初中數學錯題運作的實踐探索

莊國軍

（浙江省杭州市蕭山區高橋金帆實驗學校，浙江杭州 311210）

1　問題的提出

1.1　錯題出現的必然

在數學學習的過程中，錯題是不可避免的，無論教師還是學生，無論課內還是課外，考試還是作業，錯題的大量存在，是教學過程中一筆寶貴的原始資源，錯題資源利用的好壞，將直接影響教學效率，對教學效率更是起著推動作用。

1.2　錯題存在的現狀

在平時學習中，對于錯題往往是學生害怕、擔憂，教師煩惱、生氣，很多教師只是叫學生訂正一下，然后草草了事。更有甚者對錯題置之不理，放在一邊，缺乏一種新的應對理念和策略，這樣的處理方式使數學教學的第一首寶貴資料沒有得到充分重視和利用，學生解決問題的能力不能得到有效提升，教學實效性不能得到充分體現。

1.3　錯題利用的意義

錯中悟正——通過訂正錯題，來找到正確的解法和答案，學生可以悟得正確的知識，正確的方法和正確的結果，避免犯同樣的錯題。錯中知新——很多數學題涉及的知識點是相通的，在利用錯題過程中，學生能夠學到與之相關的新知識。錯中提效——對錯題的科學合理利用，可以讓學生少走彎路，提高解題的時效性，避免時間的流失。

綜合上述，對學生的錯題只要我們理性理智地看待，并冠之以科學合理的使用方法，相信可以讓“錯題”發揮出應有的功能。

2　錯題認識與策略構建

2.1　概念界定

錯題，這里所指的錯題是指廣義的錯題，答案錯方法錯，答案錯方法對，答案對方法錯等都屬于錯題，包括一些因行為習慣、心理因素導致的錯誤也屬于其中的錯題，不以過程、答案為標準和依據。

數學新課程改革的根本目的是推進素質教育，以培養學生的創新精神和實踐能力為重點。創新需要有錯誤，更需要糾正錯誤，可以說沒有錯誤，就沒有創新。所以對錯題的綜合運作同樣也符合新課標的要求。

2.2　策略構建

面對各種類型的錯題、不同時間原因產生的錯題，教師、學生如何去有效利用這些錯題？沒有統一整理、分類，想找到自己原來做錯的題很難，更談不上建錯題目錄索引。沒有對錯題之間進行橫向、縱向的比對，同一種錯題多次出現。教師層面沒有對錯題整體性、系統性的總結、歸納，更多的是在課堂中一講而過，同樣讓寶貴的錯題資源從指間溜走。

針對以上情況，本文對學生錯題的策略將從整錯、糾錯、用錯、賞錯四方面來運作，通過建錯題索引，究錯題根源，用錯題平臺，賞錯題癥狀，全面合理的運作錯題資源，發揮錯題的應有作用。

3　錯題運作的實踐研究

3.1　錯題的整合

整合是錯題運作的第一步，主要是教師指導學生去建一套科學、合理、完整的，適合學生自己的錯題集。整錯階段，要建立一定的目錄索引，為學生后續的錯題找到屬于自己的“家”，也便于學生將來能有序的找到相應的錯題，不同的時段采取的索引方式和方法也是不同的。整理時同一類型問題可只記錄典型的問題，不一定每個錯題都記。

3.1.1　以時間先后建索引

以初中3年為階段來看，錯題集可以以學期為單位，七上、七下、八上、八下、九上、九下，細化到每個學期，可以以單元或者一周為單位進行錯題整理。例如圖1：有理數a、b在數軸上的位置如圖1所示，則化簡|ab|-|a+b|的結果是（）

A.2aB.2bC.2a-2bD.2a+b

圖1　有理數a、b在數軸上的位置

通過此題可以得出在絕對值化簡上存在問題。同時七上一學期來的學習，在有理數、實數的運算上的錯題進行積累，從中學生可以找出平時自己在計算上存在的易錯點。

3.1.2　以錯題性質建索引

通過階段性學習，將自己的常見錯題進行分類，例如審題不清、概念模糊、計算錯題、法則定理弄錯，無思路、做不出，考慮不全等等，這樣分類的優點在于能按錯因查找，給今后的復習帶來簡便，另外也簡化了“錯題集”，整理時同一類型問題可只記錄典型的問題，不一定每個錯題都記。例如：若，則a取值范圍是__________。此題的錯誤就是由于對不等式性質概念的不清導致，故可以歸到概念不清類錯題。隨著錯題積累，也很容易看出自己在哪方面的錯題率是最高的，以便以后學生有針對性地進行訓練，同時也提醒學生自己，以后碰到類似問題需要高度重視。

3.1.3　以數學題型建索引

這是屬于最簡單的錯題整理，即將錯題分為選擇、填空和解答三類題型進行分類。這種分類有明顯的不足之處在于不能很好地區分錯題原因。但也有其優越的一面，對于以后如何解選擇題、如何解填空題，如何提高解答題的得分率都會有很大幫助。當把所有選擇題、填空題的錯題歸在一起，除了知識點上錯誤之外，很多也有技巧上的錯誤，那么當很多相同的錯誤放在一起，學生很容易得出解題的技巧。

另一個題型建索引可以從思想方法的角度建索引，如數形結合、分類討論，方程思想等，這種方法對初三學生比較適合，知識已經比較全面，學習也已進入最后階段，以綜合類的題型來建立自己的錯題庫，對學生而言，自己哪一類題型存在不足，可以有針對性的訓練，這對學生來找自己的薄弱點也有一定的幫助。

3.1.4　以知識內容建索引

從初中數學知識的角度來講，錯題可以按照代數錯題、幾何錯題、函數錯題建立索引，其中下面又可以建立相應的分支索引，例如代數錯題下面可以建立實數運算類錯題、方程、不等式錯題，以知識內容來建立的索引，便于學生以后能根據自己的薄弱內容來查看以前的相應錯題。幾何錯題下面可以建立平行線、三角形、圖形變換、四邊形、圓等。以知識內容建的索引，相信對于學生以后查找錯題能更直觀方便。

3.2　錯題的糾正

錯題的糾正關鍵在于究其根源，任何形式上的糾正都是暫時的，無效的，換種類型學生還是會犯同樣的錯題。故無論是何種糾錯方式，都要從根源上入手，切入要害，不僅要讓學生知道正確的過程和結果，更要讓學生了解隱藏在錯題背后的原因。那么對于錯題究竟誰可以幫助學生去糾錯，糾錯的形式又有哪些？隱藏在錯題背后的真正原因又是什么呢？這些正是錯題糾正需要深入探索的。

3.2.1　糾錯的形式

對于自糾類的題型，更多的是學生由于粗心、概念不清、計算錯題等引起的，拿到錯題后通過獨立的思考、計算能完成的。例如：下例錯題：=2×（-2）3-2×（-3）+5=2×（-6）+6+5=-1，2a2×3a3=6a6， 顯然第一例是學生由于運算中對乘方的概念不清引起的，第二例是由于對同底數冪的乘法法則和乘法運算相混淆引起的。對于這樣的錯題，學生一般通過自我推敲，能獨立的糾正。

3.2.2　如何去糾錯

(1)糾過程、糾結果、究原因。

對于任何一道錯題，就題目本身而言，其糾正包括原因、過程和結果。拿到錯題，首先看下錯題的原因，接著再看如何糾正錯題的過程，最后產生一個正確的結果。那么，真正的糾錯包括糾過程、糾結果、糾原因。

糾過程，哪一個環節出錯了，也就是找到病因，然后“對癥下藥”，過程糾正是比結果糾正更重要，正確的結果來自于完整、正確的解答過程，過程也是學生知識體現的重要一環。例如：△ABC的三邊分別為AC=5,BC=12,AB=13,將△ABC沿AD折疊,使AC落在AB上，求折痕AD的長。有學生直接就訂正為：∴AD=而忽略了過程，對于這樣的訂正，可以說是最粗略、最表面的。這主要受小學數學思維的影響，學生潛意識認為，只要答案對，題目就已經訂正好了。這種錯題的思想將直接影響糾錯的質量。

糾結果，結果的糾正是糾錯必不可少的一步，它也是糾錯完整性的一步，只有結果的糾正，形式上才能意味著一道題糾錯完畢。糾原因，任何一個錯題，其背后都有其錯的原因。知識上、方法上、思想上等，有些錯誤也是由于學生本身解題習慣和聽課習慣導致的，這也是錯題真正需要糾正的核心原因。只有把隱藏在錯題背后的原因弄清了、搞懂了，學生才能避免犯同樣的錯題。例如學生在解題時老是不寫輔助線的添法，畫上就做。這就是由于平時的解題習慣所導致的。

（2）究知識、究方法、究思想。

一道錯題，有些是由審題不清、計算錯題引起的，而有些則是由知識的不系統、不全面引起的。這時探究知識顯得尤其重要，通過糾正錯題來鞏固原有知識，讓知識系統更完善、更全面。例如八上教材P82頁課后習題：如圖 2，∠ABD=∠ACD=90°，∠1=∠2，則 AD 平分∠BAC，請說明理由。

圖2

解：∵∠1=∠2（已知）

∴BD=CD（一個三角形中，等邊對等角）

∵∠ABD=∠ACD=90°（已知） 且 AD=AD∴ΔABD≌ΔACD

∴∠BAD=∠CAD∴AD平分∠BAC。

這是很多學生的做法，過程不錯、結果也不錯，但學生都沒有用最簡潔的方法去解決，即用角平分線定理的逆定理。對于這種題目的訂正，顯然有助于學生知識體系的完整。

這不僅浪費了大量的時間，對考試的心理也起到了一定的阻礙作用。所以糾錯過程中，找捷徑、尋正解、究方法就比較重要了。

究思想，這對學生的要求比較高，但這也恰恰是糾錯的最高意境。通過糾錯，讓學生知道數學思想、理解數學思想、應用數學思想，那么對于學生而言，真正做到了糾正一題、掌握一類。例如八上數學導學B中有一題：如圖3，在長方形ABCD中，AB=4cm，BC=5cm，點P從點A開始以1cm/s的速度向點D運動，設點P運動的時間為ts,四邊形BPDC的面積為Scm2,當⊿BCP為等腰三角形時，求四邊形PDCB的面積。很多學生只做出了一種答案，而少了其他兩種情況，此題在訂正時，可以滲透分類討論的思想，讓學生了解數學情況的多樣性。

（3）糾課堂、糾習慣、糾能力。

對于初中階段學生的數學錯題，其科學合理的糾正包括三層糾正，簡稱三糾。一糾過程和結果原因，二糾知識、思想和方法，三糾課堂、習慣和能力。糾課堂、糾習慣、糾能力是對糾過程、糾結果、糾原因和糾知識、糾方法、糾思想的更深入研究和有效提升，它是由錯題來反思學生平時聽課效率、解題習慣和思維能力。

綜合上述，這也是對錯題從表面到背后，從前臺到后臺全方位的糾正，糾正一個錯題，消滅一類錯題；糾正一個錯題，知道一種方法；糾正一個錯題，養成一種習慣。讓糾錯不僅僅停留在作業本上、試卷上、糾錯本上，而從思想方法上，聽課習慣做題習慣上等得到真正的改正。讓錯題發揮出應有的映射功能。

3.3　錯題的利用

通過錯題來調整教師的備課方向和教學策略，培養學生的發現意識。讓學生通過找錯、辨錯、評錯、變錯來進一步融會貫通知識，讓錯題資源再次發揮出巨大的教學功能。

（1）找錯：教師通過整合，給出10～15錯題作為一次作業，這些錯題可以來自以前學生的錯題，也可以是網絡或者其他資料，由學生獨立的來完成找錯。例如：七下錯題集錦：的算術平方根是是分數，若 a2=2，則

x4-16=(x2+4)(x2-4)……可以是結果錯也可以是過程錯，錯題的形式是多種多樣的。找錯可以課堂中以題組形式出現，也可以是課后作業的形式，亦可以簡單的小測驗，讓學生以錯辯正，以錯悟正。

（2）辨錯：教師可以通過同一題由不同的學生產生不同的錯題，讓學生進行辨別。從第一步就開始錯了，而有些可能是因為計算能力沒過關，后面幾步開始錯了，也有可能考慮不全，錯在最后幾步上，更有甚者可能錯在格式上等，讓學生在辨別錯題的過程中，去體會和了解錯題的錯誤過程，同時使自己在以后的解題中引起注意和警惕。

教師可以引入具體的錯題進行辨別：例如在直線l上找一點，和線段AO構成等腰三角形，這樣的點O有幾個？有學生通過作圖后回答是3個。在等腰三角形中，如果∠A=50°，則∠B=75°或 80°。 表面上，這兩個題目的錯題是沒任何關聯，但其本質都是數學分類思維的不全面和不完整。通過這兩個錯題的辨析之后，學生對分類思想的理解會更深刻。

（3）評錯：主要是由學生來評析隱藏在錯題背后的原因。有些是概念混淆，有些是能力有限等等。讓學生來評錯的同時，其本身也是在學習。對概念的深入，對難點的突破都是有幫助的。例如，在評論錯題其中x滿足0。

（4）變錯：通過大量的錯題整理和糾正后，學生可以從自己的糾錯本中，找出幾個典型的錯題，并進行適當的修改，對錯題進行變式，由其本人來設計易錯題型。例如A同學對自己的錯題進行變式，可以讓B、C、D……同學進行演練，從而來找出其他存在的漏洞。

班級中有些錯題是大家共性的，可能絕大部分同學都會犯，通過設錯，讓A同學的典型錯題，讓其他同學也來做一做，試一試，看看大家是否也會犯同樣的錯題。例如：在學一元二次方程時：試判斷關于x的方程（a-1）x2+（2a-1）x+a-4=0 的根的情況。

學生A原來自己這個類型的題錯了，糾正后，他通過對原題進行一定的變式，涉及上述題目，其他同學一做，全班的準確率還是連50%都不到，學生能設錯，而且設錯有必要性。

3.4　錯題的賞析

賞錯是對錯題的重新審視，讓學生明白，錯題并非是可怕的，錯題并非是可惡的，相反，錯題能帶給我們知識的提升，錯題能像小說一樣讓我們看得津津有味，讓學生喜歡錯題，愛上錯題。因為錯題，才有進步，因為錯題，學習才完整。

賞錯的主要類型，教師可以從低級錯題，典型錯題，常見錯題，特殊錯題等，通過實物、圖片、課件、多媒體等展示，也可以大量錯題裝訂成冊，在班級中進行傳閱。

(1)賞低級錯題。低級錯題顧明思議，是指不應該犯的錯題，這些錯題往往是忙中出錯，或者平時行為習慣不好導致的，多發生于解題習慣不好的學生中。例如：選擇題答案抄錯，題序號抄錯，后半小題忘記做了，答案忘記抄到答題卷等等。欣賞中認識和體會自己平時存在的不足。

(2)賞典型錯題。典型錯題是指絕大部分同學都會犯的錯題，也是考試最喜歡考的一類題，作為這一錯題，教師在展示時應該作為重點，其邊上的注解應該詳細說明錯題原因。具體可以以運算類典例，函數類典例，幾何類典例。例如學生在有理數運算時，對于分配律的去括號時，負號容易漏乘。學等腰三角形時，分類的情況經常容易忽視等。

(3)賞常見錯題：常見錯題往往是學生一開始概念計算等不熟導致的，隨著知識的積累有些錯題能自動的糾正，對于這類錯題教師需要深度挖掘，甚至需要一定的變式去考驗學生是否真正已經弄懂了。這類錯題是平時學生、教師見的最多的一類錯題，通過這些錯題的欣賞，讓學生能真正認識平時自己的真實狀況。

(4)賞中考錯題。這是學生比較感興趣的一類錯題，學生很想看到中考中的題目是如何的設錯的，而學生又是如何陷進去的。例如：（2014）點A,B,C都在半徑為r的圓上，直線AD⊥直線BC，垂足為D，直線BE⊥直線AC，垂足為E，直線AD與BE相交于點H，若BH=，則∠ABC所對的弧長等于（少情況）。

從節約時間的角度出發，對于錯題的原題可以借用數碼設備，以圖片的形式保存于電腦之中，初中階段的錯題還可以有電子版，便于攜帶方便閱讀。同時也可以把自己的錯題以微信、QQ的形式上傳到網絡，使自己的伙伴也能有一定的了解。錯題變例題，讓學生在欣賞錯題中學會方法，融會貫通。

4　反思與展望

對錯題這一存在的、缺失管理的教學資源進行科學的整合、指導，讓錯題成為教師、學生熱衷的、喜愛的教學內容，數學教學因錯題而精彩，因錯題而完美。

糾正錯題則使學生的數學知識、數學方法、數學思想得到不斷提升，通過糾錯題→究方法→糾習慣的全面而科學的三糾方法，使學生成為真正的受益者。學生通過糾正一個錯題，消滅一類錯題；糾正一個錯題，知道一種方法；糾正一個錯題，養成一種習慣。

利用錯題以找、辯、評、變為手段方法，找錯警己，辨錯悟正，評錯拓思，變錯貫通，學生的數學思維和悟錯能力得到了有效提升，對于學生自己以后犯同錯的可能性大大降低，通過對以他人之錯，可能之錯的找辯評變，學生的知識點和解題方法同樣會受益匪淺。

在整錯和糾錯過程中，學生對于錯題的性質缺乏自我判斷能力，進而影響整錯的條理性和針對性，對隱藏在錯題背后的習慣、能力等需要教師的參與和點撥。同時如何讓互聯網在錯題運作的過程中發揮更加強大的功能需要進一步的探索和研究。

[1]王維林.數學錯題及錯解題的教學價值[J].教學與管理,2009(16)：48-50.

[2]王芳.高中數學錯題訂正與收集的研究[D].上海師范大學，2012.

[3]徐燕.高中數學錯題訂正現狀及對策研究[D].四川師范大學,2017.