矩陣方程ATXA=C的對稱M對稱最佳逼近解

徐玉霞，雷英杰，侯 強

(中北大學 理學院，太原 030051)

矩陣方程ATXA=C的對稱M對稱最佳逼近解

徐玉霞，雷英杰，侯 強

(中北大學 理學院，太原 030051)

在結構動態模型修正中，通常需要修正剛度矩陣與質量矩陣以滿足正交條件。通過研究它們的極小二乘逼近解對其進行修正。故在對稱M對稱矩陣集中，利用標準相關分解(CCD),獲得了矩陣方程ATXA=C的對稱M對稱極小二乘解；在此基礎上應用廣義奇異值分解(GSVD)和投影定理,得到了給定矩陣的極小二乘解的對稱M對稱最佳逼近解。

對稱M對稱矩陣；投影定理；標準相關分解；極小二乘解；最佳逼近解

1 預備知識

定義[1]設M∈Rn×m，若矩陣X∈SRn×n，滿足(MTXM)T=MTXM，則稱矩陣X為對稱M對稱矩陣。

矩陣方程ATXA=C來源于振動理論逆問題，這一問題在機械系統和土木工程結構中有實際應用背景[2-3]。比如在修復振動模型中往往需要滿足以下正交條件：

ATMA=Im,ATKA=Δ

2 問題1的解

(1)

(2)

其中：Q∈ORm×m是正交陣；M∈Rr×r,N∈R(n-r)×(n-r)是非奇異矩陣。

且

進一步,記

(3)

這里：

(4)

其中F11、G11和Ai4、Fi1、F1i、F4i、Fi4、G4i、Gi4(i=1,2,3,4)是任意矩陣。

(5)

將式(2)～(3)代入式(5)并利用Q的正交性可得

對式(6)求極小二乘解可得:

(8)

而f(aij,fij,gij)是關于aij、fij、gij的凸連續可微函數。故式(8)成立，當且僅當

直接計算可得

將其寫成矩陣形式為

從而

最后，將所有極小二乘解代入式(3)則得式(4)，其中F11、G11和Ai4、Fi1、F1i、F4i、Fi4、G4i、Gi4(i=1,2,3,4)是任意矩陣。證畢。

3 問題2的解

由于式(2)中非奇異矩陣M、N不滿足Frobenius范數的正交不變性，故直接通過問題1的解無法解決問題2。為了解決問題2，給出以下投影定理：

下面利用定理2將問題2的極小二乘問題轉化為求一相容矩陣方程的解的問題。

引理2 給定矩陣A1和A2，如式(2)，令C∈SRm×m，定義矩陣方程

(9)

(10)

那么矩陣方程

(11)

是相容的，且它的解集與矩陣方程(9)的極小二乘解的解集一樣。

證明 根據文獻[3]的定理4.3可知引理2顯然成立。證明完畢。

基于以上引理,將式(2)、(4)代入式(10)，可求得唯一矩陣C0。

接下來，利用GSVD求方程(11)的相容解，此相容解也即非相容矩陣方程(9)的極小二乘解。

矩陣對[A1,A2]的GSVD為A1=UΠ1M,A2=VΠ2M,U∈ORr×r,V∈OR(n-r)×(n-r),M∈Rm×m是一非奇異矩陣，且

(12)

其中:Λ=diag(ξ1,…,ξk1+k2-m),1>ξ1≥…≥ξk1+k2-m>0；Γ=diag(η1,…,ηk1+k2-m),0<η1≤…≤ηk1+k2-m<1,Λ2+Γ2=Ik1+k2-m。

記矩陣UTX11U,UTX12V,VTX22V,M-TC0M-1有如下劃分形式：

(13)

定理3 已知列滿秩矩陣A∈Rn×m,C∈SRm×m,矩陣UTX11U,UTX12V,VTX22V,M-TC0M-1有式(13)的劃分形式，則矩陣方程(11)的相容解(也即非相容方程(9)的極小二乘解)為：

(14)

證明 將式(1)、(4)以及A1、A2代入式(11)并根據W的非奇異性可得

(15)

接下來，將式(12)、(13)代入(15)直接計算可得式(14)。證畢。

(16)

(17)

其中：

(18)

(19)

(20)

(21)

(22)

(23)

(24)

(25)

對于式(23)～(25)，采用類似式(7)的處理方法直接計算可得式(19)～(22)。最后將所求得的所有極小二乘解代入式(16)可得式(17)。證明完畢。

4 結束語

[1] 彭向陽,胡錫炎,張磊.矩陣方程的M-對稱解[J].數學學報,2006,49(4):941-948.

PENG Xiangyang,HU Xiyan,ZHANG Lei.The M- Symmetric Solution of the Matrix Equation[J].Acta Mathematica Sinica,2006,49(4):941-948.

[2] JOSEPH K T.Inverse eigenvalue problem in structural design[J].Aiaa Journal,2012,30(30):2890-2896.

[3] XU W R,CHEN G L.Inverse problems for (R,S)-symmetric matrices in structural dynamic model updating[J].Computers & Mathematics with Applications,2016,71(5):1074-1088.

[4] YUAN Y,DAI H.Inverse problems for symmetric matrices with a submatrix constraint[J].Applied Numerical Mathematics,2007,57(5):646-656.

[5] LIAO A P,LEI Y.Least-squares solutions of matrix inverse problem for bi-symmetric matrices with a submatrix constraint[J].Numerical Linear Algebra with Applications,2010,14(5):425-444.

[6] DAI L F,LIANG M L.Generalized Inverse Eigenvalue Problem for (P,Q) Conjugate Matrices and the Associated Approximation Problem[J].Wuhan University Journal of Natural Sciences,2016,21(2):093-098.

[7] LI J F,Hu X Y,ZHANG L.Inverse problem for symmetric P-symmetric matrices with a submatrix constraint[J].Bulletin of the Belgian Mathematical Society Simon Stevin,2010,17(4):661-674.

(責任編輯 陳 艷)

SymmetricMSymmetric Optimal Approximation Solution of Matrix EquationATXA=C

XU Yu-xia, LEI Ying-jie, HOU Qiang

(School of Science，North University of China，Taiyuan 030051, China)

In the dynamic model updating, it usually needs to modify the stiffness matrix and the mass matrix to satisfy the orthogonal conditions. In this paper, they are modified by the study of their least-squares approximations. Then we obtain the symmetricMsymmetric least square solution’s ofATXA=Cby using canonical correlation decomposition in the symmetricMsymmetric matrices set; Based on this, by using the projection theorem and the generalized singular value decomposition, we get its symmetricMsymmetric optimal approximation solution of a given matrix.

symmetricMsymmetric matrices; projection theorem; canonical correlation decomposition; least square solution; optimal approximation solution

2016-12-18 基金項目：國家自然科學基金青年基金資助項目(11501528)

徐玉霞(1991—)，女，河北衡水人，碩士研究生，主要從事組合矩陣理論及其應用的研究，E-mail:1554760759@qq.com。

徐玉霞，雷英杰，侯強.矩陣方程ATXA=C的對稱M對稱最佳逼近解[J].重慶理工大學學報(自然科學)，2017(3):143-150.

format：XU Yu-xia, LEI Ying-jie, HOU Qiang.SymmetricMSymmetric Optimal Approximation Solution of Matrix EquationATXA=C[J].Journal of Chongqing University of Technology(Natural Science)，2017(3):143-150.

10.3969/j.issn.1674-8425(z).2017.03.022

O175.13

A

1674-8425(2017)03-0143-08