讓算術更容易

劉鋼

人類自古以來就不斷發(fā)明和改進計算工具，從古老的“結(jié)繩記事”，到算盤、計算尺、差分機，再到電子計算機的誕生，計算工具經(jīng)歷了從簡單到復雜、從低級到高級、從手動到自動、從自動到電子的發(fā)展過程。

最原始的人造計算工具是算籌。算籌最早出現(xiàn)在何時，現(xiàn)已無法考證，但在春秋戰(zhàn)國時期，算籌的使用就已非常普遍了。根據(jù)史書的記載，算籌是一根根同樣長短和粗細的小棍子，多用竹子制成，也有用木頭、獸骨、象牙、金屬等材料制成的。它采用十進制記數(shù)法，有縱式和橫式兩種擺法，這兩種擺法都可以表示1至9九個數(shù)字（數(shù)字0用空位表示）。算籌的記數(shù)方法為：個位用縱式，十位用橫式，百位用縱式，千位用橫式……這樣從右到左、縱橫相間，就可以表示任意大的自然數(shù)了。

計算工具發(fā)展史上的第一次重大改革是算盤的出現(xiàn)，它也是我國先民首先創(chuàng)造和使用的。算盤由算籌演變而來，并和算籌并存了一段時期，最終在元代后期取代了算籌。算盤輕巧靈活、攜帶方便，應用極其廣泛，先后流傳到日本、朝鮮等國家，后來又傳入西方。

算盤采用十進制記數(shù)法并有一整套計算口訣，例如“三下五除二”“七上八下”等，這是最早的體系化算法。

算盤能進行基本的算術運算，是公認的最早的計算工具。

17世紀，歐洲出現(xiàn)了利用齒輪技術設計出的計算工具。1642年，法國數(shù)學家帕斯卡發(fā)明了帕斯卡加法器，這是人類歷史上第一臺機械式計算工具，其原理對后來的計算工具產(chǎn)生了持久的影響。它是由齒輪組成、以發(fā)條為動力、通過轉(zhuǎn)動齒輪來實現(xiàn)加減運算、用連桿實現(xiàn)進位的計算裝置。

帕斯卡在制作加法器的過程中得出結(jié)論：人的某些思維過程與機械過程沒有差別，因此可以設想用機械模擬人的思維活動。

德國哲學家、數(shù)學家萊布尼茨因發(fā)現(xiàn)帕斯卡一篇關于“帕斯卡加法器”的論文，產(chǎn)生了強烈的發(fā)明欲望，決心把這種機器的功能擴大為乘除運算。

1673年，萊布尼茨研制了一臺能進行四則運算的機械式計數(shù)器，這臺機器在進行乘法運算時采用進位加，即步進的方法，后來演化為二進制，被現(xiàn)代計算機采用。

在萊布尼茨發(fā)明步進計數(shù)器之后的一百多年中，雖有不少類似的計算工具出現(xiàn)，但除了在靈活性上有所改進外，都沒有突破手動機械的框架，這種用齒輪、連桿組裝起來的計算設備限制了其自身的功能、速度以及可靠性。

1886年，美國統(tǒng)計學家何樂禮借鑒雅各織布機的穿孔卡原理，用穿孔卡片存儲數(shù)據(jù)，采用機電技術取代純機械裝置，制造了第一臺可以自動進行加減乘除四則運算、累計存檔、制作報表的制表機。這臺制表機參與了美國1890年的人口普查工作，使預計10年的統(tǒng)計工作僅用1年零7個月就完成了。這是人類歷史上第一次利用計算機進行大規(guī)模的數(shù)據(jù)處理。何樂禮于1896年創(chuàng)建了制表機公司，并于1924年后將其改名為國際商業(yè)機器公司，這就是赫赫有名的IBM（International Business Machines Corporation）公司。

后來，美國哈佛大學應用數(shù)學教授艾肯在IBM公司的資助下，于1944年成功研制了機電式計算機Mark-I。Mark-I長15.5米，高2.4米，由75萬個零部件組成，使用了大量的繼電器作為開關元件。它的計算速度很慢，執(zhí)行一次加法操作需要0.3秒，且噪聲很大。

艾肯等人制造的機電式計算機的典型部件是普通的繼電器，由于繼電器的開關速度是0.01秒，使得機電式計算機的運算速度受到限制。

1939年，美國愛荷華州立大學數(shù)學物理學教授阿塔納索夫和他的研究生貝利共同研制了一臺名為ABC（Atanasoff-Berry Computer）的電子計算機。由于經(jīng)費有限，他們只研制了一個求解包含30個未知數(shù)的線性代數(shù)方程組的樣機。在阿塔納索夫的設計方案中，第一次提出利用電子技術提高計算機的運算速度。

第二次世界大戰(zhàn)中，美國賓夕法尼亞大學物理學教授莫克利和他的研究生埃克特受軍械部的委托，為計算彈道和射擊表啟動了研制ENIAC（Electronic Numerical Integrator and Computer）的計劃，這臺機器被后人譽為“標志人類計算工具歷史性變革的巨型機器”。

之后，普林斯頓大學數(shù)學教授馮·諾依曼發(fā)表了《離散變量自動電子計算機》（EDVAC，Electronic Discrete Variable Computer）方案，確立了現(xiàn)代計算機的基本結(jié)構(gòu)，提出計算機應具有運算器、控制器、存儲器、輸入設備和輸出設備等五個基本組成部分，并提出“采用二進制”和“存儲程序”這兩個重要的基本思想。馮·諾依曼的偉大功績在于他運用雄厚的數(shù)理知識和非凡的分析、綜合能力，在EDVAC的總體配置和邏輯設計中起到了關鍵的作用。

總之，ABC電子計算機正好處于模擬計算與數(shù)字計算的門檻上，而ENIAC的問世則讓計算機進入數(shù)字時代，最終馮·諾依曼吸取了圖靈機的理論成果開發(fā)出馮·諾依曼架構(gòu)。從此，數(shù)字計算機的整體架構(gòu)得以確立。