數(shù)學方法在物理解題中的應用

史玉林

數(shù)學作為工具學科，其知識、思想和方法始終滲透、貫穿于整個高中物理的學習和研究過程中，它為學生進行抽象思維和邏輯推理提供了有效的方法，為物理學中的定量分析和計算提供了有力的工具.在處理某些物理問題時，常用的數(shù)學方法有導數(shù)分析法、向量分析法、圓錐曲線法、函數(shù)表達法、數(shù)列分析法等.

一、導數(shù)分析法

例1 如圖1所示為一單擺的共振曲線，該單擺的擺長約為m， 發(fā)生共振時，單擺振動過程中最大速度為m/s.

（π2=10，g=10 m/s2）圖1

解析由圖1可知，該單擺的固有周期為2s，由周期公式T=2πl(wèi)g，可計算出擺長約為1 m.由圖像所提供的相關數(shù)據(jù)，可知該單擺在共振時的振動方程為x=0.08sin（πt+φ），因dxdt=v，故上述方程對時間t求導，即可得共振時的速度方程為v=0.08πcos（πt+φ）.當cos（πt+φ）=1時，即單擺在發(fā)生共振時有最大速度，數(shù)值為vmax=0.08πm/s.

二、向量分析法

例2從空中同一點沿水平方向同時拋出兩個小球，它們初速度的大小分別為v1和v2，初速度的方向相反，經(jīng)過t=兩球速度之間的夾角恰為900.（不計空氣阻力）

解析考慮到兩小球在平拋過程中水平速度大小不變，豎直速度大小隨時間呈線性變化.若規(guī)定其中一球速度向量為（v1，gt），則另一球的速度向量可表示為（-v2，gt）.由數(shù)學知識知：若兩向量A（x1，y1），B（x2，y2）互相垂直，則滿足x1x2+y1y2=0.那么，對于本題而言，當兩球速度之間的夾角恰為90°時，有-v1v2+g2t2=0，從而解得t=v1v2g.

三、圓錐曲線法

例3如圖2所示，在雙曲線x216-y29=1的兩個焦點F1和F2放置兩個頻率相同的波源，它們激起的波的波長為4 cm.就圖中A、B、C、D四個質點的振動，下面說法中正確的是（）.圖2

A. 若A、B振動加強，則C、D振動一定減弱

B. 若A、B振動加強，則C、D振動加強

C. A、B、C、D一定振動加強

D. A、B、C、D一定振動減弱

解析由于A、B兩點在雙曲線上，根據(jù)數(shù)學知識中雙曲線的基本定義可知，A、B兩點分別到兩焦點F1、F2距離的差值的絕對值Δx為一定值.由雙曲線的方程可知該定值Δx=8 cm.從高中物理機械振動和機械波的角度來理解，該差值恰為振動中的波程差，且滿足Δx=2λ.當兩振源起振方向相同時，A、B兩點為振動加強點，若兩振源起振方向相反時，A、B兩點為振動減弱點，但本題對兩振源的起振方向并沒有明確的說明，故選項C、D不正確.由于C、D兩點分別到兩振源的距離差值為0，若A、B振動加強，C、D也一定振動加強，故該題正確選項為B.

四、函數(shù)表達法

例4為了測量由兩節(jié)干電池組成的電池組的電動勢和內電阻，某學生設計了如圖3甲所示的實驗電路，其中R為電阻箱， R0=5Ω為保護電阻.斷開開關S，調整電阻箱的阻值，再閉合開關S，讀取并記錄電壓表的示數(shù)及電阻箱接入電路中的阻值.多次重復上述操作，可得到多組電壓值U及電阻值R，并以1U為縱坐標，以1R為橫坐標，畫出1U-1R的關系圖線（該圖線為一條直線），如圖3乙所示.由圖線可求得電池組的電動勢E=

V，內阻r=Ω.（結果保留兩位有效數(shù)字）

解析根據(jù)閉合回路歐姆定律知：E=U+UR（R0+r），根據(jù)乙圖橫、縱軸信息對上述表達式變形可得相應的函數(shù)表達式為：1U=R0+rE·1R+1E，由乙圖中所反映的截距和斜率信息可得：1E=0.35和R0+rE=1.42-0.350.5，聯(lián)立方程組解得E=

2.9 V，r=1.1 Ω.

五、數(shù)列分析法

例5現(xiàn)代科學儀器常利用電場、磁場控制帶電粒子的運動.在真空中存在著如圖4所示的多層緊密相鄰的勻強電場和勻強磁場，電場和磁場的寬度均為d，電場強度為E，方向水平向右；磁感應強度為B，方向垂直紙面向里.電場、磁場的邊界互相平行且與電場方向垂直，一個質量為m、電荷量為q的帶正電粒子在第1層電場左側邊界某處由靜止釋放，粒子始終在電場、磁場中運動，不計粒子重力及運動時的電磁輻射.

（1）求粒子在第2層磁場中運動時速度v2的大小與軌跡半徑r2；

（2）粒子從第n層磁場右側邊界穿出時，速度的方向與水平方向的夾角為θn，試求sinθn .

解析粒子在進入第2層磁場時，經(jīng)過兩次電場加速，中間穿過磁場時洛倫茲力不做功.由動能定理，有

2qEd=12mv22（1）

由（1）式解得 v2=2qEdm（2）

粒子在第2層磁場中受到的洛倫茲力充當向心力，有qv2B=mv22r2 （3）

由（2）（3）式解得

r2=2BmEdq（4）

（2）設粒子在第n層磁場中運動的速度為vn，軌跡半徑為rn（各量的下標均代表粒子所在層數(shù)，下同）.

nqEd=12mv2n（5）

qvnB=mv2nrn（6）

粒子進入第n層磁場時，速度的方向與水平方向的夾角為αn，從第n層磁場右側邊界穿出時速度方向與水平方向的夾角為θn，粒子在電場中運動時，垂直于電場線方向的速度分量不變，有

vn-1sinθn-1=vnsinαn（7）

由圖5看出rnsinθn-rnsinαn=d（8）

由（6）（7）（8）式得

rnsinθn-rn-1sinθn-1=d（9）

由（9）式看出r1sinθ1，r2sinθ2，…，rnsinθn為一等差數(shù)列，公差為d，可得

rnsinθn=r1sinθ1+（n-1）d（10）

當n=1時，由圖6看出r1sinθ1=d（11）

由（5）（6）（10）（11）式得sinθn=Bnqd2mE

小結物理和數(shù)學息息相關，學生在解答某些物理問題的時候，如果能靈活應用數(shù)學方法，將物理題目中原本復雜的問題，化難為易或化抽象為形象，可以讓人一目了然，從而對題目進行便捷的求解.綜上，以上各種數(shù)學方法的應用，足以說明數(shù)學在高中物理課程中的重要性.

（收稿日期：2016-09-16）