幾何直觀視域下的試題研究
——以2021年全國新高考Ⅰ卷導數壓軸題的探究為例

陳 亮 (江蘇省華羅庚中學 213200)

直觀想象是發現和提出問題、分析和解決問題的重要手段，是探索和形成論證思路、進行數學推理、構建抽象結構的思維基礎．幾何直觀能力是數學能力的重要組成部分,是數學思維能力在解決數學問題中的主要體現．借助幾何直觀，能夠使復雜的數學問題得以簡化，有助于人們探索新思路、新方法，能夠幫助人們從本質上理解和認識數學.本文以2021年全國新高考Ⅰ卷導數壓軸題的探究為例，談談幾何直觀在代數推理和解決數學問題中的作用以及教學中的啟示．

1 試題再現

(2021年新高考Ⅰ卷22題)已知函數f(x)=x(1-lnx)．

(1)討論函數f(x)的單調性；(解題過程略)

2 解題分析

2.1 基于對稱的函數構造

由視角①容易想到消元，然而問題的難點是：如何打通f(x1)=f(x2)與22，只需證明x2>2-x1，由于x2,2-x1∈(1,+∞)，函數f(x)在(1,+∞)內單調遞減，所以f(x2)

圖1

實際上，函數f(2-x)與f(x)，f(e-x)與f(x)均相互對稱．如 圖1，作出函數f(2-x),f(e-x)的圖象可以發現，f(2-x)f(x)對x∈(e-1,e)恒成立，且當x=e時，f(e-x)沒有定義，其極限為0，與f(e)相等，這就是本題最大的難點．借助函數圖象可以更為直觀地看清上述解法的邏輯主線，如果能在解題前畫出此圖象，那么按照幾何直觀的指引，代數推理的方向將會更為明確，對題目與方法的理解必有很大幫助．幾何解釋為代數推理指明了方向，使得抽象的代數推理更形象直觀，內涵更豐富，代數推理是幾何直觀的形式化、符號化，長期堅持必能提高學生數學符號語言與圖形語言的表達和轉換能力．

2.2 基于不等式放縮

函數構造的思路簡潔、自然，是導數綜合問題的基本思想，體現高考對基本知識、方法的考查．核心素養下的教學觀并非空中樓閣，“四基”“四能”是核心素養的根基．不等式放縮的本質是以多項式函數(尤其是一次、二次函數)代替超越函數，借助多項式函數與超越函數局部具有相同性態的特點，化“超越”為“平凡”，是高等數學中的基本思想，體現了高考的選拔功能．

2.3 基于幾何直觀的思路探求

進一步從幾何直觀的角度分析x1+x2

圖2

本題設計的另一個巧妙之處是直線y=e-x恰好是函數f(x)在x=e處的切線，由f(x)為上凸函數可以直觀判斷f(x)

3 溯源引流，挖掘本質

本題的背景是函數極值點偏移，隨著直線y=k從上往下(k值從1到0減少)，x1越來越小，x2越來越大，由函數f(x)極值點“左偏”，使得x1的減少量比x2的增加量小，所以x1+x2越來越大．當k=1時，視x1,x2為兩個等根，可得x1+x2=2．當k=0時，根據函數f(x)在x=0處的極限值可以補定義f(0)=0，這樣就有x1+x2=e，x1+x2的取值范圍是(2,e)，上確界本質是由函數的極限決定的．我們可以得到以下更為一般的結論：

結論1 已知函數f(x)=x(a-lnx)，x1,x2滿足x1≠x2且f(x1)=f(x2)，則2ea-1

4 研題反思

學生形成和使用幾何直觀時有水平和層次的差異，最初是建立和形成敏捷、準確的幾何直覺，感覺與圖形相隨；之后是實施和進行深入靈活的幾何探索，視覺與思維共行；最終使幾何直觀成為分析、解決問題的有效工具，抽象與形象互輔[1]．幾何直觀能力的形成不是一朝一夕的，需要教師在教學設計中逐步滲透，要將幾何直觀融入課程設計中．

4.1 幾何直觀是問題發現的有利工具

數學新知的獲取、問題的解決過程可以概括為：大膽猜測，小心論證．借助幾何直觀進行思考，已經成為一種重要的研究策略，在科學發現過程中起著不可替代的作用[2]．教學中要引導學生善于對問題進行幾何表征，從幾何關系出發，借助幾何直覺大膽地猜想，比如“認為直線y=e-x可能是切線”“隨著直線y=k從上往下，x1+x2越來越大”，這些都是從幾何直觀出發的大膽猜測．借助幾何模型與幾何關系進行幾何推理，以幾何結論為目標進行代數推理，比如當我們從圖形關系得到了f(x1)>x1和f(x)

4.2 幾何直觀能力的提升需要幾何活動經驗的積累

幾何活動經驗是數學基本活動經驗之一，是數學教學的目標之一，擁有豐富的幾何活動經驗的人，他的幾何直觀能力可能達到更高的水平．比如將“躺”在x軸上的線段站起來就是幾何活動經驗，這在利用三角函數線作三角函數圖象的活動中有過；從“x1+x2>2”的構造對稱函數到“x1+x2

在多數情況下，數學的結果是“看”出來的，而不是“證”出來的，所謂的“看”是一種直覺判斷，這種直覺判斷是建立在長期的數學活動經驗之上的.幾何直觀能力的形成需要幾何活動經驗的積累，需要在教學中有目的地設計教學情境、問題鏈、學生活動等，幫助學生概括、提煉進而形成幾何活動經驗，并引導學生學會利用經驗指導自己解決問題、學習數學．

4.3 幾何直觀與邏輯推理共同推動對數學本質的理解

康德說：“缺乏概念的直觀是空虛的，缺乏直觀的概念是盲目的．”數學抽象概念發展的“直觀—形式—直觀”模式，是一般科學概念發展的“具體—抽象—具體”模式的特殊表現形式[3]，幾何直觀與代數推理深刻反映了數學活動的基本矛盾，代數推理通過形式化而實現精確性，又因為形式化而減弱客觀性，幾何直觀具有原始的創造性，但又需要代數推理保證它的嚴謹性．代數推理具有高度抽象性，有必要再以相對直觀的形式對其進行重構和深化，從而達到思維直觀化的理想目標和可應用性要求，使得數學達到直觀與形式的統一，以使數學更完美[3]．