對(duì)原版教材一道“路徑最短”問(wèn)題的探究

董鳳娥

[摘 要] 本文對(duì)原版人教版數(shù)學(xué)教材八年級(jí)上冊(cè)第42頁(yè)的一道路徑最短問(wèn)題進(jìn)行了探究.

[關(guān)鍵詞] 原版教材；新版教材；將軍飲馬問(wèn)題；路徑最短；軸對(duì)稱(chēng)

背景簡(jiǎn)介

首先讓我們看一道路徑最短問(wèn)題：如圖1，要在燃?xì)夤艿繪上修建一個(gè)泵站，分別向A，B兩鎮(zhèn)供氣，泵站修在管道的什么地方，可使所用的輸氣管線路徑最短？

該問(wèn)題是原版人教版數(shù)學(xué)教材八年級(jí)上冊(cè)第42頁(yè)“軸對(duì)稱(chēng)”這一章的一個(gè)路徑最短探究活動(dòng)問(wèn)題. 本題乍一看和古希臘著名的“將軍飲馬問(wèn)題”極其相似，但仔細(xì)推敲還是有區(qū)別的. 請(qǐng)讀者自行和新版人教版教材“軸對(duì)稱(chēng)”這一章第85頁(yè)問(wèn)題一的“將軍飲馬問(wèn)題”比對(duì)一下，本文從略. 因大數(shù)學(xué)家海倫曾用軸對(duì)稱(chēng)的方法巧妙地解決了“將軍飲馬問(wèn)題”，筆者稱(chēng)之為“海倫解法”，所以原版人教版數(shù)學(xué)教材八年級(jí)上冊(cè)對(duì)這個(gè)問(wèn)題給出的解答就是“海倫解法”.

前些年，因全國(guó)各地極少數(shù)教師們對(duì)原版教材選擇此題和給出的解答并不認(rèn)同，并經(jīng)常在報(bào)刊各抒己見(jiàn)，故新版人教版教材就把這道例題撤掉了，換上了真正的大家公認(rèn)的“將軍飲馬問(wèn)題”，以考查學(xué)生運(yùn)用軸對(duì)稱(chēng)解決實(shí)際問(wèn)題的能力. 盡管如此，有些教師，尤其是老教師，對(duì)于這道題仍然念念不忘，時(shí)不時(shí)講完“將軍飲馬問(wèn)題”后，把和這道題說(shuō)法類(lèi)似的問(wèn)題搬出來(lái)供學(xué)生練習(xí)使用，但給出來(lái)的答案竟然和原版人教版教材的解答實(shí)質(zhì)一樣，這種做法或多或少有點(diǎn)令人遺憾. 出現(xiàn)這種現(xiàn)象的原因在于大多數(shù)教師沒(méi)有真正領(lǐng)會(huì)什么才是大家公認(rèn)的“將軍飲馬問(wèn)題”，遇見(jiàn)類(lèi)似問(wèn)題，總是憑直覺(jué)按過(guò)去的老一套進(jìn)行處理. 本題既然和“將軍飲馬問(wèn)題”不一樣，究竟應(yīng)該如何進(jìn)行處理呢？正是基于這樣的背景并帶著這樣的疑問(wèn)，筆者想借貴刊一角，表達(dá)自己的看法，和大家進(jìn)行探討.

探究情況

一個(gè)偶然的機(jī)會(huì)，筆者發(fā)現(xiàn)陜西師范大學(xué)主辦的《中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考》雜志在2016年第4期下旬刊學(xué)研版第49～50頁(yè)，刊登了王春安老師的《對(duì)一道路徑最短問(wèn)題的探究》一文，讀后受益匪淺，令人耳目一新. 受該文的啟發(fā)，筆者對(duì)原版人教版數(shù)學(xué)教材八年級(jí)上冊(cè)第42頁(yè)的這道路徑最短問(wèn)題進(jìn)行了嘗試性的探究，發(fā)現(xiàn)這道題很耐人尋味，現(xiàn)解答如下.

情形一：當(dāng)直線L和AB不平行時(shí)，A，B在L的異側(cè).

根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短可知，泵站應(yīng)建在直線L和AB的交點(diǎn)處，輸氣管線路徑最短為AB.

情形二：當(dāng)直線L和AB平行時(shí)，A，B在L的同一側(cè).

如圖2，已知AB∥L，作AD，BE與L垂直，垂足分別為D，E，延長(zhǎng)BE到G，使BE=EG，連接AG與直線L交于C點(diǎn)，連接BC.

探究結(jié)論

由上述探究過(guò)程可知，兩個(gè)小鎮(zhèn)到燃?xì)夤艿赖木嚯x以及兩個(gè)小鎮(zhèn)之間的距離對(duì)路徑最短問(wèn)題的結(jié)果是有影響的，忽視這些因素，就會(huì)造成漏解. 原版人教版教材對(duì)此題的解答即便是緊緊抓住“如圖”這一字眼展開(kāi)解答，也還是漏掉了情形二的三種結(jié)果和情形三的另外兩種結(jié)果. 出現(xiàn)這種矛盾的原因就在于“將軍飲馬問(wèn)題”的答案具有唯一性，而原版教材恰恰就是把這個(gè)本來(lái)就不是“將軍飲馬問(wèn)題”的問(wèn)題看成了“將軍飲馬問(wèn)題”，這也是少數(shù)教師對(duì)原版教材選擇此題和教材中給出的解答表示不認(rèn)同的原因.

對(duì)原版教材上的這個(gè)問(wèn)題，多數(shù)教師照本宣科，從不質(zhì)疑. 即便有教師質(zhì)疑過(guò)但也不知道如何描述本題的解答，更何況學(xué)生呢？新版人教版教材刪掉這個(gè)問(wèn)題而給出大家公認(rèn)的“將軍飲馬問(wèn)題”實(shí)乃明智之舉，應(yīng)該給予點(diǎn)贊. 因?yàn)樾掳娼滩慕o出的解答是針對(duì)大家公認(rèn)的“將軍飲馬問(wèn)題”而言的，答案具有唯一性，無(wú)需分類(lèi)討論，既不會(huì)引起人們的質(zhì)疑，還符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律.

以上探究過(guò)程、結(jié)論和觀點(diǎn)等等，只是筆者的一孔之見(jiàn)，不妥之處，請(qǐng)同行斧正.