偏心輪推桿行星傳動的參數優化及其軟件設計

張 淳， 范浪層

(陜西科技大學 機電工程學院， 陜西 西安 710021)

偏心輪推桿行星傳動的參數優化及其軟件設計

張 淳， 范浪層

(陜西科技大學 機電工程學院， 陜西 西安 710021)

內齒圈是偏心輪推桿行星傳動機構的關鍵部件.為了降低機構的質量，并提高其傳動性能，需對其機構的系統特征參數進行優化.本文將內齒圈體積的最小值作為目標函數，以頂切限制、強度限制、最佳受力條件等作為約束條件建立數學模型，并使用C#編程語言，采用外點懲罰函數法設計出了一款專門用于其參數優化計算的軟件.最后通過軟件進行了實例計算.從計算的結果可以看出偏心距e，內、外滾柱半徑R1、推桿長度L尺寸都有所減小，且內齒圈的體積有很大程度的降低，從113 298.4 mm3降為36 682.52 mm3.因此，該優化方法達到了優化的目的，且使該傳動機構的結構更加緊湊了.

偏心輪推桿行星傳動； 參數優化； C#程序設計

0 引言

偏心輪推桿行星傳動是一種新型的活齒傳動，活齒傳動最初的結構方案早在20世紀30年代就己經提出[1].此后，國內外先后進行研制并改進成多種形式的活齒傳動機構.其中，國內比較典型的有套筒活齒少齒差傳動裝置[2]、“滾珠活齒傳動”[3]、擺動活齒減速機[4]、凸輪活齒行星傳動裝置[5]；在國外，由前蘇聯推出了“正弦滾道滾珠傳動”[6]，且生產的正弦滾珠減速器成功用于石油鉆探中，美國提出了“無齒齒輪傳動”[7].

偏心輪推桿行星傳動是由陶棟材教授提出的一種新型推桿活齒傳動[6]，具有較大范圍的傳動比、體積小、質量輕、效率高、過載能力大、運轉平穩和結構緊湊等特點[8-10]，可廣泛應用于農業、輕工業、紡織業、化工業、礦山等輕重型機械設備中.偏心輪推桿行星傳動的結構尺寸對其傳動性能有很大影響，但依靠傳統的經驗計算方法很難使其性能達到理想的狀態.

曲繼方[11]對活齒傳動理論進行了深入的研究，提出了推桿活齒傳動結構尺寸的經驗計算公式；陽林等[12]以最大重合度為優化目標得出了多組偏心輪和偏心距(R1，e)參數對，再以最小壓力角為優化目標得出了最佳的(R1，e)參數對，以此實現了對推桿活齒減速機的部分參數的優化；段海燕[13]則使用平均嚙合效率的最大值為目標函數對偏心輪推桿行星傳動的參數進行優化，但因偏心輪推桿行星傳動的結構和傳動形式的限制，其效率僅提高了2%.

因此，為進一步提高產品設計的質量和發揮其潛在性能，本文將以內齒圈體積最小為目標函數，建立偏心輪推桿行星傳動參數優化的數學模型，并設計一款專門用于其參數優化的軟件.

1 確定系統特征參數的計算方法

1.1 系統特征參數的提取

偏心輪推桿行星傳動的結構主要由5個部分組成，分別是：偏心輪、傳動圈、內齒圈、推桿及活齒滾柱.其基本結構如圖1所示，其傳動原理詳見文獻[8].

圖1 偏心輪推桿行星傳動的基本結構簡圖

由偏心輪推桿行星傳動的基本結構簡圖可以看出，齒形較為復雜的內齒圈是偏心輪推桿行星傳動的關鍵部件，其齒廓曲線也決定了傳動性能的好壞，內齒圈理論齒廓曲線的極坐標方程為[6]：

(1)

式(1)中：x1,y1—分別為偏心點到外滾柱圓心的距離在x軸和y軸上的投影，L—推桿長度，e—偏心輪的偏心距，Z—內齒圈齒數，α—推桿沿逆時針方向轉動的角度，R—偏心輪半徑，R1—內、外滾柱半徑，各參數的直觀表達參照圖2.

圖2 偏心輪推桿行星傳動的齒廓方程圖

內齒圈實際齒廓曲線為距理論齒廓曲線R1的徑向等距曲線，其曲線方程表達式為[14]：

(2)

從內齒圈的齒廓曲線方程可知，可將偏心輪半徑R，偏心輪的偏心距e，內、外滾柱半徑R1，推桿長度L和內齒圈齒數Z這5個參數作為系統特征參數.

1.2 確定系統特征參數的計算方法

確定偏心輪推桿行星傳動特征參數的方法是根據偏心輪推桿行星傳動的輸入功率P、輸入軸轉速n和傳動比i，由相關公式算出R、e、R1、L和Z這5個特征參數的值，具體計算方法如下：

(1)求傳遞力矩

Tv=(9.545×103/n)P·i·η·%

(3)

式(3)中：η—傳動效率，%.

(2)確定偏心輪半徑R

(4)

式(4)中：K1—傳動比系數，一般取K1=9～11，傳動比大取小值.

(3)確定滾柱半徑R1

(5)

式(5)中：K2—重合度系數，一般取K2=0.6～0.7，重合度大取小值.

(4)確定偏心距e

(5)確定推桿長度L

一般取L=(3～5)R1，可根據用戶要求和偏心輪推桿行星傳動的結構尺寸確定.

(6)確定內齒圈齒數Z

當內齒圈固定，偏心輪輸入，傳動圈輸出時：Z=i-1；當傳動圈固定，偏心輪輸入，內齒圈輸出時：Z=-i，負號表示內齒圈與偏心輪的輸入方向相反.

經上述方法初步確定了偏心輪推桿行星傳動的系統特征參數，根據已有的經驗，這些參數的值并不能使機構的性能達到最優，因此有必要對這些參數加以優化，以便更好的滿足工程實際的需求.

2 系統特征參數的優化

在實際應用中，我們通常希望機構能以較小的尺寸獲得較高的性能，因此需對偏心輪推桿行星傳動的特征參數進行優化，本文以體積最小為目標函數，以頂切限制、強度限制、最佳受力條件等作為約束條件建立數學模型.

2.1 建立目標函數

在給定功率、轉速和傳動比的條件下，為使偏心輪推桿行星傳動的結構緊湊，降低成本，把偏心輪推桿行星傳動體積的最小值作為優化設計的目標函數，而內齒圈是其關鍵部件，故將內齒圈體積的最小值作為目標函數，其體積的粗略計算公式為：

(6)

式(6)中：R外—內齒圈外輪廓圓半徑，R外=R+2R1+L+3e，mm；R內—內齒圈齒頂所在圓的半徑，R內=R+2R1+L-e，mm；B—內齒圈的寬度，本文取B=4e，mm.

2.2 約束條件

2.2.1 頂切的限制

內齒圈齒廓的曲率半徑對傳動的性能有很大影響.要保證不發生頂切，需使內齒圈齒廓曲線的曲率半徑大于滾柱半徑.設內齒圈齒廓曲線的最小曲率半徑為ρmin，則不產生頂切的條件是[6]：

(7)

2.2.2 強度的限制

(1)偏心輪與內滾柱嚙合副接觸的強度條件為：

(8)

(2)內齒圈與外滾柱嚙合副接觸的強度條件是：

(9)

式(9)中：σQ—內齒圈與外滾柱接觸的接觸應力，MPa；[σ]H2—內齒圈與外滾柱的許用接觸應力，MPa；FQ—內齒圈與外滾柱接觸的法向壓力，N；ρQ—內齒圈與外滾柱接觸點處的當量曲率半徑，mm.

當推桿移動副雙面接觸時，

(10)

當推桿移動副單面接觸時，

(11)

(12)

式(12)中：ρ0—內齒圈齒廓與活齒外滾柱接觸點處的曲率半徑，mm.

2.2.3 最佳受力條件

推桿活齒在傳動過程中受到偏心輪對活齒內滾柱的正壓力FP、內齒圈對活齒外滾柱的正壓力FQ以及傳動圈導槽對推桿兩邊的力F1、F2,為了便于分析，將內外滾柱和推桿固化成一個活齒單元來進行受力分析，受力分析如圖3所示.

圖3 推桿活齒受力分析

建立局部坐標系x′Oy′，x′的方向為OC方向，由此可得到推桿活齒受力在局部坐標系x′Oy′上的平衡方程如下所示：

(13)

方程(13)略去第三式中較小的二、四兩項解得：

FQ=

(14)

由上面的關系可以看出，在外載荷FQ固定不變時，尺度系數K越大則所需要的驅動力FP就越小，因此在滿足傳動性能的前提下應該盡量增大尺度系數K.由尺度系數公式可知，增大LA、LD和減小LC這三種途徑都可使尺度系數K有所增加，但LA和LD的增加勢必造成推桿的長度L也隨之增長，從而加大了機構的徑向尺寸，這顯然是不可行的，所以需減小LC來增大尺度系數K.外伸長度LA與推桿活齒所處的位置有關，分別在工作開始和結束時取得最小值和最大值，即：

(15)

式(15)中：M—內齒圈齒頂與傳動圈外圓間的徑向距離，一般取1～2 mm[12]，可將LCmax減小至0，從而得R1=2e+M，這就是推桿活齒受力的最佳條件.

2.3 建立優化模型

由于偏心輪推桿行星傳動內齒圈的齒數Z可由傳動比直接求出，因此只對偏心輪半徑R，偏心輪的偏心距e，內、外滾柱半徑R1，推桿長度L這四個參數進行優化，并分別用x1、x2、x3、x4來表示，建立的數學模型為：

3 優化軟件的設計及優化實例

3.1 優化軟件的設計

根據建立的數學模型，使用外點懲罰函數法結合C#編程語言設計一款專用于偏心輪推桿行星傳動參數優化的簡易軟件，軟件部分程序代碼如下：

usingSystem;

usingSystem.Collections.Generic;

usingSystem.Linq;

usingSystem.Text;

usingSystem.Threading.Tasks;

……

publicdoublembhanshu(double[]x)

{

doublef;

doublepi=

3.1415926535987932;

f=32*pi*x[1]*x[1]*(x[0]

+x[1]+2*x[2]+x[3]);

returnf;

}

……

publicdouble[]sumt(double[]x,doubleh,

doubleebsin,intyw)

{

inti,k,a,b,c;

doublefact,f,mc;

double[]x0=newdouble[N];

double[]xy=newdouble[5];

mc=MC;

ywddf(yw);

f=xfout(x,0);

k=1;

do

{

for(i=0;i

x0[i]=x[i];

baowr(refx,h,ebsin,yw);

f=xfout(x,k);

fact=0.0;

for(i=0;i

fact+=(x[i]-x0[i])*(x[i]-x0[i]);

fact=Math.Sqrt(fact);

k++;

mr*=mc;

}

while(fact>ebsin);

for(a=0,b=0,c=0;a<5;

a++)

{

if(b<4)

xy[a]=x[b++];

else

xy[a]=f;

}

returnxy;

}

軟件的界面如圖4所示.

圖4 偏心輪推桿行星傳動的參數優化軟件界面

3.2 參數優化的實例

已知一偏心輪推桿行星傳動的基本參數為：額定功率P=3 KW，輸入轉速為n=1 500 r/min，傳動比i=16，輸出為同向，試確定其基本結構參數.

將基本參數代入公式計算后，定出偏心輪半徑R=50 mm，偏心輪的偏心距e=3.5 mm，內、外滾柱半徑R1=7 mm，推桿長度L=24.5 mm，內齒圈齒數Z=15.將這幾個基本結構參數值輸入軟件，然后點擊優化按鈕，得出優化結果如圖5所示.

圖5 偏心輪推桿行星傳動基本結構參數優化結果

4 結論

根據最后實例驗證的結構可以得到如下結論：

(1)已知額定功率P、輸入轉速n和傳動比i，按照系統特征參數的計算方法計算出的幾個特征參數的值是合理的，由此證明了該計算方法的可行性.

(2)通過軟件的優化結果可以看出，軟件在優化過程中對偏心輪的偏心距e，內、外滾柱半徑R1，推桿長度L等進行了調整，且尺寸都有所減小，并且內齒圈體積有很大幅度的減小.結合相關的理論知識發現，優化后的結構參數使偏心輪推桿行星傳動的結構更加的緊湊了，不僅節省了機構的材料，降低了機構的質量，還提高了偏心輪推桿行星傳動的傳動性能，使其能更好的應用在復雜的工況中.

[1] 周有強，胡茂弘，張文照.少齒差傳動的發展概況[J].齒輪，1983,67(11):24-27.

[2] 周有強.套筒活齒少齒差傳動裝置[P].中國專利：CN8720-9455，1988-02-17.

[3] 李瑰賢，楊偉君，顧曉華.滾柱活齒傳動受力分析的研究[J].機械設計，2002，20(1)：18-20.

[4] 曲繼方.擺動活齒減速機[P].中國專利：CN90222527,1991-04-24.

[5] 陳兵奎.凸輪活齒行星傳動裝置[P].中國專利：CN9911472-9，1999-09-08.

[6] 陶棟材.偏心輪推桿行星傳動設計理論[M].北京：機械工業出版社,2010.

[7] 李勇進，劉金偉，劉 剛.活齒傳動分類方法及結構改進新思路的探索[J].機械,2007，34(9)：70-73.

[8] 陶棟材,高英武,全臘珍,等.偏心輪推桿行星傳動的傳動原理研究[J].湖南農業大學學報(自然科學版)，2000，26(4):314-317.

[9] 陶棟材，盧月娥，尹 紅，等.偏心輪推桿行星傳動內齒圈及其結構特性研究[J].農業工程學報,2000,16(6)：18-21.

[10] 李瑰賢,楊偉君,顧曉華.滾柱活齒傳動的嚙合理論及齒廓接觸數值仿真[J].哈爾濱理工大學學報,2001,6(4)：28-31.

[11] 曲繼方.活齒傳動理論[M].北京：機械工業出版社,1993.

[12] 陽 林,吳黎明,李定華.推桿活齒減速機系統特征參數優化與CAD/CAM[J].機電工程,1998(3):9-12.

[13] 段海燕.偏心輪推桿行星傳動優化設計及動力學仿真研究[D].長沙:湖南農業大學,2010.

[14] 徐芝綸.彈性力學[M].北京:高等教育出版社,1982.

【責任編輯：蔣亞儒】

The parameter optimization and software design of eccentric wheel handspike planetary transmission

ZHANG Chun， FAN Lang-ceng

(College of Mechanical and Electrical Engineering, Shaanxi University of Science & Technology, Xi′an 710021, China)

The ring gear is the key part of eccentric wheel handspike planetary transmission mechanism.To reduce the quality of the mechanism and improve it′s transmission performance, the system parameters′ optimization of the mechanism is necessary.A mathematical model for optimal design,whose objective function is the minimum volume of ring gear and constraint conditions are end cutting limit,the strength limit and the best stress condition,has been setted up.Based on C# programming language,a software which adopted outer point penalty function method and dedicated to parameter optimization calculation was designed.At last,an example calculation has been done through the software.As can be seen from the calculation results that the size of eccentricitye,internal and external roller radiusR1and push rod lengthLwere reduced,and the volume of ring gear had greatly reduced which fells from 113 298.4 mm3to 36 682.52 mm3.So the optimized method has been achieved the goal of the optimization,and the transmission mechanism of the structure is more compact.

eccentric wheel handspike planetary transmission; parameter optimization; C# programming design

2017-01-13 基金項目：陜西省科技廳科技計劃項目(2014K07-08)

張 淳(1957-)，男，陜西西安人，教授，碩士，研究方向：機械設計理論、機械傳動系統

1000-5811(2017)02-0142-05

TH132

A