基于內外部表征的數學高考應用題分析

楊原明

[摘要]在對數學應用題進行解決的過程中。對于問題表征方式的不同直接決定著對于問題解決方案的選擇，而問題表征通常情況下又可以分為兩種形式，即內部表征和外部表征。內部表征主要是指命題表征、概念表征以及概念圖標等，外部表征主要是指背景表征、文字表征、符號表征等。這兩種表征在結構和特征方面都存在一定的差異性，在應用題的解答中也有不同的方式，通過這兩方面能夠有效地實現對高考數學應用題的分析和解答。

[關鍵詞]數學；高考應用題；內部表征；外部表征

數學和日常生活有著密切的聯系。相關的數學知識在實際的生活中往往都能得到應用。由此就可以看出數學的實用性。數學之所以能夠得到發展。主要是因為通過數學能夠解決實際生活中存在的許多問題。這也就是數學應用題之所以存在的根本原因。但是在實際的教學活動中。往往會出現教師在講解的時候。學生都能夠很好地接受和理解。但是在自己做題的時候就想不到用什么概念、公式或方法解題。出現這一現象的根本原因在于教師在實際的教學。沒有將解題的思維方式教給學生。這樣學生就不能將所學的知識有效地應用在解題之中。這就說明了。在數學教學中。不能讓學生僅僅停留在簡單的模仿階段。而是需要在模仿的同時。不斷地明確相應的解題的思維方式。最終實現對一類題目的處理方法。關于這一點的教學中。教師應該重點對解題的知識點方向以及學生的解題思路進行關注。這樣才能對其進行有效的引導

數學應用題中外部表征的作用

外部表征主要是情景中的結構以及知識點，具體可以表現為限制條件、物體、維度、外部規則以及物理符號等。文字表征能夠將陳述性的描述轉變為數學命題。這一步直接決定這對數學應用題的解答。對于文字表征的理解正確與否直接影響著解題策略的選擇。背景表征對數學應用題的影響。對于數學應用題的解決。主要需要通過學生現實中的切身體驗。因為數學本身是來源于現實。同時也能夠在現實中得以應用。如果在數學教育中完全與現實中的背景材料脫離。就會徒增對數學的解題難度。同時數學學習的本身意義也就得不到體現。因此在實際的解題過程中。對于一些具有實際背景的題目。學生需要用數學的眼光對現實中存在的問題進行分析和解決。這種對于數學應用題的解決方式能夠有效地改善學生對于數學的看法。認識到數學在現實生活中的作用所在。這樣才能幫助學生充分地提高對于數學應用題的解決能力。

內部表征在數學應用題中的作用

內部表征是指學生在對于題目的理解中。思維意識中的相關概念、命題以及相關的知識與結構。這是解決數學應用題的基礎。在進行數學應用題的解答中。足夠的知識是解決問題的關鍵因素。而能夠將所學的知識進行合理的使用和組織。則是解決應用題的重要能力。這種能力甚至比擁有足夠的知識更為重要。在某些情況下。過多的知識儲存甚至會對學生的解題造成誤導。因為學生難以從眾多的知識點中找到與題目相關的知識點。因此。在實際的應用題的解決中。學生的腦海中必須建立有序的知識結構。從而為學生的解題提供一定的指導。

1.數學概念表征

數學概念表征主要指的是對于數學概念的表現方式。數學概念主要是對數學知識點通過不同的角度以及層面進行表述通過相關研究表明。學生對概念的理解。往往都比較依賴表象表征。也就是在理解的過程中。過分地依賴表象特征對概念進行記憶和理解。在認知心理學上認為。用實例表現概念。往往這些實例都具有一定的代表性。而這些表征的本質就是數學概念原型。分別包含表達原型、實例原型以及圖像原型。概念表征本身具有一定的層次性。尤其是學生在進行概念表征的時候。往往都是通過對概念意象的理解進行的。對于概念的標準意義則沒有引起足夠的重視。比如在學習橢圓概念以后。學生掌握最為牢固的就是利用橢圓標準方程或者橢圓的幾何性質解答相應的題目。但是對橢圓的定義掌握卻不到位。因為學生在學習的時候過分依賴于表象特征。如果在解題的過程中。遇到沒有橢圓圖像的題目就難以根據橢圓的定義對其進行有效的判斷。最后達到解題的目的。因為在實際的學習中。學生對表象的依賴會造成學生不能將相關的概念實現逆推。這樣就會直接影響學生解決應用題的能力。如果學生不能通過概念表征。將語言表征、形式化定義表征以及圖形表征建立有效的聯系。就難以深入理解概念。這種情況下。學生的解題思路以及方法都會受到一定的局限性。給學生數學應用題解題能力的提升帶來嚴重的阻礙。

2.命題表征

相關研究人員表明。如果在應用題中，存在的命題都是同等重要的，那么就將這一等價命題網絡稱之為命題域。心理學上認為，學生在實際的學習中，會將相關的知識點用命題代碼以及表象代碼的形式在大腦中進行儲存。在解題的時候。大腦中就會激活這些命題。并且提取所需要的知識點。命題網絡具體是指多個具有共同成分的命題互相存在一定的聯系。在進行不同知識點的學習中。有可能會存在共同的知識模塊，學生在實際學習中，如果能夠將這些知識點在腦海中構建出相應的知識點網絡。就能實現對不同知識點的深入了解。并且明確知識點之間存在的聯系。這種情況下。學生的解題方法也會隨之增加。學生就可以在其中選擇最優的解決方案。

3.概念圖表征

將表征知識進行建立一定的聯系的組織被稱之為概念圖。在實際中的應用。具體是指將相關的知識點用命題的方式放置于圓圈中。然后再將不同的知識點聯系起來。從而形成相應的知識網絡，通過這種方式，能夠將不同知識點之間的聯系形象地呈現出來。學生能夠對知識點之間的聯系一目了然。學生在實際的組織建立中。需要利用自己的空間組織能力。將概念實現有效的連接。這樣就能使知識之間存在的聯系明確地表現出來。另外。通過這種方式。還能使同一領域以及不同領域知識的內在聯系得到形象的反應。能夠有效地促使數學學習能力的提升。利用概念圖表征。學生能夠充分地對知識結構進行掌握。更進一步實現對概念的理解。將題目中所表達的內容在知識網絡中尋找相關的知識點。通過這種方式能夠提高學生的解題能力。最終實現對題目的解答。同時還能夠增加解題的思路和方法。

4.圖式表征

圖式表征在應用題的解決中。能夠加深對問題情境的理解。在深度理解的基礎上。能夠有效地促進對問題的解決。另外通過相關研究還發現。圖式表征在幫助解題者理解題目的基礎上。能對題目實現預測、記憶、遷移以及選擇。利用圖式能夠更好地實現知識的條理化。從而長時間地存儲在記憶之中。這樣能夠有效地實現知識的濃縮。并且使知識在大腦中形成一定的框架。這樣學生就能在實際的解題過程中。很快地發現問題所在。然后利用題目中的隱含條件就可以推出需要的條件以及解決方式。從而實現對應用題快速、準確的解決。在實際的學習中，學生的圖示表征結構、層次的完善程度與其在應用題解決中發揮的作用是成正比的。如果相應的知識結構圖不夠完善，那么就不能充分發揮其在解題中的作用。由此就可以看出圖式表征在應用題解答中的重要作用。就高考應用題的解決而言。本身學生腦海中的知識點就比較多。同時高考中的命題以及知識點涉及并沒有一定的界限。考查的范圍涉及學生高中全部的知識。甚至還會涉及初中部分知識點的應用。這種情況下。學生在解題過程中。對所需知識點提取的難度就進一步提高了。而圖式表征的應用。能夠將相關的知識點濃縮以后存儲起來。并且知識點之間的條理相當清晰。這樣就能幫助學生提高解題的效率以及正確率。

結束語

綜上所述。在高考數學應用題的解答中。外部表征以及內部表征在其中發揮著重要的作用。外部表征能夠幫助學生對題目實現深入的理解。通過對其深入理解就能充分地挖掘出題目中給出的條件。為題目的解決奠定基礎。而內部表征則主要是指學生需要將所學的知識點建立相關的聯系。只有明確知識點之間的聯系。才能更加深入地了解知識點在實際解題中的應用。同時明確內部表征的作用。還能深化學生對相關知識點的記憶。在明確知識點之間的關系以后。解題的思路以及方式也會增加。這樣就能夠選擇最優的方式進行解題。雖然目前高考數學應用題的解答中。對這一理論的認識還不夠明確。但是相信隨著教育系統的不斷發展。未來這一理論的作用一定能夠在數學應用題教學和解答中得到充分的發揮。