飛行器航跡測量數據的粗差探測模型優選方法

涂先勤,谷德峰,易東云,周海銀

(1.中國人民解放軍91550部隊,遼寧 大連 116023;2.國防科學技術大學 理學院 數學與系統科學系,湖南 長沙 410073)

飛行器航跡測量數據的粗差探測模型優選方法

涂先勤1,2,谷德峰2,易東云2,周海銀2

(1.中國人民解放軍91550部隊,遼寧 大連 116023;2.國防科學技術大學 理學院 數學與系統科學系,湖南 長沙 410073)

為評估不同模型的粗差探測性能,使用多余觀測數、內部可靠性和外部可靠性等指標對飛行器航跡測量數據處理中的3種典型模型的粗差探測能力進行了定量評估和比較分析。建立了不同模型間性能比較的等效規則,按照典型的工程應用場景進行了仿真實驗。結果表明:大數據集模型的系統結構較強,具有更優的單粗差探測性能,但大模型對于多粗差探測是不利因素;在實際應用中,應根據粗差發生的統計特征,選取數據量大小合適、結構強度高的模型作為優選模型。

航跡測量;粗差;系統建模;優化模型

飛行器航跡測量數據的精密事后處理,需要依據某種準則對粗大誤差進行識別,常用的有外推預報方法、多項式回歸模型檢驗法、ARIMA檢驗法、M估計粗差剔除方法[1]、逐點剔除方法[2]。這些方法不一而足,哪個方法更優,難以定量分析評估。

上述這些方法中,有一類基于統計檢驗的粗差探測方法,經過抽象后可以建立高度理論化的表述,本文稱之為粗差探測理論。粗差探測理論的主要貢獻在于兩點:①構造了粗差探測的理論最優檢驗;②建立了對模型的粗差探測能力進行定量化度量的概念體系,為定量比較不同模型的粗差探測能力提供了理論依據。

粗差探測理論揭示了對于同一組數據由于建模方法不同會導致粗差探測能力具有明顯差異,模型優選是進行粗差探測建模中必須考慮的一個重要問題。本文以粗差探測理論為指導,對工程應用中常見的3種典型粗差探測模型的粗差探測能力進行了仿真分析和定量比較。先建立了不同模型之間定量比較的規則,然后基于典型應用場景利用仿真數據對3種不同模型進行比較分析,最后給出了粗差探測模型優化設計方法。

1 粗差探測模型理論描述

當數據中不含任何粗差時,標準模型為

Y=Xβ+ε

(1)

當數據中含有粗差時,含粗差模型為

Y=Xβ+δΔ+ε

(2)

式中:δ為m×p維的示性矩陣,其元素要么為0,要么為1,且每行每列只有唯一的元素等于1,1≤p≤m-n;Δ為p×1維待估計的粗差向量。

在模型(2)中,粗差向量Δ的最優估計為

(3)

(4)

此時,檢驗函數為

(5)

式中:α為檢驗的顯著性水平。

(6)

式中:e為模型(2)的擬合殘差向量。記

(7)

此時,檢驗函數為

(8)

可以證明,上述統計量(4)和統計量(7)的構造均使用了最小充分統計量,且檢驗是一致最優勢檢驗[3]。應當指出,當只存在單一粗差時,檢驗(5)和檢驗(8)分別等同于經典的Baarda檢驗[4-5]和Pope檢驗[6]。因此,可以認為上述2個檢驗是經典檢驗的推廣。

粗差探測方法通過窮舉所有可能的δ組合,使用檢驗(5)或檢驗(8)探測粗差。若同時有多個檢驗拒絕原假設,則通常取最大的T1(Y)或T2(Y)對應的δ確定粗差位置。

2 粗差探測能力度量指標

第1節中給出的粗差探測模型提供了一種基于最優勢統計檢驗的粗差識別方法。該理論的另一項貢獻是建立了定量分析“系統結構”蘊含的粗差探測能力的概念體系。

多余觀測數是刻畫系統結構強度的重要數量,其定義為[7-9]

(9)

式中:下標i表示向量Y中第i個數據對應的多余觀測數,(·)ii表示矩陣第i行第i列處的元素值,i=1,…,m。

內部可靠性定義了最優勢檢驗(5)和檢驗(8)可以探測的單個最小粗差(minimal detectable bias,MDB),內部可靠性被定義為[8,10-11]

(10)

式中:λ0=λ(α0,γ0),為在某個取定的第一類風險α0和檢驗的勢γ0條件下的對應的非中心化參數;δi為向量Y中第i個數據為粗差時的示性向量,僅第i行為1,其他為0。

外部可靠性定義為未被探測的MDB對參數估計結果的影響[5,9,11]。由于粗差對未知參數估計的影響是一個向量,為刻畫其大小,有2種度量方法:

①使用該向量的無窮范數,被稱為最小可探測效應(minimal detectable effect,MDE):

(11)

②偏差噪聲比(bias to noise ratio,BNR),用Cook距離來刻畫[11]:

(12)

BNR反映了未探測的單個粗差對參數估計結果的影響相對于估計噪聲的大小,因此BNR無量綱,但也難以說明通常情況下多大的BNR才算太大了。

3 飛行器測量數據粗差探測模型性能仿真與優化

單時刻模型利用多個測量通道的同步觀測數據探測粗差。以測距雷達為例,設第u個時刻,多臺測距雷達獲得目標的多個斜距觀測量Rv(tu),其中v表示第v臺測距雷達。按照斜距觀測方程的定義,可將觀測方程在目標概略位置處線性化,可得到單時刻粗差探測模型:

R=H·Δx+δΔ+ε

(13)

式中:R為由第u個時刻所有斜距觀測量Rv(tu)減去初值后構成的向量;H為模型線性化展開所得的梯度矩陣;Δx為待求概略位置改進量;ε為誤差,設其為高斯噪聲;δ和Δ的定義同式(2)。

單測量通道模型將單個測量通道觀測數據按照觀測時間先后進行排列形成時間序列數據,然后利用多項式模型對數據進行建模,從而建立粗差探測模型,以下簡稱其為單通道模型。設第v個通道在時刻tu的斜距觀測數據Rv(tu)的離散時間模型為

(14)

式中:ζk為多項式系數,Rv(tu)為第v個雷達在時刻tu的斜距觀測量,θk(·)為正交多項式,q為多項式階數,εv(tu)為誤差。

模型(14)為線性模型,若在模型中考慮粗差并寫為矩陣形式,可得單通道粗差探測模型:

T=Ca+δΔ+ε

(15)

式中:T為由單個雷達的Rv(tu)按時間排列形成的向量,C為正交多項式基定義的已知矩陣,a為待估計的多項式系數。

多時刻多測元聯合模型將目標位置在短時間內的變化建模為形如(14)的多項式,然后聯合多個測量通道多個時刻的數據建立粗差探測模型,以下簡稱其為聯合模型。設短時間內目標位置的變化可以用多項式模型表達:

(16)

式中:x(·),y(·),z(·)為目標的三維空間位置;φx,k,φy,k,φz,k為三方向上多項式系數。

將式(16)帶入斜距測量方程,且將方程在概略點b0處線性化展開,其中b0為三方向上系數初始值排列而成的向量,由此可得粗差探測模型:

F=G·Δb+δΔ+ε

(17)

式中:F為多測量通道多時刻斜距觀測量減去初值后排列而成的向量,G為梯度矩陣,Δb為待估計的多項式系數改進量。

3.1 多粗差探測性能仿真分析

為比較上述3種模型的粗差探測能力,按照典型測量方案生成了仿真數據,以定量比較3種不同模型在實際應用中的粗差探測能力。仿真場景取定為典型航跡和觀測幾何,取50 s時長數據,采樣率20 s-1,測站數為9個。對同一組含粗差的仿真數據,分別使用上述模型進行粗差探測,然后比較不同模型粗差探測漏檢率、虛警率、內部可靠性、外部可靠性、系統冗余觀測數等定量指標。

對于單通道模型和聯合模型,時間窗口取為1 s,這樣可按照時間窗口將數據分為50個子組,子組的編號記為d,此時子組編號的取值范圍為d=1,2,…,50。分別用3種模型對其建模:①每子組數據可建立聯合模型1個,每個模型含觀測值180個;②每子組的數據還可建立單通道模型9個,每個模型含觀測值20個;③每子組的數據可建立單時刻模型20個,每個模型觀測值9個。

如果數據中只有單個粗差,那么按照檢驗(5)和檢驗(8)進行粗差探測時,其探測策略是清晰的。若同時有多個檢驗拒絕原假設,取檢驗統計量最大的δ確定粗差位置即可。但是如果數據中有多個粗差,本文按照以下方法進行多粗差探測。

設單個數據是粗差的發生概率為一定值p0,對于數據個數為m的模型,設其包含的粗差個數為p,則其粗差個數正好為k的概率為P{p=k}=b(m,p0,k),k=1,…,m。當k>mp0時,b(m,p0,k)為一單調遞減函數,此時應按照單個粗差假設開始探測數據,直至某個預定的粗差個數上限停止搜索。本文建議粗差探測搜索遍歷的粗差個數上界按照以下公式計算:

(18)

式中:s是粗差搜索數的上界,P0為某個取定的探測失效概率。

由于式(18)不具有計算上的便利性,并考慮到當k>mp0時,b(m,p0,k)為一迅速下降函數,因此可以利用以下近似公式計算s:

(19)

注意到,在檢驗(5)和檢驗(8)中,若取定p時,要比較2種不同備選假設(按δ的定義不同而形成不同的備選假設)的檢驗量顯著性,只需比較其大小即可,因為這些檢驗量都是服從同一分布的。若p取不同值可按照如下方法處理。以檢驗(5)為例討論這一問題,檢驗(8)可類似解決。

對符合式(4)的p取不同值(設其分別為p1和p2)的2個統計量其在原假設下的分布為

T1,p1～χ2(p1),T1,p2～χ2(p2)

(20)

其拒絕域分別為

(21)

在T1,p1和T1,p2同時落在拒絕域,即滿足式(21)時,本文建議按照如下公式比較兩者之間的顯著性:

(22)

式中:f(x)為統計量T的概率密度函數,p為自由度,T為式(20)中定義的統計量。按式(22)分別計算S(T1,p1,p1)和S(T1,p2,p2),取S值較小的統計量T為更顯著統計量。

定義漏檢率為未識別的粗差個數占總粗差個數的比率,記其為LM;定義虛警率為誤識別為粗差的數據占總正常數據的比率,記其為LF。表1給出了幾種不同模型的漏檢率和虛警率的比較。其中,單通道模型1和單通道模型2分別是采用一次多項式和二次多項式對數據建模的結果。從表1可以看到,除聯合模型外的其他幾種模型粗差探測準確性相近。

表1 幾種典型粗差探測模型性能

按照近似公式(19),取P0=0.01時,可計算得到單時刻模型需要搜索的粗差數為1,單通道模型為2,聯合模型為5。由于單時刻模型和單通道模型的數據規模較小,因此其需要搜索的備選假設數也比較少。而對于聯合模型,為達到與另外2種模型相同的失效概率,其最大搜索的備選假設約為1.5×109組,這在計算上是不可接受的。表1中給出的結果實際上只搜索到最多3個粗差,其備選假設共9.7×105組,在PC機上耗時約2 h。本研究還分別比較了最大搜索數為1個、2個、3個粗差的聯合模型的粗差探測準確性,發現其漏檢率和虛警率隨著最大搜索粗差數有小幅度提高,但變化不明顯。對于最大搜索數為4個、5個粗差的聯合模型則因為計算量級太大而沒有進行實驗。這些結果說明,模型包含的數據較多對粗差探測問題是不利因素,此時多粗差發生的概率顯著變大,這意味著數據污染的可能組合更復雜,備選假設組合的量級急劇變大,導致不能接受的計算復雜度,由此導致粗差探測準確性降低。

為比較單通道模型在不同測量通道上的粗差探測能力是否有明顯差異,使用單通道模型對不同測量通道的仿真數據進行粗差探測,統計其漏檢率和虛警率,結果見表2。從表2可以看出,雖然不同測量通道的粗差探測模型結構完全相同,但粗差探測準確性差別較大,受到粗差數據的分布和量級等多種因素的顯著影響。

表2 單通道模型1的不同通道之間粗差探測性能

根據以上結果,可以得出如下結論:①隨著粗差個數增加,基于最優勢檢驗的多粗差探測模型,探測效率下降很快,因此在存在多粗差的場合,使用小數據集模型更好;②隨著模型中的粗差個數增多,需要搜索的備選解急劇增加,這會導致不能接受的計算復雜度。上述2種因素使得基于多粗差探測的統計檢驗模型在實用性上具有諸多限制。

3.2 單粗差探測能力的定量評估與模型優化設計

由于不同模型使用的數據集規模不同,不能直接利用本文第2節的指標比較不同模型之間的粗差探測能力。本文使用如下公式獲得單時刻模型、單通道模型等效于聯合模型的MDE、MDB和冗余觀測數r:

(23)

式中:由一組聯合模型的觀測數據可以建立多組單時刻模型或單測元模型,設其組數為G,則式(23)中g=1,…,G,h為每個子組中的觀測值編號;Be,Ee,Ne,re分別表示子組的等效MDB、等效MDE、等效BNR和等效多余觀測數。

圖1為幾種模型之間的MDB值對比。圖中,d為數據集編號。從圖1可以看出,單通道模型1比單通道模型2的最小粗差探測能力要強,這是符合直覺的,因為在模型表示誤差受控的條件下,一次多項式比二次多項式要緊致,因此使用一次多項式的單通道模型具有更強的最小粗差探測能力。但是從表1中的結果來看,二次多項式的單通道模型具有更優的粗差探測能力,這種現象不好解釋,本文將其歸結為仿真實驗中粗差分布和量級的不確定性在漏檢率、虛警率上形成的隨機波動效應造成的結果。圖1中單通道模型的等效MDB值為一水平直線,這表明單通道模型的結構不隨數據集變化而變化,由于數據集是按時間順序排列的,也就是單通道模型的結構不隨時間變化,圖3和圖4都反映了這一事實。圖1還表明,單時刻模型和聯合模型的最小粗差探測能力要強于單通道模型,因此單時刻模型和聯合模型的結構更好,其中聯合模型的結構達到最佳。

圖1 不同模型的等效MDB

由于不同模型的參數空間定義不同,因此不同模型的等效MDE值不能直接比較。注意到,可將聯合模型參數估計誤差等效為目標空間位置誤差,然后可比較其與單時刻模型的等效MDE。

(24)

(25)

為聯合模型位置參數的等效MDE。

圖2是單時刻模型與聯合模型的位置參數等效MDE值的比較。從圖中可以看到,未探測最小粗差對單時刻模型的影響較大,就這個意義上說,聯合模型從結構上是要優于單時刻模型的。

圖2 位置參數等效MDE

圖3為幾種模型之間的BNR值的對比。圖中單時刻模型的BNR值最大,這反映了該模型受到未識別的最小粗差的影響最為顯著,這一結論與上述關于MDE的分析相同。但在比較BNR值時應注意單時刻模型的待估計參數為位置,而其他幾種模型的待估計參數為多項式系數。圖3中反映的聯合模型和單測元模型之間的結構優劣是與圖1一致的。

圖3 不同模型的等效BNR

冗余觀測數反映了系統的每個觀測量對決定最終參數估計結果時所起的作用,越大的冗余觀測數意味著越好的系統結構。圖4給出了幾種模型的冗余觀測數對比。從圖可以看出,聯合模型具有最優結構,其次是單通道模型1和單通道模型2,單時刻模型最差。

圖4 不同模型的等效冗余觀測數

綜合上述分析可知,理論上無論是粗差探測還是參數估計,聯合模型都具有最優結構,但從粗差探測的實際應用效果來看,聯合模型并非最佳。其原因在于聯合模型的觀測值個數較多,因此同時出現多個粗差的概率較高,導致其粗差探測效果較差。為獲得最優粗差探測模型,應取觀測值個數適中的模型才能獲得最優應用效果。

基于上面的考慮,本文將聯合模型的時間窗口tw取為不同長度,考察在不同數據集規模條件下的聯合模型粗差探測能力和計算時間t0。表3給出了幾種取不同時間窗口大小的聯合模型粗差探測能力的對比數據,表中,m為式(1)中的維數,s為式(18)中定義的粗差探測遍歷搜索個數的上界。從表中可以看到,隨著時間窗口變小,聯合模型觀測數據個數變小,系統的粗差探測成功率有所提高,逐步接近于單時刻模型和單通道模型。

表3 時間窗口取值不同的聯合模型粗差探測性能

圖5～圖8分別給出了上述幾種聯合模型的等效MDB、等效MDE、等效BNR和冗余觀測數隨時間窗口長度的變化。從圖中可以看到,隨著時間窗口變小,聯合模型的等效MDB和等效MDE逐漸增大,并向單時刻模型靠近。等效BNR和冗余觀測數也反映了與等效MDB和等效MDE相一致的信息。

圖5 不同聯合模型的等效MDB

圖6 不同聯合模型的等效MDE

圖7 不同聯合模型的等效BNR

圖8 不同聯合模型的等效冗余觀測數

根據上述結果,可得出如下結論:在上述3種模型中,多測量通道多時刻聯合模型具有最優的單粗差探測能力,因此在實用中應盡量采用聯合模型探測粗差,并根據粗差發生的統計特性對聯合模型的時間窗口長度進行設計,選用大小合適的模型。

4 結論

本文利用粗差探測能力度量理論,對幾種典型的飛行器航跡測量數據的粗差探測模型進行了定量評估和仿真實驗。研究表明,模型結構對系統的粗差探測能力影響明顯,在工程應用中設計粗差探測模型時,應根據粗差發生的統計特征選取數據量大小合適、結構強度高的模型。本文研究成果提供了一種可以參照的模型優化設計方法。

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Method of Optimally Choosing Gross-error Detection Model

TU Xian-qin1,2,GU De-feng2,YI Dong-yun2,ZHOU Hai-yin2

(1.Unit of PLA 91550,Dalian 116023,China;2.Department of Mathematics and System Science, College of Science,National University of Defense Technology,Changsha 410073,China)

To evaluate the gross-error detection performance of different models,the redundancy number,internal and external reliability index etc.were introduced to quantitatively compare and analyze the gross-error detection performance of three typical models used in the aircraft tracking-data process.The equivalent rules for index comparison between different models were established;the simulation experiment in conformity with the actual engineering application was carried out.The results show that the model using a larger data set has stronger structural strength and better single gross-error detection performance,but it is drawback to gross-error detection.It is suggested that in practice,the model with stronger structural strength and the proper size is chosen as the optimal model according to the statistical characteristics of gross-error occurrence.

track measurement;gross error;system modeling;optimization model

2016-07-20

國家自然科學基金項目(61370013;91438202)

涂先勤(1979- ),男,博士,研究方向為外彈道測量數據處理方法。E-mail:tuxq79@163.com。

V248.1

A

1004-499X(2017)01-0022-06