數學方法在物理解題中的應用

史玉林

數學作為工具學科，其知識、思想和方法始終滲透、貫穿于整個高中物理的學習和研究過程中，它為學生進行抽象思維和邏輯推理提供了有效的方法，為物理學中的定量分析和計算提供了有力的工具.在處理某些物理問題時，常用的數學方法有導數分析法、向量分析法、圓錐曲線法、函數表達法、數列分析法等.

一、導數分析法

例1 如圖1所示為一單擺的共振曲線，該單擺的擺長約為m， 發生共振時，單擺振動過程中最大速度為m/s.

（π2=10，g=10 m/s2）圖1

解析由圖1可知，該單擺的固有周期為2s，由周期公式T=2πlg，可計算出擺長約為1 m.由圖像所提供的相關數據，可知該單擺在共振時的振動方程為x=0.08sin（πt+φ），因dxdt=v，故上述方程對時間t求導，即可得共振時的速度方程為v=0.08πcos（πt+φ）.當cos（πt+φ）=1時，即單擺在發生共振時有最大速度，數值為vmax=0.08πm/s.

二、向量分析法

例2從空中同一點沿水平方向同時拋出兩個小球，它們初速度的大小分別為v1和v2，初速度的方向相反，經過t=兩球速度之間的夾角恰為900.（不計空氣阻力）

解析考慮到兩小球在平拋過程中水平速度大小不變，豎直速度大小隨時間呈線性變化.若規定其中一球速度向量為（v1，gt），則另一球的速度向量可表示為（-v2，gt）.由數學知識知：若兩向量A（x1，y1），B（x2，y2）互相垂直，則滿足x1x2+y1y2=0.那么，對于本題而言，當兩球速度之間的夾角恰為90°時，有-v1v2+g2t2=0，從而解得t=v1v2g.

三、圓錐曲線法

例3如圖2所示，在雙曲線x216-y29=1的兩個焦點F1和F2放置兩個頻率相同的波源，它們激起的波的波長為4 cm.就圖中A、B、C、D四個質點的振動，下面說法中正確的……