新說二次函數(shù)解析式的求法

【摘要】二次函數(shù)的解析式有三種形式，第一種是一般式： ，它反映了二次函數(shù)的式子特點(diǎn)；第二種是頂點(diǎn)式： ，它反映了拋物線的對稱軸及頂點(diǎn)坐標(biāo)；第三種是交點(diǎn)式： ，它反映了拋物線與 軸交點(diǎn)的坐標(biāo).在具體求二次函數(shù)解析式的問題中，怎樣選擇合適的方法解決問題是需要我們認(rèn)真思考的，方法選擇得好，可以事半功倍.

【關(guān)鍵詞】二次函數(shù)；解析式；交點(diǎn)型

我們知道，二次函數(shù)的解析式有三種形式，第一種是一般式： ，它反映了二次函數(shù)的式子特點(diǎn)；第二種是頂點(diǎn)式： ，它反映了拋物線的對稱軸及頂點(diǎn)坐標(biāo)；第三種是交點(diǎn)式： ，它反映了拋物線與 軸交點(diǎn)的坐標(biāo).在具體求二次函數(shù)解析式的問題中，怎樣選擇合適的方法解決問題是需要我們認(rèn)真思考的，方法選擇得好，可以事半功倍.

下面，我們通過一個實(shí)例來說明如何靈活運(yùn)用這幾種函數(shù)形式來解決求二次函數(shù)解析式的問題.

引例：若一條拋物線經(jīng)過點(diǎn) ， ， ，求此拋物線的解析式.

[分析一]知拋物線上三點(diǎn)求二次函數(shù)解析式是非常典型的二次函數(shù)問題，很自然我們會想到運(yùn)用二次函數(shù)的一般式，將三點(diǎn)代入得到一個三元一次方程組解之可得.

（法一）解：設(shè)所求拋物線解析式為： 則

點(diǎn) ， ， 在此拋物線上

解之得

故所求拋物線解析式為： .

[分析二]在這個問題中，用一般式求此拋物線解析式是很典型的解法，不過，如果我們仔細(xì)看這三個點(diǎn)不難發(fā)現(xiàn)，有兩個點(diǎn)縱坐標(biāo)均為2，這個特點(diǎn)是否一定程度反映了此拋物線的一個什么特點(diǎn)呢？我們可以思考一下，要是 、 兩點(diǎn)縱坐標(biāo)是 該有多好呀！那樣，我們就可以運(yùn)用交點(diǎn)式來求此拋物線的解析式了.想到這里，我們可以從動態(tài)的角度來看待這個問題，可以看成這條拋物線剛開始經(jīng)過點(diǎn) ， ，后又整體向上平移2個單位得到.這樣，我們就可以設(shè)此拋物線解析式為： ，將 點(diǎn)代入得到 即可.我們試試看能否得到該拋物線解析式.

（法二）解：設(shè)此拋物線解析式為： 則

點(diǎn) 在此拋物線上

故所求拋物線解析式為： .

以上解答過程所得到的拋物線解析式與第一種方法得到的解析式是吻合的，說明我們的思考是正確的.

由此，我們可以得到這樣一個結(jié)論：

若一拋物線經(jīng)過點(diǎn) ， ，則可設(shè)此拋物線解析式為： .

這一形式的得到是類比交點(diǎn)式得到的，我們不妨稱之為交點(diǎn)型.事實(shí)上，交點(diǎn)式 是交點(diǎn)型的一種特殊情況，特殊在 .

[分析三]換一個視角，我們知道，每一條拋物線都關(guān)于一條對稱軸對稱，對稱體現(xiàn)在哪里呢？事實(shí)上，除頂點(diǎn)外，其余點(diǎn)都是成雙成對出現(xiàn)的，每對對稱點(diǎn)縱坐標(biāo)均相等，對稱軸是每對對稱點(diǎn)所連線段的垂直平分線，因此，只要有拋物線上一對對稱點(diǎn)，就可以找到對稱軸.

在這個具體的問題中，由于點(diǎn) ， 的縱坐標(biāo)均為2，顯然是一組對稱點(diǎn)，如圖，連接 ，取線段 的中點(diǎn) ，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得： 點(diǎn)坐標(biāo)為 ，過點(diǎn) 作線段 的垂線，所得直線 即是所求拋物線的對稱軸，恰好 點(diǎn)坐標(biāo)為 ，說明 點(diǎn)是拋物線與對稱軸的交點(diǎn)，由此可見： 點(diǎn)就是所求拋物線的頂點(diǎn)，這樣，我們還可以運(yùn)用頂點(diǎn)式來求此拋物線的解析式.

（法三）解： 點(diǎn) ， 關(guān)于直線 對稱

點(diǎn) 是所求拋物線的頂點(diǎn)

設(shè)所求拋物線解析式為： 則

點(diǎn) 在此拋物線上

故所求拋物線解析式為： .

通過法三的思考，我們可以得到這樣一個結(jié)論：

若一拋物線過點(diǎn) ， ，則此拋物線的對稱軸為： .

我們這個問題可以運(yùn)用頂點(diǎn)式帶有一定的偶然性，因?yàn)閯偤命c(diǎn) 就是此拋物線的頂點(diǎn).有些時候，我們可以運(yùn)用這個結(jié)論快速解決拋物線對稱軸的問題，例如：

若一拋物線過點(diǎn) ， ， ，則此拋物線的對稱軸為.

[分析]點(diǎn) ， 由于縱坐標(biāo)相等，均為3，故A、B是拋物線上一組對稱點(diǎn)，則此拋物線的對稱軸為： ，故應(yīng)填： .

有了這個結(jié)論，在這樣的問題中就可以快速找到對稱軸，省去了求拋物線解析式的麻煩.

通過運(yùn)用三種方法解決上面知拋物線上三點(diǎn)求拋物線解析式的問題，我們發(fā)現(xiàn)：用一般式求拋物線解析式是通法，所有知三點(diǎn)求拋物線解析式的問題均可以用一般式解決，但是，解三元一次方程組時運(yùn)算量較大，容易出錯；當(dāng)有兩點(diǎn)縱坐標(biāo)相等時，我們就可以采用交點(diǎn)型，將第三點(diǎn)代入確定二次項(xiàng)系數(shù)，化為一般式即可，較一般式，計算過程簡單得多；至于第三種方法，利用頂點(diǎn)式，由于很偶然，我們只需要掌握如何通過一組對稱點(diǎn)快速尋找對稱軸即可.

綜上可得：在知拋物線上三點(diǎn)求拋物線解析式的問題中，運(yùn)用一般式求拋物線解析式是通法，當(dāng)有兩點(diǎn)縱坐標(biāo)相等時，運(yùn)用交點(diǎn)型可達(dá)到事半功倍的效果.

作者簡介：姓名：高燕峰，性別：男，民族：漢族，出生日期：1982.1，籍貫：云南陸良，學(xué)歷：大學(xué)本科，單位：云南省安寧市第一中學(xué)，職稱：中教一級，研究方向：中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)