一種新的區間二型模糊集排序方法

周 林 濤， 李 洪 興

( 大連理工大學 控制科學與工程學院, 遼寧 大連 116024 )

一種新的區間二型模糊集排序方法

周 林 濤， 李 洪 興*

( 大連理工大學 控制科學與工程學院, 遼寧 大連 116024 )

區間二型模糊集排序是模糊決策領域中的一個重要內容，然而文獻中排序方法在某些情形下無法區分區間二型模糊集的排序順序．針對這一問題，給出了一種新的基于模糊集內心的排序方法，依據排序值的大小來確定區間二型模糊集的排序順序．與已有排序方法相比較，所給方法能夠有效區分區間二型模糊集的排序順序．

區間二型模糊集；模糊集內心；排序方法

0 引 言

作為一型模糊集的擴展[1]，二型模糊集的隸屬度為區間[0,1]上的一型模糊集．二型模糊集隸屬度上多出的一維使得它在表示模糊性時，具有了比一型模糊集更多的靈活性[2]．因此，有關二型模糊集的研究越來越受到人們的重視[3-4]．二型模糊集已經被大量地應用到人工智能、控制工程、優化與決策等各個領域[5-7]．

然而，計算的復雜性制約了二型模糊集在更多實際問題中的應用．為了解決這個瓶頸問題，很多研究者對涉及二型模糊集的規則約簡、表示方法等問題進行了大量的研究[3-4,8-9]．Zhou等[8]提出了一種構造簡約二型模糊系統的規則約簡方法，并給出了4條衡量二型模糊規則貢獻大小的評價指標．隨后，Zhou等[9]還給出了一個新的二型模糊有序加權平均算子，并用該算子來聚合基于二型模糊集的決策變量及偏好信息．Mendel等[3]則提出了區間二型模糊集的概念，它將二型模糊集的隸屬函數定義為區間值函數，簡化了二型模糊集的表示，從而使計算變得簡單．因此，區間二型模糊集在理論研究和計算方面具有了其他高階模糊集所不可比擬的優勢[4]．在模糊決策等應用問題中，經常會用到區間二型模糊集的排序，因而產生了大量的區間二型模糊集排序方法[10-19]，如 Chen和Lee提出了基于可能度的梯形區間二型模糊集排序方法[10]，并給出了梯形區間二型模糊集的運算規則．Hu等[14]則對Chen 和 Lee的方法進行改進，給出了基于可能度的梯形區間二型模糊集排序新方法．Wang等將期望值法解模糊化方法推廣到區間二型模糊集，給出了基于期望值的區間二型模糊集排序方法[15]．Ghorabaee等將三角模糊數重心法解模糊化方法推廣到區間二型模糊集，給出了基于模糊集重心的區間二型模糊集排序方法[17]．然而，在某些情況下，上述排序方法無法區分區間二型模糊集的排序順序．因此，對區間二型模糊集的排序方法進行研究仍然有必要．

本文首先重新定義梯形區間二型模糊集的運算規則，克服Chen和Lee所給定義[10]中存在的不足．然后，給出一種基于模糊集內心的梯形區間二型模糊集排序方法．最后，將本文方法同文獻中方法進行比較，以驗證本文方法的實用性．

1 基本概念

Mendel等[3]最先給出區間二型模糊集的概念，隨后Chen和 Lee在應用中給出了區間二型模糊集的運算定義[10]．

其中Jx?[0,1]．

其中Jx?[0,1]．

(1)

圖1 梯形區間二型模糊集

在區間二型模糊集的排序方法中,常利用表示上隸屬函數和下隸屬函數的一型模糊集來確定其排序順序．如在文獻[10]中,Chen 和 Lee將基于可能度的一型模糊集排序方法推廣到區間二型模糊集, 給出了基于可能度的區間二型模糊集排序方法，依據區間二型模糊集的排序值大小來確定排序順序．

其中

2 區間二型模糊集的運算

Chen和Lee給出了區間二型模糊集的運算規則，然而該運算規則忽略了區間頂點隸屬度的作用，并且隸屬函數的定義域取值必須為正值．結合直覺模糊集定義[20-22]，本文重新定義梯形區間二型模糊集的運算，以改進原有定義中存在的不足．

其中k∈R+．

顯然，相比Chen 和 Lee在文獻[10]中所給的運算規則，本文在定義梯形區間二型模糊集的運算時，考慮了隸屬值Hi(AT)，i∈{1,2}，T∈{U,L}對運算的影響，并且克服了隸屬函數在定義域內取值必須非負的不足．

3 基于模糊集內心的排序方法

三角形內心具有唯一性，且到三角形三邊距離相等，基于此特性，Rouhparvar[23]給出了基于三角模糊數內心的解模糊化方法，并驗證了用解模糊化值來確定模糊集排序順序的合理性和有效性．結合三角模糊數內心法解模糊化方法，本文給出基于模糊集內心的梯形區間二型模糊集排序方法．

(2)

(3)

(4)

圖2 三角模糊集

圖3 梯形模糊集

(5)

實驗組機械通氣時間(7.47±3.34)天和呼吸機相關性肺炎發生率(4.00%)均顯著低于對照組(12.31±4.47)天和(22.00%),P<0.01,差異具有統計學意義。結果見表1。

(6)

(7)

在排序區間二型模糊集時，依據排序值的大小來確定其排序順序．當排序值相等時，認為兩個區間二型模糊集等價．

4 數值分析

Bortolan和Degani在文獻[24]中給出了13個具有代表性的模糊集，這13個模糊集常用來檢驗各種排序方法的效果，如表1所示．

表1 13個模糊集

按照文獻和本文所給的排序方法計算表1中的13個模糊集，所得計算結果如表2所示．

表2 不同方法的排序結果

4.1 計算結果比較

(1)根據表2中Set1的比較結果可知，文獻[10,17-18]和本文方法的排序結果一致；

(2)根據表2中Set2～Set6、Set8、Set9和Set11的比較結果可以看出，文獻[10,13-14,16-18]和本文方法的排序結果一致；

(3)根據表2中Set7的比較結果可以看出，只有本文和文獻[16]中的方法能區分兩個模糊集的排序順序；

(4)根據表2中Set10的比較結果可知，文獻[10,13,16-18]和本文方法的排序結果一致；

(5)根據表2中Set12的比較結果可知，文獻[10,14,16]和本文方法的排序結果一致，文獻[13,17-18]不能區分兩個模糊集的大小；

(6)根據表2中Set13的比較結果可知，文獻[13,17-18]和本文方法的排序結果一致．

4.2 排序方法比較

將本文方法與文獻[10-18]中的排序方法相比較可以發現：

(1)除了文獻[15]以外，只有本文方法在運算中考慮了模糊集的區間頂點隸屬度，從而保留了更多的計算信息．

(2)本文方法不僅能夠區分模糊集的大小，而且比大多數排序方法要簡便．

在算法的復雜性對比中，常以空間復雜度和時間復雜度來衡量一種計算方法的優劣．假設以時間復雜度作為衡量標準，要確定一組n個模糊集的排序順序，用計算中出現乘法運算的次數來表示算法復雜度，對比幾種排序方法的算法復雜度：

①在文獻[10]中，計算一個模糊集的排序值需要進行2(n-1)次乘法運算，共有n個模糊集，確定全部排序時運行乘法的次數T′n=2n(n-1)+4n+1，因此時間復雜度為O(n2)；

②在文獻[14]中，確定一個模糊集的排序值需要計算n次乘法，排序n個模糊集需要運行的乘法次數T″n=n2，因此時間復雜度為O(n2)；

③在文獻[17]中，計算n個模糊集的排序值共需要進行的乘法次數T?n=12n2，因此時間復雜度也為O(n2)；

④在文獻[18]中，采用概率分布函數法計算模糊集的排序值，需要進行積分運算；

⑤在文獻[13,16]和本文方法中，計算一個區間二型模糊集的符號距離、自適應二維優勢度以及內心時，需要進行K次乘法運算(K為常數)，共有n個模糊集排序，共需要進行Kn次乘法運算，因此時間復雜度均為O(n)．

可見本文方法的時間復雜度要比大多數排序方法的時間復雜度低，計算更簡便．

(3)在某些情形下，其他一些排序方法失效，不能區分兩個模糊集的排序順序，而本文方法卻仍然能夠區分，如Set7和Set12的排序．

5 結 語

本文定義了梯形區間二型模糊集的運算，并基于模糊集內心給出了一種新的梯形區間二型模糊集排序方法．文中在定義梯形區間二型模糊集運算規則時，考慮了區間頂點隸屬度對計算的影響，保留了更多的模糊性，減少了因計算而造成的信息丟失．結合三角模糊數內心法解模糊化方法，給出了基于模糊集內心的梯形區間二型模糊集排序方法．以經典的13個模糊集為例，將本文方法與其他排序方法做對比分析，結果表明，文中所給的區間二型模糊集排序方法較大多數排序方法簡便、有效，而且能區分其他排序方法不能區分的區間二型模糊集．對區間二型模糊集排序方法進行研究，促進了其在實際問題中的應用，一個準確、有效的排序方法在實際應用中是必要的．

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A new ranking method of interval type-2 fuzzy sets

ZHOU Lintao, LI Hongxing*

( School of Control Science and Engineering, Dalian University of Technology, Dalian 116024, China )

The ranking for interval type-2 fuzzy sets is one of the most critical issues in the fuzzy decision-making domain. The existing methods, however,cannot distinguish the ranking order of interval type-2 fuzzy sets in some cases.To solve this problem, a new ranking method of interval type-2 fuzzy sets is proposed based on incentre point of fuzzy sets; and then, a ranking order is defined according to the ranking value. Compared with the existing methods, the proposed method can effectively distinguish the ranking order of interval type-2 fuzzy sets.

interval type-2 fuzzy sets; incentre point of fuzzy sets; ranking method

2016-08-30；

2017-01-10．

國家自然科學基金資助項目(61374118).

周林濤(1981-)，男，博士生，E-mail:zltao@foxmail.com；李洪興*(1953-)，男，教授，E-mail:lihx@dlut.edu.cn.

1000-8608(2017)02-0195-07

O159

A

10.7511/dllgxb201702013