勻質地下管線沉降的傅里葉級數解

楊成永，程　霖, 余　樂，韓薛果

(1.北京交通大學 土木建筑工程學院，北京　100044； 2.北京城市快軌建設管理有限公司，北京　100027)

隧道開挖將引起土層及土層中鄰近地下管線的沉降。管線沉降變形的理論分析一般采用彈性地基梁方法，并且根據變形的大小，可以分為小變形和大變形力學方法。

小變形力學方法的研究成果較多，主要有：Attewell等(1986)[1]假定地層沉降符合Peck曲線，采用彈性地基梁法分析管線與隧道平行和垂直時管線的響應；Vorster(2005) 等[2]采用彈性地基梁法推導了隧道開挖對鄰近勻質管線的最大附加彎矩計算公式；Klar(2005) 等[3]比較了Winkler地基與彈性連續體地基的不同，根據更精細的彈性連續體地基的解答，提出了修正的Winkler地基模量；王霆等(2006)[4]從地下管線的失效模式、管土相互作用、簡化算法、離心模型試驗及數值模擬等方面，綜述了隧道施工對地下管線影響的研究成果；駱建軍等(2006)[5]就北京地鐵黃莊站施工對地下管線的影響進行了數值計算、現場監測和安全性評價；Klar等(2007)[6]采用邊界積分方法研究了土層中管線的沉降變形，探討了管線周圍局部土層屈服的影響；吳為義等(2008)[7]采用彈性地基梁理論及FLAC3D軟件計算了盾構下穿時電力管溝的沉降變形及內力；孫宇坤等(2009)[8]對盾構隧道下穿煤氣管線進行了沉降監測，分析了管線的沉降變形規律；張坤勇等(2010)[9]對彈性地基無限長梁的控制微分方程進行了解析求解，假定土層的位移函數及管線位移的特解均可用多項式表達，然后根據邊界條件及不同區段間的連續性條件確定積分系數；姜玲等(2010)[10]對彈性地基無限長梁的控制微分方程進行了初參數法解析求解，土層的位移函數采用Peck公式。

大變形力學方法方面，楊成永等(2014)[11]建立了考慮管線軸力的控制微分方程，假定管線的軸向伸長在沉降槽范圍內為一常量，給出了管線與隧道垂直情況下管線大變形的近似解。

上述既有研究成果表明，將管線視為承受土層位移荷載的彈性地基梁，對其在小變形力學方法方面的研究已較充分；但大變形力學方法方面的研究還有待深入：一方面既有近似解的計算精度有待探究；另一方面，近似解只能適用于管線只承受土層荷載且土層及管線的沉降曲線均為Peck曲線的情況，適用范圍相當有限。因此需要探討管土共同作用下管線大變形問題求解的新方法。

無限長勻質地下管線(以下簡稱為管線)屬于一維桿件。對于一維桿件沉降的微分方程，均可用傅里葉級數進行求解[12-13]，并且傅里葉級數解的精度高，可以視為微分方程的精確解，而且可以用于判斷打靶法或其他近似方法計算結果的精度。

本文針對地鐵盾構隧道開挖引起鄰近管線沉降較大的情況，列出管線大變形的控制微分方程，推導土層沉降及管線沉降的傅里葉級數系數計算公式，給出沉降和內力的計算公式；基于文獻[11]中的數據，采用推導的變形和內力計算公式計算管線沉降隨土層沉降的級數解，并與近似解的求解結果進行對比，驗證級數解的正確性。

1　管線大變形的控制微分方程

管線微元的受力如圖1所示。圖中：w為管線沉降，m，向上為正；x和y為管線坐標，m；坐標原點位于沉降槽中心；N為管線軸力，N；注意這里直接將N表示其物理分量，而文獻[11]中該處為g1N；g1為管線的一維度規(管線變形后長度與變形前長度的比)；Q為管線剪力，N；M為管線彎矩，N·m。根據圖1可得管線大變形的控制微分方程為[11]

(1)

式中：E為管線彈性模量，Pa；I為管線截面的慣性矩，m4；q為管線右端單位荷載，N·m，向上為正。

圖1　管線微元受力示意圖

考慮管線為無限長管線，微分方程(1)的邊界條件可視為兩端固支，并且由于對稱，中點的轉角也為0，有

(2)

式(1)和式(2)組成所求解的邊值問題，而邊值問題中的參數可分別按照如下公式計算得到。

(1)管線右端荷載q按Winkler地基反力計算。

考慮管線沉降是由土層沉降所引起的，地基反力的計算公式為

q=kD(S-w)

(3)

式中：k為地基系數，Pa·m-1；D為管線外徑，m；S為土層沉降，m。

土層及管線的沉降變形如圖2所示。圖中：S0和w0為x=0處土層及管線的最大沉降，m；i和j分別為土層及管線的沉降槽寬度，即沉降曲線反彎點距x=0處的水平距離，m。

圖2　土層及管線的沉降示意圖

參照圖2，式(3)中土層沉降S可用Peck曲線表示為

(4)

(2)在式(1)中除管線沉降w外，g1和N也是待求的量。

為了降低式(1)的非線性程度，假設沉降槽附近范圍內管線的軸向變形和軸力是均勻的，并且管線沉降后的長度按Peck曲線進行計算，即假定用于管線長度計算的沉降曲線為

(5)

因此有[11]

(6)

(7)

式中：A為管線的截面積，m2；L為計算范圍的半寬，m。

(3)由梁的彎矩與曲率間的關系可計算管線彎矩M，再根據管線剪力Q與管線彎矩M間的關系可計算管線剪力，分別如下

(8)

(9)

2　基于傅里葉級數的計算公式

為了對式(1)采用傅里葉級數求解，需要把式(1)和式(3)中的S及w均展開成三角級數。由于土層沉降及管線截面和約束關于沉降槽中心對稱，管線沉降勢必也是對稱的，因此可把土層沉降S在[-L, +L]上展成余弦級數，即

(10)

其中，

(11)

(12)

式中：S(x)為土層沉降，m；b0和bn為傅里葉級數的系數；n為自然數。

為使計算范圍足夠大，L一般取3i以上。利用式(4)、式(11)和式(12)有[14]

(13)

(14)

把管線沉降w在[-L, +L]上同樣展成余弦級數，即

(15)

式中：w(x)為管線沉降，m；a0和an為待求的傅里葉級數的系數。

根據式(15)，管線沉降的各階導數為

(16)

(17)

(18)

(19)

把式(13)和式(14)代入式(10)，然后把式(10)和式(15)代入式(3)，最后再將式(3)、式(17)和式(19)帶入式(1)，比較常數項及三角函數的系數，得到式(15)的系數為

a0=b0

(20)

(21)

需要說明的是：式(15)在計算區間的端點和中點時已經滿足式(2)所示的邊界條件；而且式(15)有各階導數，可以通過增大n的值達到任意精度。式(15)與式(5)的區別是：式(15)是本文的求解目標，它不一定是Peck曲線；式(5)僅是在近似計算軸力及度規時需要用到；式(15)中的系數a0和an是通過級數的方法確定的，而式(5)中的參數w0和j目前只能采用近似方法確定；在已知a0和an后，可以計算w0和j，但反過來則不行。

比較式(5)和式(15)，有

(22)

至于式(5)中的j，可以通過式(17)計算管線沉降曲線的曲率，其正負變號之處對應的x的值即為j。用公式表示時，j為如下方程的根：

(23)

圖3　管線沉降和內力的計算框圖

至此，若土層沉降參數S0及i，地基系數k，以及管線參數A，E，I，D均已知，則可計算得到管線的沉降和內力，計算框圖如圖3所示。

3　實例計算

采用文獻[11]的工點數據：土層最大沉降S0分別取0.05，0.90，1.80 m；土層沉降槽寬度i=1.8 m，地基系數k=8×107Pa·m-1，管線外徑D=426 mm，管線截面慣性矩I=1.746×108mm4，管線彈性模量E=2×1011Pa。

采用C語言編程實現本文的計算方法，對于該實例計算得到的級數解列于表1。為對比分析，將文獻[11]計算的近似解也列于表1中。不同土層最大沉降時土層和管線沉降的級數解曲線如圖4所示 。

表1　計算結果

圖4　不同土層最大沉降時土層和管線的沉降曲線

從表1及圖4可以得出如下結論。

(1)管線沉降曲線與正態曲線十分接近。也就是說，在土層沉降曲線為Peck曲線的情況下，管線沉降曲線的形式也是Peck曲線。

(2)文獻[11]所得的近似解與本文級數解的計算結果比較接近。近似解的計算精度能夠接近級數解的原因在于：“管線沉降符合Peck曲線”的假定與實際吻合；近似解選擇了2個合適的位置(x=0及x=j)計算管線沉降槽的參數。

從求解過程來看，級數解比文獻[11]的近似解有如下優越性。

(1)級數解不需要事先假定管線沉降曲線的形式。

(2)級數解除土層位移荷載外，還可以處理其他的荷載形式。對近似解來說，在管線上增加土層位移荷載以外的其他荷載，將使管線變形后不再為Peck曲線，難于求解。

(3)級數解隨所取級數項數的增加，求解精度穩定提高。近似解求解結果的精度與選取的計算點位置有關，位置不同，結果的精度亦不同。

4　結　語

本文采用傅里葉級數求解管線的非線性沉降問題，得到了滿意的結果。級數解本身可以通過增加級數項數達到任意精度。但本文“在沉降槽附近范圍內管線均勻伸縮”的假定仍會帶來計算結果的近似性，當然這一假設與級數方法本身無關。在土層對管線握裹力不大的情況下，或者管線外表面比較光滑時，這種假設所所產生的影響更小。

級數解可以處理較為復雜的荷載形式，如管線上作用有集中荷載，或者土層抗力只作用在管線的部分區段上等。當然，在處理這些復雜荷載時，傅里葉級數的系數一般不能直接得到顯式表達，需要求解線性方程組。

關于小變形情況下地埋管線沉降的傅里葉級數解，因為其只是大變形公式在軸力和伸長均等于零時的特殊情況，所以本文未進行討論。

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