像邊緣是圖像中灰度變化劇烈或者在梯度方向有發生突變的像素的集合，蘊含了圖像中十分豐富的信息，被廣泛用于圖像融合和模式識別中[1-3]。傳統的邊緣檢測算法如Sobel算子、Roberts 算子、Prewitt 算子和 Canny算子等等都有著相當不錯的作用和效果，尤其是Canny算子由于其良好的邊緣連續性和單像素的邊緣定位，被廣大學者深入研究改進[4-5]。但是由于以上算法本質都是梯度算法，對噪聲比較敏感。

由于傅立葉變換的基是連續的三角函數,所以它對非平穩變換具有局限性。小波變換將傅立葉變換中無限長的三角函數基換成了有限長的會衰減的小波基。小波函數不僅有尺度還有平移，這樣小波變換不僅可以知道信號的頻率成分，而且知道它在時域上存在的具體位置。這使得小波變換具有奇異性,小波變換的這種性質也使得小波成為了檢測圖像邊緣的好工具。小波系數模的局部極大值對應檢測到的圖像邊緣，但是模極大值法只用到了小波分解中的高頻分量，忽略了低頻分量包含的邊緣信息。所以很多研究人員提出了小波變換和形態學融合的方法來提取圖像邊緣[6-8]。基于小波變換的邊緣檢測，能較好地抑止噪聲；基于數學形態學的邊緣檢測，能精確地定位邊緣，較好地檢測弱邊緣及保留圖像中原有細節信息。二者融合可以綜合二者的優點，取得不錯的效果。

雖然形態學和小波變換結合的方法能夠得出十分完整的邊緣，然而邊緣像素較多，遠不能達到單像素邊緣。Canny曾經指出，提取出的邊緣應該盡量滿足與實際圖像邊緣一一對應。選擇合適的邊緣細化算法，可以得到單像素的二值化邊緣，提高邊緣的定位精度。為了進行更加精確的單線邊緣，許多學者對邊緣細化算進行了研究。

串行、并行和串-并行處理是細化處理的三種基本分類。串行算法[9-10]的細化的過程同時受到了上一次迭代圖像與當前處理情況的制約。串行算法受到對圖像像素的處理先后順序的限制，因而其像素點的腐蝕或保留有時不可預測。相反，并行算法[11-12]只與上一次迭代結果有關，并行算法對圖像象素進行腐蝕是利用相同的條件同時處理所有象素點，結果往往保持了各向同一性。文中使用了一種基于數學形態學變換的細化算法[13]，它以幾何形態學為基礎對圖像進行分析，很容易實現并行處理。

1 模極大值法

首先，簡單介紹小波模極大值方法：

設θ(x,y)為高斯平滑函數，它具有良好的局部化特性，并且滿足：

?Ωθ(x,y)dxdy=1

(1)

θ(x,y)在x,y方向的導數分別為：

(2)

其中：φ1(x,y)和φ2(x,y)可以看作小波二維變換函數，對任意f(x,y)∈L(R2)有，二維小波變換：

W1f(x,y)=φ1(x,y)*f(x,y)

W1f(x,y)=φ2(x,y)*f(x,y)

(3)

式(3)中的兩個分量正好構成了梯度矢量：

*θ)(x,y)

(4)

由此可得f(x,y)小波變換的模為：

(5)

幅角為：

(6)

對小波系數采用局部模極大值法求圖像的邊緣，由于梯度的方向指向梯度模極大值所在方向，所以只要沿著梯度方向檢測小波變換系數模的局部極大值點，就可以得到圖像的邊緣點。文獻[8]中提出采用雙閾值法來抑制虛假邊緣，同時也抑制掉了一部分真實的邊緣，由于后期要對圖像邊緣進行二值化細化，所以這里不在進行雙閾值，而是選用單閾值保住盡量多的邊緣。

2 數學形態學運算

改進的形態學邊緣檢測主要是根據數學形態學四個基本運算構造邊緣檢測算子，再選用多尺度多結構元素對圖像進行邊緣檢測。本章主要介紹數學形態學的四種基本運算、采用的數學形態學算子和采用的結構元素。

2.1 數學形態學基本運算

數學形態學是圖像處理過程中解決許多難題的一個強而有力的工具。數學形態學是由集合理論發展而來的。膨脹、腐蝕、開啟和閉合是形態學最基本的四種運算。其基本思想就是利用特有的結構元素利用四種基本運算的組合使用去度量和提取圖像中的形狀。

在一個二維的歐幾里得空間Z2中，設f(x,y)為輸入圖像，b(x,y)為結構元素。利用結構元素b(x,y)對輸入圖像f(x,y)進行膨脹運算：

f⊕b(x,y)=max{f(x-s,y-t)+b(s,t)

|(x-s),(y-t)εDf,(s,t)εDb}

(7)

利用結構元素b(x,y)對輸入圖像f(x,y)進行腐蝕運算：

f⊙b(x,y)=min{f(x+s,y+t)-b(s,t)

|(x+s),(y+t)εDf,(s,t)εDb}

(8)

利用結構元素對輸入圖像進行開運算和閉運算分別表示為：

f·b(x,y)=(f⊙b)⊕b

(9)

f·b(x,y)=(f⊕b)⊙b

(10)

2.2 改進形態學邊緣提取算法

四種基本運算對圖像具有不同的效果，膨脹運算是利用結構元素對圖像進行擴大和填充；腐蝕運算可以用來縮小圖像中的成分，可以消除比結構元素小的成分，它們具有對偶性。開運算是先進行腐蝕后進行膨脹，作用是去除比較細小的部分，撕開了較小的間隙；閉運算的順序跟開運算相反，先進性膨脹后進行腐蝕，作用也相反，填充物體內細小孔洞、連接臨近物體、平滑其邊界，它們也具有對偶性。正是因為這些作用，形態學可以用來提取圖像的邊緣，也可以用來對圖像進行降噪。

邊緣檢測算子是通過四種基本運算的組合推到得出的，結合形態學的定義及擴張性，設f(x,y)為輸入圖像b(x,y)為結構元素，g(x,y)為邊緣圖像,可以得知式(5)成立：

f⊕b(x,y)≥f·b(x,y)≥f≥

f°b(x,y)≥f⊙b(x,y)

(11)

進而可以由(5)式推導出傳統形態學邊緣提取算法如下式(6)所示：

g(x,y)=f⊕b-f

g(x,y)=f-f⊙b

g(x,y)=f⊕b-f⊙b

g(x,y)=f·b-f

g(x,y)=f-f°b

g(x,y)=f·b-f°b

(12)

由于上面的算法都對噪聲比較敏感，沒有考慮到去噪。我們將使用一種新的邊緣檢測算法[14]，該算法不僅可以檢測圖像邊緣，而且可以在一定程度上去噪。

gi(x,y)=((f·b1)°b2)⊕b3i-

((f°b1)·b2)⊙b3i(i=1,2,3…n)

(13)

關于結構元素的選擇，b1、b2為濾波結構元素，之所以被稱為濾波結構元素是因為其幾何結構明顯大于分解的結構元素，于是在圖像平滑的作用上大于分解的結構元素，對噪聲信號過濾作用明顯。當然代價就是要犧牲掉一些小的局部細節[15]。b3i(i=1,2,3…n)為分解元素，文獻[15]中實驗證明四種結構元素對圖像進行邊緣提取后的邊緣進行線性結合可以提取出更為準確、細節更多的邊緣。

(14)

2.3 數學形態學邊緣細化算法

簡單來說,邊緣細化就是在保持圖像原有的形狀的基礎上去除一些點。細化的目的是得到圖像中心的寬度為一個像素的黑線，在未達到單像素之前必須沿著圖像邊緣不停的去除一些點。細化的結果被稱為原圖案的骨架。骨架與原圖案要具有相同的拓撲形狀和連通性。

擊中擊不中變換是進行數學形態學邊緣細化的理論基礎。擊中擊不中變換的基本思想是抽取圖像中與給定領域結構相匹配的所有像素。

設f(x,y)為輸入圖像，b(x,y)為結構元素，且b(x,y)由兩個不相交的的部分b1(x,y)和b2(x,y)組成，滿足兩者的交集是空集，兩者的并集正好組成結構元素b(x,y)，所以f(x,y)被b(x,y)擊中定義為：

f*b(x,y)=(f⊙b1)∩(fc⊙b2)

(15)

進一步可以知道邊緣細化的定義為：

f?b(x,y)=f-f*b(x,y)

(16)

設一個結構元素系列：

{b(x,y)}={b1(x,y),b2(x,y)…bn(x,y)}

(17)

那么圖像f(x,y)被結構元素系列細化表示為：

f?{b}(x,y)=(…((f?b1)?b2)…)?bn

(18)

從上式中可以看出，細化的過程是，先用一個結構元素b1(x,y)對圖像f(x,y)進行細化，接著用b2(x,y)對b1(x,y)細化過的結果繼續進行細化，以此類推，直至用bn(x,y)對圖像細化完一遍為止。由于細化是有方向的，所以我們選取結構元素系列包含8個不同方向的結構元素：

(19)

上述8個結構元素b41，b42，b43，b44，b45，b46，b47，b48分別用來去掉南、西、北、東、西南、西北、東北、東南8個方向上的點。其中結構元素中數字‘1’代表目標圖像上的點，數字‘0’代表背景圖像中的點，‘o’代表中參考中心點，‘x’表示既可以是目標圖像上的點也可以是背景圖像中的點。

3 邊緣檢測及其細化具體流程

步驟1:利用高斯函數一階偏導數作為基本小波，對初始圖像進行分解得到高頻子圖像和低頻子圖像。

步驟2:采用模極大值法對高頻子圖像進行邊緣檢測得到高頻子圖的邊緣。

步驟3:用多尺度多結構元素數學形態學算法對低頻子圖像進行邊緣檢測，得到低頻邊緣。將式(14)中的結構元素帶入式(13)中，4個方向的邊緣求和得到形態學處理邊緣結果：

Il=g1+g2+g3+g4

(20)

步驟4:將低頻和高頻圖像采用差影法進行融合，生成最終的邊緣圖像。

假設步驟2中得到的高頻子圖的邊緣為Ih(x,y)，步驟3中得到的低頻子圖的邊緣為Il(x,y)，融合后的圖像為I(x,y) 。

I(x,y)=αIl(x,y)+βIh(x,y)

(21)

其中:α、β分別為加權因子。

步驟5:采用大律法對圖像進行二值化處理。

設T為目標和背景的分割閾值，圖像平均灰度為：

u=w1u1+w2u2

(22)

目標與背景之間的灰度方差為：

e=w1(u1-u)2+w2(u2-u)2

(23)

其中:u1和w1分別表示目標的平均灰度值和目標點數占圖像比例，u2和w2分別表示背景的平均灰度值和背景點數占圖像比例。只需要使得方差最大化，T便是最佳閾值。

步驟6:對二值化的圖像進行邊緣細化，遵循公式(18)利用結構元素b41，b42，b43，b44，b45，b46，b47，b48循環對圖像進行邊緣細化，直至結果不在發生變化。在細化過程中不能刪除圖像中的孤立點、直線斷線、內部點。

4 實驗結果及分析

為了驗證算法的可行性，實驗使用CPU為corei7，內存為8GB的筆記本，在Matlab2015a的環境下編程實現了上述算法。首先實驗以標準的Lena圖和Peppers圖為例，分別與單閾值小波模極大值、多尺度多結構元素形態學法、融合算法、Canny算法進行比較，試驗中α、β均取值為0.5。

表1 邊緣像素數和算法用時

在圖1和圖2中可以看出，文中采用的多結構形態學提取的圖像邊緣雖然邊緣結構比較清晰，但是存在較多的細碎點和孤立點，這些點并不是圖像邊緣；模極大值法提取的邊緣在定位精度上比較好，但是損失了連續性，Lena圖左側的兩個比較長得豎線邊緣接近丟失；兩種算法的融合算法取得了比較清晰的圖像邊緣，邊緣清晰，但是邊緣太粗，定位精度大打折扣；Canny算法取得了單像素的邊緣而且連續性很好，但是由于Canny算法后續采用雙閾值進行邊緣鏈接，在Lena圖的臉上和帽子處出現了許多比較短的偽邊緣；文中算法的最終結果由于經過大律法二值化處理，并且經過形態學邊緣細化，在比較長得邊緣上獲得了較好的連續性，也去除了短小的偽邊緣，邊緣取得了單線的精度。

圖1 Lena圖邊緣檢測結果

圖2 pepper圖邊緣檢測結果

對于文中算法的抗噪性，實驗采用CCD相機拍攝圖像進行實驗，采樣圖片光照不均勻，帶有混合噪聲，如圖3中原圖所示。可以看出文中算法保留了差影融合后圖像邊緣抗噪的優點，最后取得了單像素的邊緣，效果良好。

圖3 CCD采樣圖邊緣檢測結果

5 結束語

綜上所述，差影法融合技術融合了小波模極大值法和多尺度多結構數學形態學算法的優點，取得了定位精度高，邊緣連續的灰度圖像。在對圖像利用大律法進行二值化處理后，利用形態學進行邊緣細化，細化邊緣定位精度較好，而且對噪聲抑制能力比較好。但是文中比較密集的紋理處，圖像邊緣會出現不連續，這將是下一步研究方向。

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Wavelet Modulus Maxima Method and Mathematical Morphology Edge Thinning Results

Jiang Yubo, Liu Bo

(School of Mechanical and Power Engineering，North University of China，Taiyuan 030051,China)

The key to image edge detection is to detect edges as much as possible and suppress noise effectively. Finally we want to meet the single-line edge positioning accuracy. For the purpose, a new edge detection method based on wavelet transform modulus maxima and mathematical morphology is selected to get the edge of image. First, the original image is decomposed by wavelet decomposition. After that, wavelet modulus maxima method and multi-scale and multi structure mathematical morphological method were used to deal with high-frequency components and low frequency components separately. Then, the two edges processed before were fused by sub-subtraction method and morphological edge thinning algorithm is used to get the thinning edge of the image. The experiments show that the fusion method can get more perfect edge, the single-line edge is more clear, and the positioning accuracy is improved.

image processing；edge detection; modulus maxima; mathematical morphology; edge thinning

2016-10-25；

2016-11-24。

江宇博(1993-),男,研究生,主要從事圖像處理方向的研究。

劉 波(1974-),男, 博士, 副教授，主要從事機電液一體化設備的智能控制和狀態監測方向的研究。

1671-4598(2017)03-0165-04DOI：10.16526/j.cnki.11-4762/tp

TP

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