微分法求切線方程在高等數學中的應用

郝連軍

遼寧石化職業技術學院

微分法求切線方程在高等數學中的應用

郝連軍

遼寧石化職業技術學院

高等數學中求曲線（或曲面）的切線（或切面）方程是學生必須掌握的知識，但是對于初學者掌握起來有一定難度，隨著學習的深入我們可以利用更簡潔的方法來解決這一方面的問題。根據導數的幾何意義，在很小的范圍內，可以利用切線代替小曲線，也就是以直帶曲。這樣可以利用微分學的知識化微分為增量（差分）的方法，求曲線（或曲面）的切線（或切面）方程。本文向大家介紹一種簡便方法——改微分求切法線（或切面）法．這個方法簡便易行，是以直代曲的一個典型方法．我們從四個方面舉例說明．

微分；切線；法線；微分求切線；高等數學

1、改微分求切法線（或切面）的原理和步驟

定理：光滑曲線y=f(x)在x0點與其切線有相同的微分，且這個微分就是對應切線的增量。

證明：曲線y=f(x)在(x0,y0)點切線的斜率k=f′(x0)；

曲線y=f(x)過點(x0,y0)的切線方程是Y=y0+f′(x0)(x-x0)；

該切線方程在點(x0,y0)處的微分為dY=f′(x0)dx與曲線y=f(x)在點(x0,y0)處的微分是dy=f′(x0)dx相等。

再有Y=y0+f′(x0)(x-x0)是關于x的線性函數，且dx=△x，故△y=dy，所以△y=dy=dY=△Y。

這其實就是微分的幾何解釋，不過現在我們是換了一個角度來看這個事實，從而為求切線鋪平了道路，根據這個定理，曲線y=f(x)在點x0的微分可以看作其切線在該點的微分，進而可看成切線在x0點對應于dx=△x的增量，然后把增量改成對應的差的形式，就得到曲線過(x0,y0)點的切線的方程。

由此可給求出曲線切線及曲面切平面的一個簡單方法——改微分求切法線（或切面）法，這個方法不論是對曲線或曲面，也不論其形式是方程或方程組，都照樣適用。

改微分求切法線（或切面）的步驟如下：

(1)先求曲線(或曲面)方程在給定點微分；

(2)再將微分改為增量，進而改為相應的差式便得到切線(或切平面)方程；

(3)借助解析幾何知識，進而得到與其相關的法平面(或法線)的方程。

2、改微分求切法線（或切面）法的應用

（一）求顯函數曲線y=f(x)過點p0(x0,y0)的切線方程和法線方程。

（1）對曲線方程y=f(x)在點p0(x0,y0)處微分得dy=f′(x0)dx

式子（1）就是所求的切線方程。

因為過p0(x0,y0)點的法線斜率于此切線斜率互為負倒數，故所求法線方程為：

當f′(x0)=0時，法線方程為x=x0。

例1、求曲線y=x3+3x-8在x=2處的切線的方程和法線方程。

解：改微分求切法線法。

對曲線y=x3+3x-8在x=2處求微分得：

dy=3×4dx+3dx即15dx-dy=0。

改微分為增量得15(x-2)-(y-6)=0即15x-y-24=0這就是所求的切線方程。

（二）求隱函數曲線F(x,y)=0過點p0(x0,y0)的切線方程和法線方程。

（1）對曲線方程F(x,y)=0在點p0(x0,y0)處求微分得：

F′x(x0,y0)dx+F′y(x0,y0)dy=0

（2）改微分為增量得：

式子（2）就是所求的切線方程。

由此可得所求法線的法向量為：

化簡得：5x+2y-7=0

（三）求顯函數曲面z=f(x,y)過點p0(x0,y0,z0)的切平面和法線方程。

（1）若方程z=f(x,y)在點p0(x0,y0,z0)存在偏導數，對方程z=f(x,y)在p0(x0,y0,z0)點微分得:

dz=f′x(x0,y0)dx+f′y(x0,y0)dy

（2）改微分為增量得

式子（3）就是所求的切平面方程。

例2求曲線y3+y2=2x在（1，1）點處的切線和法線方程。

解：改微分求切法線。

對曲線y3+y2=2x在（1，1）點處求微分得：

3dy+2dy=2dx

即：

2dx-5dy=0

改微分為增量得：

2(x-1)-5(y-1)=0

即：

2x-5y+3=0

這就是所求的切線方程。

法線方程為因為平面法向量為：