基于改進的馬爾科夫鏈模型的河流徑流預(yù)測研究

劉曉哲

（遼寧省水文局，遼寧沈陽110003）

基于改進的馬爾科夫鏈模型的河流徑流預(yù)測研究

劉曉哲

（遼寧省水文局，遼寧沈陽110003）

針對傳統(tǒng)馬爾科夫鏈模型不能考慮各因子權(quán)重的局限，文章引入自相關(guān)系數(shù)作為各因子權(quán)重，對傳統(tǒng)馬爾科夫鏈模型進行改進，并將改進的馬爾科夫鏈模型進行徑流預(yù)測。研究結(jié)果表明：改進馬爾科夫鏈模型可提高方程的收斂性和預(yù)測精度，改進的馬爾科夫鏈模型徑流預(yù)測精度明顯好于傳統(tǒng)馬爾科夫鏈模型的預(yù)測精度，預(yù)測值與實測值相關(guān)系數(shù)高于傳統(tǒng)馬爾科夫鏈模型。研究成果對于區(qū)域徑流的數(shù)學模型預(yù)測具有較好的參考價值。

改進馬爾科夫鏈模型；傳統(tǒng)馬爾科夫鏈模型；加權(quán)權(quán)重；徑流預(yù)測

馬爾科夫鏈模型可以表述隨機系列的動態(tài)變化，可通過不同變量之間的狀態(tài)變化的轉(zhuǎn)移概率來預(yù)測系統(tǒng)未來的變化。由于模型具有明確的數(shù)學意義，當前被廣泛用于不同變量的預(yù)測。近些年來，隨著計算技術(shù)的不斷發(fā)展，數(shù)學模型也不斷地被用于水文序列變量的模擬預(yù)測，并取得一定的研究成果［1-6］。這些數(shù)學模型包括灰色系統(tǒng)模型、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型法以及其他時間序列模型法，但在這些模型中，馬爾科夫鏈模型可以通過不同變量之間的轉(zhuǎn)移概率來反映不同隨機變量之間的影響程度，可以較好的模擬不同狀態(tài)變量之間的相互聯(lián)系，近些年來，被許多學者應(yīng)用于水文序列的模擬中，取得較好的預(yù)測模擬成果［7-10］。但這些成果都表明馬爾科夫鏈模型存在收斂精度不高，且未能考慮不同因子之間的權(quán)重，為此有學者對傳統(tǒng)馬爾科夫鏈模型進行改進，引入權(quán)重系數(shù)，對各個因子設(shè)定不同的權(quán)重，提高了模型的收斂精度以及變量預(yù)測的精度。但改進的馬爾科夫鏈模型只是對降水系列進行了模擬，還未在天然徑流進行預(yù)測，而天然徑流是水資源評價的重要依據(jù)。為此本文引入改進的馬爾科夫鏈模型，結(jié)合水文站還原的天然徑流資料，對比分析改進的馬爾科夫鏈模型和傳統(tǒng)的馬爾科夫鏈模型的徑流預(yù)測精度。研究結(jié)果對于數(shù)學模型在流域徑流中的應(yīng)用研究提供參考價值。

1 加權(quán)馬爾科夫鏈模型原理

1.1 馬爾科夫鏈

馬爾科夫鏈先計算一組隨機變量序列，｛x，t∈ T｝為隨機生成的一組隨機序列，在隨機序列中，

對于任意時間變量t≥0以及隨機變量的狀態(tài)值j，i0，i1，i2，i3….it-1，i1∈E。都代表

則表示｛x，t∈T｝為馬爾科夫鏈。通過馬爾科夫鏈的表達式可以看出，馬爾科夫鏈表示的系統(tǒng)含義是t+s時刻變量的一個狀態(tài)值只和前個t時刻的狀態(tài)相關(guān)，而和t時刻以前的狀態(tài)無任何關(guān)聯(lián)。

傳統(tǒng)的馬爾科夫鏈未能考慮各個變量因子之間的權(quán)重系數(shù)，在收斂計算時存在收斂異常的情況，為此本文引入改進的馬爾科夫鏈。改進的馬爾科夫鏈主要是通過建立各個因子不同的轉(zhuǎn)移概率權(quán)重，利用標準化的各因子的自相關(guān)系數(shù)作為轉(zhuǎn)移概率權(quán)重，將變量的某一個時刻的狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率進行加權(quán)，以加權(quán)后的概率作為變量在某個時刻的預(yù)測值。從而預(yù)測該變量標準化因子所處在的變量值。改進的馬爾科夫鏈變量的徑流預(yù)測的主要步驟：

（1）通過建立各個變量因子的不同等級的標準以及各因子變化轉(zhuǎn)移的概率系數(shù)，采用標準方差法進行不同等級的標準化。通過這種方法來確定徑流預(yù)測不同時刻的狀態(tài)值。因為需要計算不同等級下的各因子的變化轉(zhuǎn)移的權(quán)重系數(shù)，所以需要對各個因子的概率權(quán)重系數(shù)進行相關(guān)計算。

（2）各因子不同相關(guān)系數(shù)及標準。通過對各個影響因子進行相關(guān)系數(shù)的計算，相關(guān)系數(shù)計算公式為：

式中，xi表示的第i個時刻的變量狀態(tài)值，在文中表示為徑流值，x-表示為徑流的平均值。

對各個變量因子進行標準化處理，標準化處理公式為：

式中，m代表的物理意義為模型預(yù)測計算的最大因子數(shù)。

（3）結(jié)合前面2個步驟中不同時刻的計算值作為初始的狀態(tài)值，對應(yīng)各個變量的轉(zhuǎn)移概率加權(quán)權(quán)重系數(shù)，可以推算出下個時刻不同的狀態(tài)變量值，其中K表示的模型計算時段的步長，本文選用年、月2個時間步長。

（4）將處在同一個時間變量的狀態(tài)預(yù)測值和各個因子的權(quán)重進行疊加計算，可以表示某個變量在該狀態(tài)下的概率預(yù)測值，表達式為：

該時刻的計算最大概率值表示預(yù)測時刻對應(yīng)下的狀態(tài)值。

（5）基于模糊數(shù)學的理論，通過各個狀態(tài)變量不同權(quán)重系數(shù)可以得到各因子的權(quán)重矩陣wi，則得到年徑流的預(yù)測值，表達式為：

式中，T和B分別表示的變量狀態(tài)的上下邊界。

（6）結(jié)合改進的馬爾科夫鏈的游歷和方程穩(wěn)定的特點，可以計算不同狀態(tài)的變量概率值。

2 實例應(yīng)用

2.1 數(shù)據(jù)說明

選用遼寧二道河子水文站1980～2010年經(jīng)過還原的天然徑流數(shù)據(jù)，運用改進前后的馬爾科夫鏈進行徑流預(yù)測，其中1980～2000年徑流數(shù)據(jù)用于模型訓練分析，2000～2010年徑流數(shù)據(jù)用于模型預(yù)測，結(jié)合實測水文數(shù)據(jù)對比分析改進的馬爾科夫鏈模型和傳統(tǒng)馬爾科夫鏈模型預(yù)測精度，模擬的時間尺度分為年尺度和月尺度。

2.2 模擬結(jié)果對比分析

2.2.1 年徑流預(yù)測結(jié)果對比分析

基于改進的馬爾科夫鏈和傳統(tǒng)的馬爾科夫鏈分別對遼寧二道河子水文站2000～2010年天然徑流進行預(yù)測，并和水文站實測結(jié)果進行對比分析。模擬結(jié)果見表1和圖1。

表1 改進的馬爾科夫鏈模型模擬徑流量年尺度預(yù)測對比成果

從表1中可以看出，改進的馬爾科夫鏈預(yù)測的徑流和實測的徑流值誤差5.6%～13.2%之間，相對誤差的平均值為8.29%，而傳統(tǒng)的馬爾科夫鏈預(yù)測的徑流值和實測的徑流值相對誤差在10.7%～18.1%之間，相對誤差的平均值14.96%，可見改進的馬爾科夫鏈提高了徑流預(yù)測的精度。其次從圖1中也可以看出，改進的馬爾科夫鏈預(yù)測的年尺度徑流值和實測的徑流值的相關(guān)系數(shù)為0.8534，而傳統(tǒng)的馬爾科夫鏈預(yù)測的年尺度徑流值和實測的徑流值的相關(guān)系數(shù)為0.6806，可見在年尺度上改進的馬爾科夫鏈預(yù)測的徑流值和實測的徑流值相關(guān)度更高。

2.2.2 月徑流預(yù)測結(jié)果對比分析

由于徑流在各個月份的值均不同，為此本文結(jié)合改進的馬爾科夫鏈對月尺度的徑流值進行預(yù)測，也和傳統(tǒng)的馬爾科夫鏈進行對比分析，結(jié)果見表2和圖2。

表2 改進的馬爾科夫鏈模擬徑流月尺度預(yù)測對比成果

從表2中可以看出，改進的馬爾科夫鏈預(yù)測的月尺度徑流和實測的徑流值相對誤差在6.6%～13.2%之間，相對誤差的平均值為11.2%，而傳統(tǒng)的馬爾科夫鏈預(yù)測的月尺度徑流值和實測的徑流值相對誤差在14.2%～28.6%之間，相對誤差的平均值20.2%，可見改進的馬爾科夫鏈明顯提高了月尺度徑流預(yù)測的精度。其次從圖2中也可以看出，改進的馬爾科夫鏈預(yù)測的月尺度徑流值和實測的徑流值的相關(guān)系數(shù)為0.8477，而傳統(tǒng)的馬爾科夫鏈預(yù)測的年尺度徑流值和實測的徑流值的相關(guān)系數(shù)為0.6422，可見在月尺度上改進的馬爾科夫鏈預(yù)測的徑流值和實測的徑流值相關(guān)度更高。

圖2 改進的馬爾科夫鏈模型徑流預(yù)測月尺度精度對比

3 結(jié)語

本文通過引入加權(quán)系數(shù)，對傳統(tǒng)馬爾科夫鏈模型進行改進，并應(yīng)用改進的馬爾科夫鏈模型進行徑流預(yù)測，研究得出以下結(jié)論：

（1）改進的馬爾科夫鏈模型解決了傳統(tǒng)馬爾科夫鏈模型不能考慮各因子的權(quán)重的局限，改善模型計算收斂性。

（2）改進的馬爾科夫鏈模型在徑流預(yù)測精度上明顯好于傳統(tǒng)馬爾科夫鏈模型，在年尺度徑流模擬相關(guān)系數(shù)提高近0.17，月尺度徑流模擬相關(guān)系數(shù)提高近0.21。

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1008-1305（2017）01-0085-03

DO I:10.3969/j.issn.1008-1305.2017.01.026

2015-12-21

劉曉哲（1983年—），男，工程師。