數(shù)學(xué)思想方法視閾下線性代數(shù)課堂教學(xué)的實(shí)踐與探索(Ⅰ)

李 超，喬希民，羅俊麗

(商洛學(xué)院 數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)應(yīng)用學(xué)院，陜西 商洛 726000)

【教育教學(xué)方法研究】

數(shù)學(xué)思想方法視閾下線性代數(shù)課堂教學(xué)的實(shí)踐與探索(Ⅰ)

李 超，喬希民，羅俊麗

(商洛學(xué)院 數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)應(yīng)用學(xué)院，陜西 商洛 726000)

以中國(guó)數(shù)學(xué)思想史料為立足點(diǎn)，結(jié)合線性代數(shù)課堂教學(xué)實(shí)踐，分析《九章算術(shù)·方程》中方程術(shù)及其初等變換的思想方法，討論數(shù)學(xué)問題和思想方法驅(qū)動(dòng)下線性代數(shù)課堂教學(xué)的研究型教學(xué)模式，旨在培養(yǎng)學(xué)生研究問題的基本方法和保持深厚的興趣與志趣，全面提升運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法解決問題的能力。

線性代數(shù)；數(shù)學(xué)思想方法；九章算術(shù)；初等變換法

一、問題的提出

數(shù)學(xué)教育教學(xué)質(zhì)量的提高備受國(guó)際社會(huì)關(guān)注，在我國(guó)顯得尤為重要與突出。1958年,美國(guó)總統(tǒng)艾森豪威爾受蘇聯(lián)人造衛(wèi)星上天之震驚，認(rèn)識(shí)到美國(guó)科學(xué)技術(shù)落后于蘇聯(lián)的主要原因是：美國(guó)數(shù)學(xué)科學(xué)發(fā)展與創(chuàng)新滯后，歸根結(jié)底是中小學(xué)數(shù)學(xué)教育教學(xué)與大學(xué)的數(shù)學(xué)人才培養(yǎng)問題，便形成了自上而下的一系列數(shù)學(xué)教育改革行動(dòng)計(jì)劃。其數(shù)學(xué)教育改革與創(chuàng)新的信念始終如一，并得到歷屆總統(tǒng)的秉承與發(fā)揚(yáng)光大。奧巴馬在競(jìng)選美國(guó)總統(tǒng)時(shí)就提出了：優(yōu)先發(fā)展數(shù)學(xué)和科學(xué)教育，增加高質(zhì)量的課外教育機(jī)會(huì)，提高教育質(zhì)量，應(yīng)對(duì)輟學(xué)原因。[1]18

在我國(guó),從2007年教育部的《關(guān)于進(jìn)一步深化本科教育教學(xué)改革全面提高教學(xué)質(zhì)量的若干意見》到教育部2016年教育工作著力要點(diǎn)仍為提高教育質(zhì)量，說明教育教學(xué)質(zhì)量的提高乃是長(zhǎng)期艱巨任務(wù)和當(dāng)務(wù)之急。當(dāng)然，大學(xué)數(shù)學(xué)教育教學(xué)的質(zhì)量問題、數(shù)學(xué)教育教學(xué)理論的探究與實(shí)踐也不例外。

我們認(rèn)為：數(shù)學(xué)教育的本質(zhì)是數(shù)學(xué)教育工作者采用各種方法、方式、手段與途徑，以幫助學(xué)生數(shù)學(xué)能力與水平的發(fā)展和提高的教育教學(xué)理論，其終極目標(biāo)是培養(yǎng)人的理性精神和推動(dòng)社會(huì)進(jìn)步。大學(xué)數(shù)學(xué)教育教學(xué)更能體現(xiàn)：如何促進(jìn)學(xué)生深度學(xué)習(xí)先哲們的思想；如何發(fā)展學(xué)生的思想自由和學(xué)術(shù)獨(dú)立；如何創(chuàng)新；如何在深刻理解先哲們理論思想方法的基礎(chǔ)上，理性質(zhì)疑反思的批判性繼承。也就是說，學(xué)生或許忘記了具體的數(shù)學(xué)理論知識(shí)，但數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的獨(dú)立思考和思維品質(zhì)，批判性思維和理性精神，將影響著他們的做人做事方式，也許會(huì)像數(shù)學(xué)家一樣生活、一樣思考。本文將結(jié)合線性代數(shù)具體教育教學(xué)過程，探索基于數(shù)學(xué)思想方法的線性代數(shù)課堂教學(xué)的創(chuàng)造性思維與研究型教學(xué)模式，實(shí)現(xiàn)構(gòu)建數(shù)學(xué)美的欣賞和理性批判精神融為一體的理想課堂，以期為提高大學(xué)數(shù)學(xué)教育教學(xué)質(zhì)量而拋磚引玉。

二、數(shù)學(xué)思想方法概述

1.思想與數(shù)學(xué)思想辨析

《辭海》中對(duì)“思想”的注釋為：(1)思考,思慮；(2)想念，思念；(3)亦稱“觀念”。思維活動(dòng)的結(jié)果，屬于理性認(rèn)識(shí)。人們的社會(huì)存在決定人們的思想、具有相對(duì)獨(dú)立性、對(duì)社會(huì)存在有反作用?！冬F(xiàn)代漢語詞典》(第六版)將“思想”解釋為：(1)客觀存在反映在人的意識(shí)中經(jīng)歷思維活動(dòng)而產(chǎn)生的結(jié)果；(2)念頭，想法；(3)思量。

由此可見：思想可以解釋為客觀存在反映在人的意識(shí)中經(jīng)過思維活動(dòng)而產(chǎn)生的結(jié)果，即認(rèn)識(shí)的高級(jí)階段，屬于理性認(rèn)識(shí)。

數(shù)學(xué)思想是人們進(jìn)行數(shù)學(xué)活動(dòng)與數(shù)學(xué)思維的結(jié)果，是對(duì)客觀事物與現(xiàn)實(shí)世界的數(shù)量關(guān)系與空間形式在人們頭腦中的反映，是數(shù)學(xué)中的理性認(rèn)識(shí)，是數(shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì)的高級(jí)抽象和概括性認(rèn)識(shí)。亦泛指某些有重大意義的、內(nèi)容比較豐富、體系相當(dāng)完整的數(shù)學(xué)成果，以及對(duì)數(shù)學(xué)對(duì)象、數(shù)學(xué)研究的本質(zhì)及數(shù)學(xué)規(guī)律性的認(rèn)識(shí)。

2.方法與數(shù)學(xué)方法辨析

《辭源》中對(duì)“方法”的注釋為：(1)量度方形之法；(2)辦法；(3)方術(shù)，法術(shù)。

《現(xiàn)代漢語詞典》(第六版)對(duì)“方法”的解釋為：關(guān)于解決思想、說話、行動(dòng)等問題的門路、程序等。

綜上所述，方法是一種元概念，是為達(dá)到某種目的而采用的途徑、步驟、手段、操作方式等。

數(shù)學(xué)方法是指從數(shù)學(xué)角度提出問題、分析和解決數(shù)學(xué)內(nèi)部問題與實(shí)際問題過程中的手段、概括性策略。

3.思想方法與數(shù)學(xué)思想方法

《辭海》對(duì)“思想方法”的詮釋為：人們研究問題和認(rèn)識(shí)世界的方法，是對(duì)認(rèn)識(shí)能力和思維能力具有重要影響的因素。在不同的科學(xué)領(lǐng)域存在著各具特點(diǎn)的思想方法，哲學(xué)則提供普遍的思想方法。

數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法統(tǒng)稱為數(shù)學(xué)思想方法，兩者基本關(guān)系表現(xiàn)為：(1)數(shù)學(xué)思想的本質(zhì)是指導(dǎo)思想，具有獨(dú)立性，而數(shù)學(xué)方法的實(shí)質(zhì)是操作過程，具有實(shí)踐性與可行性。由此可見，兩者是層次不同的基本概念。數(shù)學(xué)思想指導(dǎo)數(shù)學(xué)方法，數(shù)學(xué)方法體現(xiàn)數(shù)學(xué)思想。(2)在具體數(shù)學(xué)問題解決過程中，數(shù)學(xué)思想能夠促使人們主動(dòng)尋求、自覺運(yùn)用有效的數(shù)學(xué)方法，使人們正確把握解決數(shù)學(xué)問題的方向，如果選擇了有效的數(shù)學(xué)方法，那么不僅使數(shù)學(xué)問題得以順利解決，而且還能使人們?cè)诟邔用嫔仙羁填I(lǐng)悟數(shù)學(xué)思想。(3)數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法在實(shí)際使用時(shí)常常不加區(qū)別。[2-4]

三、線性代數(shù)中的數(shù)學(xué)思想方法

美國(guó)數(shù)學(xué)家哈爾莫斯(P·R·Halmos)曾經(jīng)說過：“數(shù)學(xué)家存在的主要理由就是解決問題?！睌?shù)學(xué)教育家G·波利亞的觀點(diǎn)是：“掌握數(shù)學(xué)就是意味著善于解題，不僅善于解一些標(biāo)準(zhǔn)題，而且善于解一些要求獨(dú)立思考、思路合理、見解獨(dú)到和有發(fā)明創(chuàng)造的題?！被诖?，本課題將以線性代數(shù)中典型問題解決為立足點(diǎn)，較為系統(tǒng)地探討線性代數(shù)教育教學(xué)中的數(shù)學(xué)思想方法。而本文因篇幅所限，僅討論中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)典籍《九章算術(shù)》中的方程術(shù)思想方法。

“以古為鏡，可以知興替”。法國(guó)數(shù)學(xué)家龐加萊認(rèn)為：“如果我們希望預(yù)知數(shù)學(xué)的未來，最合適的途徑就是鉆研這門科學(xué)的歷史和現(xiàn)狀?！痹陬I(lǐng)悟中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)所取得豐碩成果的《九章算術(shù)》時(shí)，我們深深感悟到其初等變換思想方法貫穿于整個(gè)“線性代數(shù)”課程中。例如，“方程”章中所討論的方程，相當(dāng)于Gauss消元法求解線性方程組。但其思想方法是將線性方程組化為等價(jià)的簡(jiǎn)單線性方程組要用初等變換思想方法。而初等變換思想方法在計(jì)算行列式、判斷向量組的線性相關(guān)性、計(jì)算矩陣的秩、求逆矩陣、求矩陣的特征值和特征向量等方面體現(xiàn)得淋漓盡致。我們以此為切入點(diǎn)，設(shè)計(jì)了適合于學(xué)生的“矩陣”概念建立的教學(xué)方案[5]，現(xiàn)再給出一種教學(xué)設(shè)計(jì)。

(1)史料性引入：我國(guó)秦漢時(shí)代成書的《九章算術(shù)》，是傳統(tǒng)中國(guó)乃至古代東方極其重要的數(shù)學(xué)典籍，在西學(xué)東漸之前一直是中國(guó)與東亞國(guó)家的數(shù)學(xué)教科書，歷經(jīng)千年而不衰。《九章算術(shù)》的具體作者不詳，而其中某些內(nèi)容可上溯至先秦時(shí)期，據(jù)此或可以認(rèn)為它是經(jīng)過歷代名家(例如劉徽、祖沖之父子、李淳風(fēng)等大數(shù)學(xué)家的注釋)的不斷增補(bǔ)修訂而逐漸成為現(xiàn)今定本的“集體作品”。全書問題共分9類，故名曰《九章算術(shù)》?，F(xiàn)今流傳的大多是在三國(guó)時(shí)期魏元帝景元四年(公元263年)劉徽為《九章算術(shù)》所作的注本?！毒耪滤阈g(shù)》今譯本及注，首推中國(guó)科學(xué)院自然科學(xué)研究所的古代數(shù)學(xué)史學(xué)家郭書春的貢獻(xiàn)。[6-9]《九章算術(shù)》最高的數(shù)學(xué)成就為方程術(shù)，所謂方程術(shù)就是現(xiàn)今的線性方程組的解法。其中第一問提出的方程術(shù)是全章的綱。[9]

(2)原文(借助多媒體課件，僅展示題文與答曰)：《九章算術(shù)》卷第八[7-8,10-11]第1問題：

今有上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，實(shí)三十九斗；上禾二秉，中禾三秉，下禾一秉，實(shí)三十四斗；上禾一秉，中禾二秉，下禾三秉，實(shí)二十六斗。問上、中、下禾實(shí)一秉各幾何?

答曰：上禾一秉九斗四分斗之一，中禾一秉四斗四分斗之一，下禾一秉二斗四分斗之三。

(3)譯文(借助多媒體課件完成)：現(xiàn)有上等禾3捆，中等禾2捆，下等禾1捆，共有實(shí)39斗；上等禾2捆，中等禾3捆，下等禾1捆，共有實(shí)34斗；上等禾1捆，中等禾2捆，下等禾3捆，共有實(shí)26斗。問：上、中、下等禾每捆的實(shí)各是多少？

(4)“方程術(shù)”列表法 (原文、譯文、算籌表達(dá)式(用阿拉伯?dāng)?shù)字代替“籌”)、今布列方程組)[7-8,10-11]，見表1：

表1 “方程術(shù)”古今對(duì)照表

續(xù)表1

原文譯文算籌表達(dá)式今方程組然以中行中禾不盡者徧乘左行,而以直除以中行中間的那個(gè)不為0的數(shù),遍乘左行各數(shù),再由左行連續(xù)減去中行各對(duì)應(yīng)數(shù),即5×⑦-4×⑤得⑧⑧ ⑤ ① 上中下實(shí)0030523611992439é?êêêêêù?úúúúú左 中 右 3x+2y+z=39,5y+z=24,36z=99,{①⑤⑧左方下禾不盡者,上為法,下為實(shí),實(shí)即下禾之實(shí)左行中第三個(gè)數(shù)不為0,以它為除數(shù),最下面的一個(gè)數(shù)為被除數(shù),作除法,所得的結(jié)果11就是下禾的分子(實(shí)),4就是下禾的分母9936=114(斗)⑨ ⑤ ① 上中下實(shí)003052411112439é?êêêêêù?úúúúú左 中 右 3x+2y+z=39,5y+z=24,4z=11,{①⑤⑨求中禾,以法乘中行下實(shí),而除下禾之實(shí)若求中禾,以下禾的法(分母4)遍乘中行,減去左行各元素,即⑤×4-⑨得⑩⑨ ⑩ ① 上中下實(shí)0030202401118539é?êêêêêù?úúúúú左 中 右 3x+2y+z=39,20y=85,4z=11,{①⑩⑨余,如中禾秉數(shù)而一,即中禾之實(shí)其余數(shù)除以中行中禾乘數(shù)便得中禾之實(shí),即85÷20=17÷4里的17即中禾的實(shí)(中禾的分子)⑨ ① 上中下實(shí)003042401111739é?êêêêêù?úúúúú左 中 右 3x+2y+z=39,4y=17,4z=11,{①⑨求上禾,亦以法乘右行下實(shí),而除下禾、中禾之實(shí)若求上禾,用左行上面的法(分母)遍乘右行,然后逐次減去左行中行的對(duì)應(yīng)元素,使右行中間兩數(shù)為0,即4×①-2×-⑨⑨ 上中下實(shí)00120404001117111é?êêêêêù?úúúúú左 中 右 12x=111,4y=17,4z=11,{⑨余,如上禾秉數(shù)而一,即上禾之實(shí)所得余數(shù),除以右行上禾的乘數(shù),即得上禾之實(shí),即12與111約分得374,37就是所求上禾之實(shí)(分子)⑨ 上中下實(shí)004040400111737é?êêêêêù?úúúúú左 中 右 4x=37,4y=17,4z=11,{⑨實(shí)皆如法,各得一斗將上、中、下禾之實(shí)(即分子)皆以“法”(分母4)除之,得出各禾每束稻禾斗數(shù)x=914(斗),y=414(斗),z=234(斗)。ì?í??????

(5)反思：1)《九章算術(shù)》首次提出一般線性方程組的初等變換求解方法。在宋代秦九韶《數(shù)書九章》第9章第2題四元線性方程組用中國(guó)數(shù)碼記錄了解題的籌算15個(gè)計(jì)算式的全過程，清代梅文鼑《方程論》卷5的線性方程組90題，則把題設(shè)數(shù)據(jù)寫成矩陣，變?yōu)槿蔷仃嚭笤倩卮12]286-3002)《九章算術(shù)》中“方程”就是方形的表達(dá)式，與現(xiàn)行的增廣矩陣相似。“方程術(shù)”相當(dāng)于現(xiàn)代的加減消元法或矩陣初等變換。“直除”法為開創(chuàng)行列式與矩陣等概念提供了基本數(shù)學(xué)思想方法。3)Gauss消元法是解一般線性方程組的主要方法，但由上述問題的求解過程可得到：Gauss消元法應(yīng)稱為“中國(guó)消元法”。4)本問題既可作為“矩陣”概念建立或矩陣初等變換法的引入課[5]，也可作為線性方程組的引例。5)問題的情境創(chuàng)設(shè)理應(yīng)體現(xiàn)數(shù)學(xué)思想方法的再創(chuàng)造。6)用《九章算術(shù)卷八》問題1替代教材中的“高斯消元法”，以提升學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣與好奇心。

四、結(jié)語

大學(xué)非數(shù)學(xué)專業(yè)數(shù)學(xué)教育的宗旨是：(1)全面促使學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)基本理論的學(xué)習(xí)，掌握研究問題的基本方法，形成初步的科研能力；(2)運(yùn)用所學(xué)數(shù)學(xué)基本理論知識(shí)解決實(shí)際問題的能力；(3)進(jìn)一步強(qiáng)化學(xué)生理性質(zhì)疑反思的批判精神。事實(shí)上，要實(shí)現(xiàn)這些目標(biāo)，需要全面系統(tǒng)地將數(shù)學(xué)思想方法落實(shí)在具體的數(shù)學(xué)教育教學(xué)活動(dòng)中，這將是我們繼續(xù)探討的課題。

[1] [美]《教育周刊》.奧巴馬的教育藍(lán)圖[M].范國(guó)睿，譯.北京:教育科學(xué)出版社,2010.

[2] 傅海倫,賈冠軍.數(shù)學(xué)思想方法發(fā)展概論[M].濟(jì)南:山東教育出版社,2009：5.

[3] 楊啟賢.數(shù)學(xué)思想方法解讀[M].鄭州:河南大學(xué)出版社,2012：4-8.

[4] 徐利治.數(shù)學(xué)方法論十二講[M].大連:大連理工大學(xué)出版社,2007：2-14.

[5] 喬希民.發(fā)現(xiàn)教學(xué)法在線性代數(shù)課堂教學(xué)中的實(shí)施策略[J].貴陽學(xué)院學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版),2016,(2):62-65.

[6] 郭書春.中國(guó)科學(xué)技術(shù)史·數(shù)學(xué)卷[M].北京:科學(xué)出版社,2010：247-251.

[7] 郭書春.九章算術(shù)新校[M].合肥:中國(guó)科學(xué)技術(shù)大學(xué)出版社,2014：327-331.

[8] 劉徽注,李淳風(fēng).九章算術(shù)[M].郭書春，校勘并譯注.道本周,徐義保，英譯并注.沈陽:遼寧教育出版社,2013:904-924.

[9] 郭書春.古代世界數(shù)學(xué)泰斗劉徽[M].濟(jì)南:山東科學(xué)出版社,2013：150-164.

[10] 徐品方.白話九章算術(shù)[M].成都:成都時(shí)代出版社,2002：283-290.

[11] 曹純.九章算術(shù)譯注[M].上海:上海三聯(lián)書店,2015：280-285.

[12] 沈康身.歷史數(shù)學(xué)命題賞析[M].上海:上海教育出版社,2002.

【責(zé)任編輯 曹 靜】

Practice and Exploration about Linear Algebra Class Teaching in Mathematics Thinking Method (Ⅰ)

LI Chao, QIAO Xi-min, LUO Jun-li

(College of Mathematics and Computer Application, Shangluo University, Shangluo 726000, China)

Based on China’s history of mathematical thought, by linear algebra class teaching practice, the paper analyzes the “Nine Chapters on the Art of Mathematics” equation technique and the thought method of elementary transformation, and discusses linear algebra research teaching mode of classroom teaching driven by the mathematical problems and the thought method, in order to cultivate students’ basic methods of the research and students’ strong interest and curiosity, to improve the ability to solve problems by mathematics thinking method.

linear algebra; mathematical thinking method; Nine Chapters on the Art of Mathematics; elementary transformation

G642

A

1009-5128(2017)06-0025-05

2017-01-18

陜西省高等學(xué)校教學(xué)改革研究重點(diǎn)資助項(xiàng)目：新建地方本科院校轉(zhuǎn)型發(fā)展的內(nèi)涵及途徑研究(15BZ62)；陜西省自然科學(xué)基礎(chǔ)研究計(jì)劃項(xiàng)目：區(qū)間集上基于非交換剩余格的廣義fuzzy濾子的研究(2013JM1023)；陜西省社科界重大理論與現(xiàn)實(shí)問題研究項(xiàng)目：構(gòu)建區(qū)域性全民終身學(xué)習(xí)體系和學(xué)習(xí)型社會(huì)的研究——以商洛市為個(gè)案(2014Z090)

李超(1965—)，男，陜西鎮(zhèn)安人，商洛學(xué)院數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)應(yīng)用學(xué)院教授，主要從事大學(xué)數(shù)學(xué)教育與基礎(chǔ)數(shù)學(xué)研究。