圓錐曲線焦點弦問題的兩個推廣

廣東省廣州市協和中學(510160) 葉超

圓錐曲線焦點弦問題的兩個推廣

廣東省廣州市協和中學(510160) 葉超

圓錐曲線有關的焦點弦問題備受命題人關注,因該問題往往可以聯系到直線的傾斜角,離心率,向量定比分點,弦長等有關知識點,能夠很好地考察學生數形結合思想,方程思想.筆者根據一道高二文科數學期中復習卷的考題,在經歷閱卷,講評,反思后生成了相關問題的兩個推廣.

試題再現設橢圓C:=1(a＞b＞0)的右焦點為F,過點F的直線l與橢圓C相交于A,B兩點,直線l的傾斜角為60°,.求橢圓C的離心率.

解法1(通法)設A(x1,y1),B(x2,y2),依題意知F(c,0),直線l的方程為y=(x-c).聯立

消去x得

由韋達定理知

點評該問題屬于典型的直線與圓錐曲線相交的綜合問題,班里多數學生能夠走完聯立方程組,羅列韋達定理一套規定動作.然而,在考試時未能及時地通過向量等量關系,理順點A與點B縱坐標之間關系,導致無法得出a,b,c的等式.也有少數同學因運算能力有待提高,未能在規定時間內求得正確結果.

解法2 (幾何法)如圖1設F1為橢圓的左焦點,連結AF1,BF1,依題意知∠AFF1=60°,∠BFF1= 120°.設|BF|=k(k＞0),那么|AF|=2k.由橢圓定義知,|AF1|=2a-2k, |BF1|=2a-k.在△AFF1中應用余弦定理有4(a-k)2= 4k2+4c2-2×2c×2k×cos60°整理得

圖1

同理,在△BFF1中應用余弦定理可以得到

小結圓錐曲線的離心率的取值問題多見于高考的選填題或是解答題第1問,解答此類問題關鍵在于結合題意列出a,b,c的齊次等式或者不等式,并消去b,化為只含離心率e的式子,方能求解離心率的取值.解法2利用了橢圓的定義以及余弦定理來溝通焦點三角形的邊角關系,可以有效減少坐標法運算帶來的不便,原理簡易,數與形相結合,學生樂于接受.若改變直線的傾斜角或向量的等量關系,亦或將橢圓換成雙曲線,又需重復上述類似工作,難免心生遺憾.

問題的推廣1

解法1 如圖 2,過點A作AD⊥x軸,垂足記作 D.根據圓錐曲線的統一定義知,|AF|= d1×e,而d1=-c+ |AF|cosθ,代入上式,得到|AF|==. 同理,算得|BF|=.

圖2

解法2 連結AF1,BF1,設|BF|=k(k＞0),那么|AF|=λk.由橢圓定義知,|AF1|=2a-λk,|BF1|=2a-k.在△AFF1中應用余弦定理有,(2a-λk)2=λ2k2+4c2-2×2c×λk×cosθ,整理得,

同理,在△BFF1中應用余弦定理可以得到

問題的推廣2

解如圖3,過點A作 AD⊥x軸,垂 足 記 作D.根據圓錐曲線的統一定義知,|AF|= d1×e, d1=|AF|cosθ+c-,帶入上式,可得 |AF|=,同理,|BF|=.

圖3

化簡得

進一步有雙曲線的焦點弦長公式|AB|=|AF|+|BF|=.

兩個重要結論設橢圓C:=1(a＞b＞0)(或雙曲線E:=1(a＞0,b＞0))的右焦點為F,過點F的直線l與橢圓C(或雙曲線E)相交于A,B兩點,直線l的傾斜角為θ,(λ＞0且λ/=1).則

對于上述離心率公式,三個量e,λ,θ知二求一.特別地,當直線l的傾斜角θ=90°,通徑|AB|=也成立.

[1]劉金平,由橢圓焦點弦問題導出的兩個重要公式[J].中學數學教學參考,2016,11.