對稱式基坑滲流涌水量的計算方法

曹凈++張丙軍++劉海明

摘要：隨著地鐵、越江隧道等地下工程的日益增多，涌現出了大量的對稱式基坑。基于共形映射理論，推導了對稱式基坑涌水量計算表達式，并對其計算參數進行分析。研究表明，對稱式基坑的單寬涌水量與滲透系數、基坑內外水頭差成正比，與（相對）隔水層層頂到坑底的距離和基坑兩側止水帷幕間距的比值、止水帷幕嵌固深度和（相對）隔水層層頂到坑底距離的比值、基坑內外水頭差和（相對）隔水層層頂到坑底距離的比值成反相關。

關鍵詞：對稱式基坑；共形映射；滲流；涌水量

中圖分類號：TU46.3文獻標志碼：A文章編號：16744764（2017）01010606

收稿日期：20160712

基金項目：國家自然科學基金（51304088）

作者簡介：曹凈（1966），男，博士，教授，主要從事巖土工程研究，（Email） cjlb117@sina.com。

Received：20160712

Foundation item：National Natural Science Foundation of China （ No.51304088）

Author brief：Cao Jing （1966），PhD， Professor， main research interest： environmental geotechnical engineering，（Email） cjlb117@sina.com.Calculation Method of seepage discharge for symmetric foundation pits

Cao Jing1，Zhang Bingjun1，2 ，Liu Haiming1

（1. Faculty of Civil Engineering and Mechanics， Kunming University of Science and Technology， Kunming 650500，

P. R. China； 2.Weifang Architectural Design & Research Institute Co.， LTD. Weifang 261041， Shandong， P. R. China）

Abstract：In recent years， with the development of crossingriver tunnels and subways， there are more and more symmetric foundation pits. Based on conformal mapping， the mathematical modeling is built and the expression of seepage discharge in pensile curtain foundation pit is deduced， then calculation parameters of seepage discharge are analyzed. The results showed that the seepage discharge of symmetric foundation pit has direct ratio with permeability coefficient and the water head between the outside and inside of foundation pit. And the seepage discharge of symmetric foundation pit is in inverse correlation to the ratio of the distance between the top of relative impermeable layer to the bottom of foundation pit and the distance between pensile curtains， to the ratio of the embedded depth of pensile curtain and the distance between the top of relative impermeable layer to the bottom of foundation pit， and to the ratio of water head between the outside and inside of foundation pit and the distance between the top of relative impermeable layer to the bottom of foundation pit.

Keywords：symmetric foundation pit； conformal mapping； seepage； discharge

隨著中國城市基礎建設的快速發展，地下空間的開發利用正成為各大城市的新熱點，隨之涌現出大量的深基坑。在基坑施工過程中常常因地下水的存在會引起一系列的問題，其中基坑的涌水量成為基坑降水設計和施工過程中所要重點考慮的問題。當基坑工程地質條件、水文地質條件變化不大或寬度較小時，可近似地認為基坑兩側采取的止水帷幕、基坑內外地下水位、基坑滲流區土層厚度及滲透系數成縱向對稱，本文針對此類對稱式基坑進行涌水量計算和滲流分析。

共形映射又稱保角映射，是復變函數的一個重要分支，廣泛應用于流體力學[15]、復合材料斷裂[68]、隧道圍巖應力變形[911]、電磁場理論[1214]。本文利用共形映射將有止水帷幕的對稱式基坑滲流平面轉化為帶狀區域，推導其單寬涌水量的計算表達式，并對對稱式基坑滲流單寬涌水量計算參數進行分析。

1解析解推導

在城市基坑降水施工過程中，為保證基坑周邊已有建構筑物、設施、管線的正常使用，《建筑基坑工程檢測技術規范》要求基坑坑外地下水位變化累計值不超過1 000 mm，變化速率不超過500 mm/d。故假定基坑坑外地下水位保持不變，如圖1所示。

圖1對稱式基坑滲流示意圖

Fig.1 schematic diagram of seepage field

in symmetric foundation pits圖1為對稱式基坑示意圖，為了簡化計算，假定滲流區土層為均質、各向同性，地下水運動符合達西定律，基坑開挖深度為H，基坑坑外地下水位與地面齊平，坑內水位降到坑底，即H也為基坑內外水頭差，圖中邊agfg′a′為隔水邊界或相對隔水邊界，止水帷幕嵌固深度為h，滲流區土層厚度為T，基坑兩側止水帷幕間距為2S，則S為基坑兩側止水帷幕間距的一半。

止水帷幕厚度相對于基坑開挖深度、嵌固深度等可以忽略不計，含水層為雙連通區域，可沿虛線nn′將基坑滲流區劃分為兩對稱區域，且虛線為一條流線，因而可利用圖1中的左邊平面進行基坑滲流求解。

對圖1的左側平面的單連通區域（如圖2所示）進行分析。對稱式基坑滲流問題的解析解可以表達為w（z）=φ（x，y）+iψ（x，y），（z=x+iy）（1）式中：w為復勢平面；φ為勢函數；ψ為流函數；z為復數變量。

圖2z平面滲流區示意圖

Fig.2z plane schematic diagram of

seepage field in symmetric foundation pits 在ab邊界上，φ=-kH；

沿agfe邊界上，ψ=q；

沿bcd邊界上，ψ=0；

在de邊界上，φ=0。

為了將圖2中的z平面映射到圖3中的t平面，由施瓦茲克里斯托費爾映射公式可得z=S-iP∫t0x-βx+αdxx（x-ε）（x-1）（2）式中：α>0；0<ε<1<β；P>0。

圖3t平面中的滲流區

Fig.3seepage field in t planef→e：T-HP=∫κ20β-tt+αdtt（ε-t）（1-t）（3a）e→d：SP=∫1κ2β-tt+αdtt（t-ε）（1-t）（3b）d→c：hP=∫β1β-tt+αdtt（t-ε）（t-1）（3c）c→b：H+hP=∫∞βt-βt+αdtt（t-ε）（t-1）（3d）令：ε=κ2，得： κ′=1-κ2（4）式中：κ為模數；κ′為補模數。

根據文[15]可得T-H2P=1+βα∏0-κ2α，κ-K（κ）（5a）

S2P=α+β1+αΠ0κ′2α+1，κ′-K（κ′） （5b）

h2P=β-κ2α+κ2Fβ-1β-κ2，κ-

κ′2（α+β）（α+κ2）（α+1）Πβ-1β-κ2，α+κ21+α，κ（5c）

H+h2P=1+βαΠ1β，-α，κ-

βαF1β，κ（5d）式中：F（z，κ）=∫z0dx（1-x2）（1-κ2x2）為第一類非完全橢圓積分；K（κ）=F（1，κ）為第一類完全橢圓積分；κ為模數；Π（z，n，κ）=∫z0dx（1+nx2）（1-x2）（1-κ2x2）為第三類非完全橢圓積分；Π0（n，κ）=Π0（1，n，κ）為第三類完全橢圓積分。簡化式（5），可得T-HS=1+βαΠ0-κ2α，κ-Kκα+β1+αΠ0κ′2α+1，κ′-K（κ′）（6a）

hT-H=β-κ2α+κ2Fβ-1β-κ2，κ1+βαΠ0-κ2α，κ-K（κ）

-κ′2（α+β）（α+κ2）（α+1）Πβ-1β-κ2，α+κ21+α，κ1+βαΠ0-κ2α，κ-K（κ）（6b）

H+hT-H=1+βαΠ1β，-α，κ1+βαΠ0-κ2α，κ-K（κ）-

βαF1β，κ1+βαΠ0-κ2α，κ-K（κ）（6c）求解等式（6），可求得參數α、κ、β的值。

為了使上方程組簡化，令T1=T-H（7）式中：T1即為基坑（相對）隔水層層頂到坑底的距離。

下面將圖2中的滲流區域映射到圖4中，在ω平面中，ω=φ+iψ，參數ψc、ψf、ψg、q為未知變量，為了方便計算，用式（8）（輔助函數）進行變化。ω=ωqK（m′）-K（m）（8）式中：m為模數；0

K（m）=∫10dx（1-m2x2）（1-x2）（10）通過式（8）可將圖4中的滲流區域映射到圖5中。

圖4ω平面中的滲流區

Fig.4seepage field in w plane圖5ω平面中的滲流區

Fig.5seepage field in ω plane由圖4和圖5中b點對應關系可得K（m）=kHqK（m′）-K（m）（11）整理得q=12kHK（m′）K（m）（12）為了計算方便，將圖5平面滲流區域共形映射到圖6的上半平面。

圖6ξ平面中的滲流區

Fig.6seepage field in ξ plane最終，可將問題簡化為圖3和圖6之間共形映射關系的求解，由文[16]知，tξ之間的關系可通過a、b、d三點的對應關系進行確定，故關系式可以表達為t=A+B1-ξ（13）由點a、點d的對應關系得A+B1-1m=-α

A+B1-（-1）=1 （14）

t=2m+α（m-1）1+m+2（m-1）（α+1）（m+1）（ξ-1） （15）由點e在圖3和圖6中的對應關系，代入式（15）可得κ2=ε=2m+α（m-1）1+m+2（m-1）（α+1）（m+1）-1m-1（16）整理式（16）得（α+ε）m2+2（ε-α-2）m+ε+α=0（17）求解式（17）得m=α-ε+2-2（1-ε）（1+α）α+ε（18）通過m值，可用式（12）求解對稱式基坑滲流的單寬涌水量。

前面公式推導過程知，計算對稱式基坑滲流單寬涌水量的步驟為

1）先聯立等式（6）三式，求得參數α、κ、β的值；

2）再利用式（18），求得m的值；

3）最后利用式（12）求得基坑的單寬涌水量。

通過式（6）、式（18）知，m值與T1S、hT1、HT1有關。

2影響參數分析

在上述模型中，影響對稱式基坑單寬涌水量q計算的參數有：基坑內外水頭差H、基坑（相對）隔水層層頂到坑底的距離與基坑兩側止水帷幕間距一半的比值T1S、止水帷幕嵌固深度與（相對）隔水層層頂到坑底距離的比值hT1 、基坑內外水頭差H與（相對）隔水層層頂到坑底距離的比值HT1 以及滲流區土體的滲透系數k，本文僅對上述參數的影響進行分析。

圖7對稱式基坑示意圖

Fig.7schematic diagram of seepage field2.1H的影響

當T1S、hT1 、HT1 、k一定時，由式（12）知：對稱式基坑的單寬涌水量q與基坑內外水頭差H成正比。

2.2T1S的影響

當hT1 、HT1 、k、H一定時，隨T1S的增大，q先保持不變后減小，如圖8所示。當T1S≤0.5時，q基本保持不變，T1S>0.5時，q大體呈線性降低。

圖8當hT1=0.5、HT1=1時，q值隨T1S的變化曲線

Fig.8The variation curve of q value with the change

of T1S when hT1=0.5 and HT1=12.3hT1 的影響

從圖9可以看出，當T1S、HT1 、k、H一定時，隨著hT1的不斷增大，q逐漸減小，整體趨勢呈先快后慢再快。值得注意的是，當hT1 = 1，即止水帷幕嵌固到（相對）隔水層中，對稱式基坑的單寬涌水量q為零。

圖9當HT1=0.5、T1S=0.2時，q值隨hT1的變化曲線

Fig.9The variation curve of q value with the change

of hT1 when HT1=0.5 and T1S=0.22.4HT1 的影響

如圖10所示，當hT1、T1S、k、H一定時，隨著HT1 的不斷增大，q逐漸減小，整體趨勢呈先快后慢。

圖10當hT1=0.5、T1S=0.2時，q值隨HT1的變化曲線

Fig.10The variation curve of q value with the change

of HT1 when hT1=0.5 and T1S=0.22.5k的影響

由式（12）可知，對稱式基坑的單寬涌水量q與基坑土體的滲透系數k成正比，不受H、T1S、hT1、HT1 的影響。

3結論

假定滲流區土層為均質、各向同性，且地下水運動符合達西定律，基于共形映射理論，推導了對稱式基坑單寬涌水量的計算表達式，通過對其參數進行分析，可以得到以下結論：

1）當T1S、hT1 、HT1 、k一定時，對稱式基坑的單寬涌水量q與基坑內外水頭差H成正比。

2）當hT1 、HT1 、k、H一定時，隨著T1S的增大，對稱式基坑的單寬涌水量q先保持不變后減小。

3）當T1S、HT1 、k、H一定時，隨著hT1的不斷增大，對稱式基坑的單寬涌水量q逐漸減小，整體趨勢呈先快后慢再快。當hT1 = 1，即止水帷幕嵌固到（相對）隔水層中，對稱式基坑的單寬涌水量q為零。

4）當T1S、hT1、k、H一定時，隨著HT1 的不斷增大，對稱式基坑的單寬涌水量q逐漸減小，整體趨勢呈先快后慢。對稱式基坑的單寬涌水量q與基坑土體的滲透系數k成正比，不受H、T1S、hT1、HT1 的影響。

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