高中數學定積分的應用

王榮佺

摘要：導數與定積分是普通高中數學的重要內容，其概念抽象、公式靈活、性質多樣、應用廣泛，尤其是定積分的微分積分思想將定積分體現得淋漓盡致，教學中利用關于它的微積分基本定理（牛頓—萊布尼茨公式）計算證明曲邊圖形面積等問題，可以說是巧妙至極.

關鍵詞：數學 ；定積分；應用 ；面積；參數

一、利用定積分，求解曲邊圖形面積

初等數學幾何學中，我們求解平面圖形的面積，通常是一些比較規則的圖形，諸如三角形、正方形、矩形、梯形、平行四邊形、圓等等，都有現成的公式，即使圖形不太規則，有可能通過分割補形轉化為規則的圖形，但是遇到不規則圖形，尤其是曲邊圖形的面積深感困惑.實際上，只要知道曲邊所在曲線的函數關系式y=f（x），我們可以通過定積分來求曲邊圖形的面積.

例1如圖，拋物線y=-x2+4x-3及其在點A（1，0）和點B（3，0）處的切線所圍成圖形的面積為.

二、利用定積分，求解參數的值

在求解平面曲邊圖形面積時，本身曲邊圖形面積就不好計算，有時還會參雜一些參數，讓求參數的值或參數取值范圍，這樣的問題更是讓人棘手.實際上，只要知道曲邊所在曲線的函數關系式y=f（x），我們可以通過定積分來尋找參數滿足的條件方程（或不等式），這樣參數問題便迎刃而解.

例2如圖所示，直線y=kx分拋物線y=x-x2與x軸所圍圖形為面積相等的兩部分，求k的值.

解 拋物線y=x-x2與x軸兩交點的橫坐標為x1=0，x2=1，所以，拋物線與x軸所圍圖形的面積

三、利用定積分，證明圓的面積

從小學上到高中，同學們就一直利用圓的面積公式S=πR2，但是為什么是這樣，它是怎么來的，也許有人思考過，也問過老師，也許有人壓根兒就從沒想過.其實，學了定積分，知道函數y=f（x）的導數y′x=f ′（x）=dydx，我們就有能力來證明這個公式了.

例3設圓x2+y2=R2，求證：其面積S=πR2.

證明由圓的對稱性知，圓在四個象限內面積相等，其面積是第一象限扇形（曲邊梯形）面積的4倍，而在第一象限內曲線的函數關系是y=R2-x2（0≤x≤R）.

所以S=4∫R0R2-x2dx.

四、利用定積分，證明橢圓面積

和圓一樣，橢圓也是一個既是中心對稱又是軸對稱的圖形，但是提及它的面積，有的同學知道，就是S=πab （其中a，b分別是橢圓的長半軸長和短半軸長），而有的同學不知道，其實學了定積分，知道函數y=f（x）的導數yx=f ′（x）=dydx ，我們也有能力來證明這個公式了.

例4設橢圓x2a2+y2b2=1， 求證：其面積S=πab

證明由橢圓的對稱性知，橢圓在四個象限內面積相等，其面積是第一象限扇形（曲邊梯形）

總之，初等數學中定積分的應用相當廣泛，這里所提及的計算證明曲邊圖形面積等問題，只是定積分應用的一個縮影.

在平時的教學工作中，作為一線教師，如果我們能及時探索研究出一些有用的規律，或者有參考價值的結論，無疑對學生學習數學能力的增強和教育教學質量的提高，勢必起到了“正能量”奇效，我們何樂而不為呢？科學在進步，社會在發展，要求在提高，我們還有什么理由僅僅滿足于當前教學不去挖掘發現它們呢？