例談衛(wèi)星的變軌問題

摘要：本文從中學物理的角度，通過實例解析人造衛(wèi)星發(fā)射過程中的變軌運動，并給出變軌過程小結.

關鍵詞：人造衛(wèi)星；軌道變化；運動

作者簡介：許文，1988年畢業(yè)于華中師范大學物理系，從事中學物理教學與物理競賽輔導工作近28年，擅長于高中物理教學與研究，主研2個省級教科研課題，發(fā)表260余篇教學論文及20個多媒體教學課件，參加過湖北省試驗教材的開發(fā)與編寫，為省級中學物理骨干教師舉行師資培訓工作，榮獲全國教改優(yōu)秀教師稱號.

我國的天宮二號空間實驗室與神舟十一號載人飛船分別于2016年9月15日22時4分、10月17日7時30分發(fā)射升空.天宮二號入軌后先在離地面393km的圓軌道上運行，于10月19日凌晨與神舟十一號飛船在離地380km的圓軌道上順利實現(xiàn)交會對接，兩名航天員進駐天宮二號進行一系列的科學實驗.飛船與天宮交會對接相關的一些物理問題將成為高考關注的熱點.本文通過實例從中學物理的角度解析衛(wèi)星變軌與軌道調整中的相關物理問題.

一、衛(wèi)星的圓周運動

如圖1所示，設地球的質量為M、半徑為R、表面的重力加速度為g、距地心O點r（r≥R）處繞地球圓周運動的人造衛(wèi)星質量為m、線速度大小為v、角速度大小為ω、周期為T.有G MmR2= mg；G Mmr2=mv2r=mω2r = m2πT2r，可得

v=GMr∝1r；ω=GMr3∝1r3；

T=4πr3GM∝r3.

二、衛(wèi)星的變軌問題

衛(wèi)星速度改變時，衛(wèi)星將變軌運行.當衛(wèi)星的速度突然增大時，衛(wèi)星將會做離心運動，其周期變長，機械能增加，最終穩(wěn)定在高軌道上圓周運動時的速度比在低軌道上小；當衛(wèi)星速度減小時，衛(wèi)星將做向心運動，其周期變短，機械能減少，最終穩(wěn)定在低軌道上時的速度比在高軌道上大.

1同一運動平面內的變軌

例12016年9月15日，我國“天宮二號”空間實驗室飛船發(fā)射升空，由長征運載火箭將飛船送入近地點為A、遠地點為B的橢圓軌道上，B點距離地面高度為h，地球的中心位于橢圓的一個焦點上.“天宮二號”飛行幾周后進行變軌，進入預定圓軌道，如圖2所示.已知“天宮二號”在預定圓軌道上飛行n圈所用時間為t，萬有引力常量為G，地球半徑為R.則下列說法正確的是

A“天宮二號”在橢圓軌道B點的向心加速度大于在預定圓軌道B點的向心加速度

B“天宮二號”從A點開始沿橢圓軌道向B點運行的過程中，其機械能守恒

C“天宮二號”從A點開始沿橢圓軌道向B點運行的過程中，動能先減小后增大

D由題中給出的信息可以計算出地球的質量為M=4π2n2（R+h）3Gt2

解析在B點，由GMmr2=ma知，無論在哪個軌道上的B點，其向心加速度相同；“天宮二號”在橢圓軌道上運行時其機械能守恒；“天宮二號”從A點開始沿橢圓軌道向B點運行的過程中，動能一直減小；對“天宮二號”在預定圓軌道上運行，有GMm（R+h）2=m（R+h）4π2T2，而T=tn，故M=4π2n2（R+h）3Gt2.

答案BD

小結航天器在同一運動平面內變軌問題主要表現(xiàn)在對軌道高度進行調整，要注意幾點：

（1）航天器變軌時軌道半徑的變化，根據(jù)萬有引力和所需向心力的大小關系判斷；穩(wěn)定在新軌道上的運行速度變化由v=GMr判斷；

（2）航天器在變軌運行時，若速度突然增大（發(fā)動機短時間內對其做正功）會做離心運動，軌道半徑增大，萬有引力做負功，其動能減小，但機械能變大；若速度突然減小（發(fā)動機短時間內對其做負功）會做向心運動，軌道半徑減小，萬有引力做正功，其動能增大，但機械能減小；在變軌過程中關閉發(fā)動機運行時其機械能守恒；

（3）航天器經(jīng)過不同軌道相切的同一點時其加速度相等，但外軌道的速度大于內軌道的速度.

例2我國的國土范圍在東西方向上大致分布在東經(jīng)70°到東經(jīng)135°，所以我國發(fā)射的通信衛(wèi)星一般定點在赤道上空36萬公里，東經(jīng)100°附近.假設某顆通信衛(wèi)星計劃定點在赤道上空東經(jīng)104°的位置，經(jīng)測量衛(wèi)星剛進入軌道時位于赤道上空36萬公里，東經(jīng)103°處，為了把它調整到東經(jīng)104°處，可以短時間啟動衛(wèi)星上的小型噴氣發(fā)動機調整衛(wèi)星的高度，改變其周期，使其“漂移”到預定經(jīng)度后，再短時間啟動發(fā)動機調整衛(wèi)星的高度，實現(xiàn)定點.關于兩次調整高度的方向依次是

A向下、向上B向上、向下

C向上、向上D向下、向下

解析同步衛(wèi)星運行在地球赤道上空一定高度處，且衛(wèi)星的運行方向應與地球的自轉方向相同，即由西向東轉，故應向東調整.但調整衛(wèi)星高度和速度與調整前相比應不變.我們從北極點上空俯視地球（如圖3所示），在同步軌道東經(jīng)103°處應先將衛(wèi)星向下調低軌道，使其角速度變大，讓衛(wèi)星相對地球向東運動，再向上調高軌道，使其角速度減小，最終可使衛(wèi)星到達地球同步軌道東經(jīng)104°處相對地球靜止.

答案A

點評本題以同步衛(wèi)星為背景，考查萬有引力定律在人造衛(wèi)星上的應用，定性分析人造衛(wèi)星運行的線速度、角速度、周期的變化問題.問題的求解要具有一定的空間想象能力，能夠轉換角度從“北極點”上空俯視地球，合理構建地球與衛(wèi)星運動情景的示意圖.

2不同運動平面內的變軌

例3（2015全國卷Ⅱ）由于衛(wèi)星的發(fā)射場不在赤道上，同步衛(wèi)星發(fā)射后需要從轉移軌道經(jīng)過調整再進入地球同步軌道.當衛(wèi)星在轉移軌道上飛經(jīng)赤道上空時，發(fā)動機點火，給衛(wèi)星一附加速度，使衛(wèi)星沿同步軌道運行.已知同步衛(wèi)星的環(huán)繞速度約為31×103 m/s，某次發(fā)射衛(wèi)星飛經(jīng)赤道上空時的速度為155×103 m/s，此時衛(wèi)星的高度與同步軌道的高度相同，轉移軌道和同步軌道的夾角為30°，如圖4所示，發(fā)動機給衛(wèi)星的附加速度的方向和大小約為

A西偏北方向，19×103 m/sB東偏南方向，19×103 m/s

C西偏北方向，27×103 m/sD東偏南方向，27×103 m/s

解析試題給出的一平面示意圖，在理解題意后，我們可以畫出如圖5所示的立體示意圖，這有利于從全方位把握對問題的分析.衛(wèi)星在轉移軌道與同步軌道相同高度處（即兩軌道的交點處），轉移軌道上的速度大小為v1=31×103 m/s，同步軌道上的速度大小為v2 =155×103 m/s.啟動衛(wèi)星上發(fā)動機使衛(wèi)星獲得一個附加速度Δv后，衛(wèi)星的速度應由v1調整到v2 .如圖5所示，v1、v2、Δv應組成一個矢量三角形.由余弦定理Δv=v21+v22-2v1v2cos30°=19×103m/s，方向為東偏南方向.

答案B

感悟衛(wèi)星在不同運動平面內的變軌問題，除了考慮衛(wèi)星運行的線速度、角速度、周期隨軌道半徑的變化外，還要考慮在變軌瞬時速度的合成與分解.問題的求解需要考生有一定的理解與分析能力，具有一定的空間想象力，合理地將衛(wèi)星運動的平面視圖轉化為立體視圖，靈活地運用所學的知識解決問題.

練習

1如圖6所示，“神舟十一號”與“天宮二號”在交會對接前“神舟十一號”飛船先在較低圓軌道1上運動，在適當位置經(jīng)變軌與在圓軌道2上運動的“天宮二號”對接.M、Q兩點在軌道1上，P點在軌道2上，三點連線過地球球心，把飛船的加速過程簡化為只做一次短時加速.下列關于“神舟十一號”變軌過程的描述，正確的有

A“神舟十一號”在M點加速，可以在P點與“天宮二號”相遇

B“神舟十一號”在M點經(jīng)一次加速，即可變軌到軌道2

C“神舟十一號”經(jīng)變軌后速度大于變軌前的速度

D“神舟十一號”變軌后的運行周期大于變軌前的運行周期

2某人造地球衛(wèi)星在半徑為r的軌道1上做圓周運動，動能為Ek，變軌到軌道2上后，動能比在軌道1上減小了ΔE，在軌道2上也做圓周運動，則軌道2的半徑為