巧用向量的加法證明點線問題

唐禎蔚+冷震北

摘 要：向量是解析幾何的基本概念之一，向量的加法包括了平行四邊形法則和三角形法則。本文首先描述了向量的起源，其次利用向量加法的兩個法則，直觀的引入了平行四邊形和三角形，借助幾何圖形來解決點線的問題。通過具體例子說明，向量加法解題的優勢。

關鍵詞：向量；加法；共線；內積

G633.6

縱觀數學的發展史，矛盾推動數的發展。在公元前580年，古希臘數學中有名的學派：畢達哥拉斯學派 提出了：“萬物皆數”的信條。并且畢達哥拉斯把這一信條作為該學派的理論基礎。但是，在公元前500年，畢達哥拉斯的弟子希帕蘇斯發現了一個驚人的事實，一個正方形的邊與對角線的長度是不可公度量的。這一發現就與畢達哥拉斯學派“萬物皆數”的哲理大相徑庭。正方形的邊與對角線是不可公度量的本質是什么？在當時的數學歷史上，數學家們眾說紛紜。人們對無理數的認識在數學歷史上，具有重要的意義，它在希臘的數學史上引起一場大風暴，數學史稱之為“第一次數學危機”。直到19世紀下半葉，實數理論的建立，無理數的本質才徹底的弄清楚，從而圓滿解決了第一次數學危機。第一次數學危機的結束推動了無理數的出現。

在數學史中，復數的出現起源于解方程。16世紀的意大利數學家卡當在《重要的藝術》一書中公布了三次方程的一般解法即卡當公式，他是第一個把負數的平方根寫到公式中的數學家。由于復數能用來表示和研究平面上的向量，而向量在物理學中非常重要，如力、位移、速度、加速度等。而人們很早就已經知道向量的合成服從平行四邊形法則。數學家們很快發現兩個復數相加的結果正好對應于用平行四邊形法則相加的向量的和。

兩個向量的加法法則有兩種：平行四邊形法則、三角形法則 。其中，平行四邊形法則指的是將兩個向量的起點通過平移的方式移至同一個起點，再以兩個向量為鄰邊作出平行四邊形，而平行四邊形中與兩向量同一起點的對角線向量就是兩個向量的和向量。

兩向量和的三角形法則指的是將兩個向量依次地首尾順次相接，兩個向量的和向量為以第一個向量的起點為起點、以第二個向量的終點為終點的向量。

不論是平行四邊形法則還是三角形法則，通過向量的加法解決平行四邊形和三角形的點線問題是解析幾何中比較便捷的方法。并且，向量作為解析幾何中最基本的元素，是設法把幾何的結構有系統的代數化、數量的化的基礎。下面我們可以通過幾個具體的例子來說明向量加法的幾何應用。

一、向量加法解決三點共線的問題

三點共線問題是解析幾何中的常見證明題，也是近幾年來中學數學考試常見的題目，用向量加法來證明三點共線是幾何里最常用的方法 。

二、向量加法證明平行四邊形

在平面幾何里，平行四邊形是基本的四邊形。中學的平面幾何里證明四邊形是平行四邊形的方法很多。其中有一條判定定理是對角線互相平分的四邊形是平行四邊形。如何證明這條判定定理，在幾何中有很多種方法。特別是在呂林根主編的《解析幾何》一書中，指出可以用向量的方法來證明。在書中，利用向量加法的交換律，借助對角線平分的性質，最后證明了這一個判斷平行四邊形的判定定理。然而，在此我們可以重新給出另外一種證明的方法，例如以下的例2。

在這個例題中，巧妙的運用了向量加法的平行四邊形法則。因為在向量加法成立的前提下，就已經保證了所構造的四邊形就是平行四邊形了，這就是向量加法的巧妙之處。

參考文獻：

[1]呂林根，徐子道.解析幾何（第四版）[M].北京：高等教育出版社，2008.

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