如何提高學生幾何證明的書寫

陳梅麗

【摘要】：數學主要可分為代數和幾何兩部分，而學生對于代數內容比較容易接受，可以很好的掌握，而幾何證明的書寫對于初中生來說是一大難點，很多學生呈現出會想，但不會寫，有思路，卻無從下手的情況，問題日積月累，不堪負重，最后失去學習幾何的信心。針對這些現象，本文談談如何書寫好初中數學的幾何證明。本文從“學生知識背景出發，由教師引導，學生樹立信心，理清思路，完善書寫格式”幾方面來闡述學生幾何證明的書寫。

【關鍵詞】代數幾何分析書寫思維

【分類號】G633.6

【正文】

一、 定理、定義透徹分析，學生完全熟記

很多人認為數學單純靠理解就可學好，若是這樣想，就大錯特錯了，數學不單純要理解，還要記憶。如果定義定理沒有記牢，或者記混亂了，那將會使你的幾何證明完全顛覆，就如語文中的文不對題。因此在講解定理、定義、公理時，要分析透徹，知道這條定理的中題設是什么，結論是什么，這至關重要，因此在教學過程中，可利用證明過程，讓學生說出其中的依據，反復利用，加深印象，讓學生完全熟記，從而牢牢記住了課本的定義、公理、性質及判定，為接下來的證明書寫打下堅實的基礎。

二、 教師搭橋，學生接線

幾何證明過程的書寫格式與代數解題格式有很大的差異，因此，在幾何入門教學時，應讓學生明白最基本的幾何證明過程的格式，并且知道我們推理的依據就是已經學過的定義、定理、公理，說明結論為什么正確的過程. 初一學證明，主要是在推理過程中對得出的結論加注理由，因此可以由老師給出證明過程，也就是搭橋，讓學生填依據，也就是接線。這樣一方面可以使學生鞏固前面學過的定義、公理、性質及判定，另一方面可以培養學生的邏輯思維能力。

例如：如右下圖，已知直線 、 被直線 所截，

（1）如果 ，那么 ∥ ，則

∵ （已知）

∴ ∥ （同位角相等，兩直線平行）

（2）同理，如果已知 ，則

∵ （已知）

（對頂角相等）

∴ （等量代換）

∴ ∥ （同位角相等，兩直線平行）

在這個題目中，教師讓學生思考由上一個條件可以得出結論所用的依據是什么，并把依據填入括號內，如此就讓學生對平行線的性質與判定有了更深入的了解以及區分，如此也為接下來的學習幾何證明打下了堅實的基礎。

三、 分析題意，正逆結合

“幾何證明難”最難莫過于沒有思路。怎樣積累證明思路呢？這時就需要學生學會分析題目了，那么如何分析一道題呢？又如何從題目中找到證明結論的思路呢？一般的有三種思維方式：

1、正向思維。對于一般簡單的題目，我們通常可以直接出題設看出結論，因此可指導學生正向思考，輕而易舉得到結論。

例如：如圖，已知直線 、 被直線 所截，已知 ， ，直線 、 平行嗎？為什么？

本題可指導學生直接看出兩個內錯角相等，因此兩直線平行，

2、逆向思維。逆向思維也叫求異思維，它是對司空見慣的似乎已成定論的事物或觀點反過來思考的一種思維方式。從相反的方向思考問題，能使學生從不同角度、不同方向思考問題，探索解題方法，從而拓寬學生的解題思路。換句話說，當學生正向思維解決不了問題時，可引導學生從結論往回推，倒過來思考，從求解回到已知條件，反過去想或許會使問題簡單化。

例如：如圖，在△ABC上，已知點D在BC上，且BD+AD=BC.求證：點D在AC的垂直平分線上.

分析：本題中要證明點D在AC的垂直平分線上，可想到垂直平分線的判定，因此只須證明AD=DC，而BD+DC=BC，而且已知條件BD+AD=BC，因此AD=DC就可證明得出，本題就解決了。

3、正逆結合。顧名思義就是正向思維和逆向思維相結合，這種方法也是幾何證明中最常用的方法。有很多題目，直接從題設很難一下子想出如何解答，也就是說沒有思路，教師可以指導學生結合分析的已知條件和結論，雙管齊下，從已知條件尋找所能得到的結論，聯系結論所需要的條件，結合圖形，看中間還缺少什么條件需要證明，證明這個條件又需要什么，是否需要做輔助線，這樣思考下去……就可以把條件和結論連接起來，就找到了解題的思路，然后把過程正著寫出來就可以了.這是非常好用的方法。

例如：如圖，在△ABC的頂點 B的外角的平分線BD與頂點C的外角的平分線CE相交于點P.

求證：點P在∠BAC的平分線上

分析：由題目的條件BD和CE兩條角平分線可聯想到角平分線的性質，可是如何得到結論呢，這就需要學生會逆推了，可從結論要證明點P在∠BAC的平分線上，想到角平分線的判定，從這兩點可知需要做輔助線了，而這里的輔助線就是過P點做到各邊的垂線段，證明到∠BAC兩邊的垂線段相等，即PM=PH就可以了。因此證明如下：

證明：過點P作PM、PK、PH分別垂直于AB、BC、AC，垂足為M、K、H。

∵BD平分∠CBM

∴PK=PM

同理PK=PH

∴PM=PH

點P在∠BAC的平分線上

四、 完善書寫，有理有據

經過之前的訓練，學生有了一定的基礎知識，有了分析的思維方法，從而得到了解題的思路，這時就要根據我們理清的思路，用數學的語言與符號寫出證明的過程。而證明過程的書寫，其實就是把證明的思路從腦袋中搬到紙張上.這個過程，把每一個條件可得到的結論按邏輯順序一條一條書寫下來，在書寫的過程中對數學符號與數學語言的應用要求較高，在講解時，要提醒學生任何的“因為、所以”在書寫時都要符合公理、定理、推論或與已知條件相吻合，要有理有據！

參考文獻

[1]王飛爾平面幾何證明題的一般思路及方法簡述[J]；新課程研究（基礎教育）2009年10期