沿軸向指數分布的功能梯度Timoshenko梁的頻率精確解

鄧 昊， 程 偉

(北京航空航天大學 航空科學與工程學院, 北京 100191)

沿軸向指數分布的功能梯度Timoshenko梁的頻率精確解

鄧 昊， 程 偉

(北京航空航天大學 航空科學與工程學院, 北京 100191)

通過對狀態空間變量進行變量替換，求得了沿軸向指數分布的功能梯度Timoshenko梁的狀態空間傳遞矩陣方程。通過傳遞矩陣法計算了多種邊界條件下結構固有頻率的精確解，并與解析解進行對比。通過分析梯度參數對結構固有頻率與模態振型的影響，該計算結果表明頻率與材料梯度變量之間的關系曲線是連續光滑的，并未出現部分文獻中的跳躍現象，并且采用有限元法該計算結果進行驗證。通過對比不同梁理論的計算結果，定量的分析了剪切剛度和轉動慣量對結構固有頻率的影響。計算結果表明，該方法物理概念清晰，降低問題求解難度的同時可以減少計算量。

狀態空間變量；傳遞矩陣法；固有頻率；功能梯度材料；指數梯度

工程中存在著大量的多相材料，為了使材料的性質從一相過渡到另一相，通常在兩相材料之間使用沿軸向變化的功能梯度材料。使用功能梯度材料的優點是兩相材料之間不存在明顯的交界面，因而避免了材料受熱或冷卻時出現的應力集中現象。功能梯度材料通常分為兩種，一種是材料性質沿厚度方向變化，另一種是材料性質沿軸線方向變化。已有大量的研究[1-6]關于沿厚度方向變化的材料。對于沿軸線方向變化的材料，ELISHAKOFF[7]通過半逆解法給出了了歐拉伯努利梁的頻率精確解。ECE等[8-9]分析了沿軸向指數變化的彎曲剛度，材料密度和寬度的歐拉梁在不同邊界條件下的解析解。WANG等[10-11]計算了軸向寬度指數變化且帶有附加質量的歐拉伯努利梁的共振頻率。RAJASEKARAN[12]運用微分變換的方法分析了軸向變截面功能梯度梁的動力學特性。ESMAILZADEH等[13]運用Frobenius級數方法分析了受軸向載荷Timoshenko梁的振動特性與穩定性，HUANG等[14]運用一種新的方法計算了變截面Timoshenko梁的固有頻率。以上計算結構固有頻率的方法均屬于數值方法或近似的解析方法。近年來，LI等[15-16]通過解析的方法得到了材料沿軸向指數分布的Timoshenko梁的振動頻率精確解。但文中的計算結果存在一些問題，為了說明上述問題，本文作者采用傳遞矩陣法得到了頻率的精確方程，通過有限元驗證了計算結果的正確性。

1 理論推導

1.1 基本方程

考慮材料沿軸向梯度變化的Timoshenko梁，梁的長度為，梁的截面慣性矩為，面積為，材料的彈性模量，剪切模量，密度沿梁的軸線方向服從指數的變化規律，為了簡化模型，令

(1)

式中：β為無量綱的梯度系數，x是沿軸向的坐標。其中材料的剪切系數為K，由式(1)可知，當β=0時，梁為均勻材料。由Timoshenko梁理論，可以得到梁的振動微分方程為：

(2)

(3)

式中：ω，φ為梁截面的橫向變形與轉角。橫截面彎曲力矩M和剪力Q為

(4)

1.2 傳遞矩陣法

直接由式(2)～式(4)無法得到傳遞矩陣為常數的狀態方程，因此對結構的狀態變量進行替換，令

(5)

因此

(6)

(7)

由式(6)和(7)可以得到

(8)

(9)

定義函數f(t)的傅里葉變換為

(10)

因此函數的傅里葉逆變換為

(11)

對式(2)～式(4)式兩端同時對時間進行傅里葉變換，并將式(8)，(9)代入式(2)～式(4)中并化簡可以得到關于的狀態空間方程：

(12)

式中ω為圓頻率。式(12)可以寫成如下形式

(13)

式中X為狀態向量，A為傳遞矩陣。由式(13)可以得到

X=eAx·X0

(14)

式中X0為結構的初始狀態向量。其中

(15)

對于固支邊界條件，簡支邊界條件和自由邊界條件依次有

w=0,φ=0

(16)

w=0,M=0

(17)

Q=0,M=0

(18)

根據式(5)可以得到

W=0,ψ=0

(19)

W=0，M=0

(20)

Q=0，M=0

(21)

長度為L的材料性質沿軸向指數變化的功能梯度Timoshenko梁的傳遞矩陣為

T=eAL

(22)

式中T為4×4矩陣。且傳遞矩陣T滿足：

(23)

式中()l表示梁左端，()r表示梁的右端。

兩端簡支邊界條件：

Wl=Wr=Ml=Mr=0

(24)

兩端固支邊界條件：

Wl=Wr=ψl=ψr=0

(25)

兩端自由邊界條件：

Ml=Mr=Ql=Qr=0

(26)

式中()l表示梁左端，()r表示梁的右端。由式(23)和(24)可以得到兩端簡支的頻率方程：

(27)

式中Tij為矩陣T中的元素。兩端固支邊界條件：

(28)

兩端自由邊界條件：

(29)

其余邊界條件可以類似得到。可以運用Newton-Raphson對頻率方程進行求解。

1.3 解析方法

考慮鐵木辛柯梁作簡諧振動，令

w(x,t)=W(x)sin(ωt),φ(x,t)=ψ(x)sin(ωt)

(30)

式中W(x)為振動的幅值，ω為振動的圓頻率，將式(30)代入式(2)和(3)可以得到

(31)

彎矩M和剪力Q可以表示為

(32)

式中

(33)

令

U(ξ)=Ceλξ,ψ(ξ)=Heλξ

(34)

式中,C,H,λ為待定的常數，將式(34)代入式(31)可以得到關于λ的四次方程

λ4+2βλ3+[β2+(r2+s2)Ω2]λ2+β(r2+s2)Ω2λ+(r2s2Ω2-1)Ω2=0

(35)

求解上述方程可以得到關于λ的四個根，將λ的四個根代入式(34)可以得到模態振型的解析表達式，由邊界條件，可以確定出結構的固有頻率與振型。由于推導過程較為繁瑣，具體過程可以參見文獻[16]。當固有頻率在不同頻段內時，頻率方程與振型表達式形式并不相同。由于解析方法過于復雜，且不同頻段內的固有頻率表達式并不相同，因此不便于實際中的應用。

1.4 數值方法

ATTARNEJAD等[17]通過有限元法建立了功能梯度Timoshenko梁的形狀函數，從而得到了結構的動態剛度矩陣，由此可以數值求解結構的固有頻率。將材料的性質用冪級數進行展開

(36)

其中ξ為無量綱的坐標

(37)

根據式(2)和(3)，可以取

(38)

式中wi,φi為系數。將式(38)代入式(2)和(3)化簡后可以得到關于wi,φi的遞推公式。

θi+2=Fθ(θi+1,θi,…θ0)，wi+2=Fw(wi+1,wi,…w0)

(39)

由此可以得到

(40)

w0,φ0,w1,φ1為常數且可以由邊界條件得到。由有限元理論可知單元位移函數可以表示為

w(x)=ψΔ,φ=φΔΔ=[wi,φi,wj,φj]T,ψ=[ψψψψ]φ=[φ1φ2φ3φ4]

(41)

式中wi,ωi為節點位移坐標，φ,ψ為形函數矩陣。由最小總勢能原理有

(42)

單元的一致質量矩陣為

(43)

由單元剛度矩陣可以得到總體剛度矩陣，因此結構的頻率與模態可以通過式(42)求得

Kx=ω2Mx

(44)

式中ω為圓頻率，x為振型向量。

2 算例

由表1～表3可知本文所提出的方法的計算精度與解析解相當，且對于不同的邊界條件均適用，計算效率高。圖1和圖2為梁兩端為固支或自由邊界條件下頻率參數α與β梯度參數的關系，由于邊界條件的對稱性，因此曲線也存在對稱性，且由圖象可知當β=0時梁的各階頻率均達到最小值。

表1 不同邊界條件無量綱α的計算結果Tab. 1 Calculation results of dimensionless α under different boundary conditions

表 2 不同邊界條件無量綱α的計算結果Tab. 2 Calculation results of dimensionless α under different boundary conditions

表3 不同邊界條件無量綱α的計算結果Tab. 3 Calculation results of dimensionless α under different boundary conditions

圖1 兩端固支邊界條件下β對頻率參數α的影響表Fig.1 EFfects of β on the natural frequency parameter α for clamped-clamped beams

圖2 兩端自由邊界條件下β對頻率參數α的影響Fig.2 Effects of β on the natural frequency parameter α for free-free beams

圖3為左端固支右端自由邊界條件下β對頻率參數α的影響，由圖3可知隨著β的增加梁的各階頻率依次單調遞減。梁的二階頻率與梯度參數β的關系近似線性。圖4為兩端簡支條件下β對頻率參數的影響，由于邊界條件的對稱性，圖4也存在對稱性，且注意到一階頻率隨著β的增加而反向遞減，但二階以上頻率隨著的增加而遞增。圖5為左端固支右端簡支邊界條件下β對頻率參數α的影響，結構的一階頻率呈現單調遞減趨勢，二階以上頻率隨著β的增加呈現先減后增的變化趨勢。圖6和圖7表示梯度β對一階頻率參數的影響，瑞利梁理論忽略梁的剪切剛度，即認為梁的剪切剛度無窮大。剪切梁理論忽略了梁的轉動慣量對結構頻率的影響。而歐拉梁理論同時忽略了轉動慣量與剪切剛度對頻率的影響，不同梁理論的計算結果如圖所示。由圖6～圖9可知剪切梁的計算結果最接近Timoshenko梁的計算結果，即轉動慣量對梁的固有頻率影響較小，而瑞利梁的計算結果誤差較大，說明剪切剛度對結構固有頻率的影響較大。有限元法的計算結果如圖中黑線所示，有限元法的計算精度接近剪切梁的計算精度。由圖可知隨著β的變化無量綱的頻率參數α為連續變化的函數，并未出現文獻[16]中的不連續跳躍現象。

圖3 固支-自由邊界條件下β對頻率參數α的影響Fig.3 Effects of β on the natural frequency parameter α for clamped-free beams

圖4 兩端簡支邊界條件下β對頻率參數α的影響Fig.4 Effects of β on the natural frequency parameter α for pinned-pinned beams

圖5 固支-簡支條件下β對頻率參數α的影響Fig.5 Effects of β on the natural frequency parameter α for clamped-pinned beams

圖6 基于不同的梁理論的參數α對兩端簡支梁的一階頻率參數β影響的比較Fig.6 Comparison of the effects of the gradient parameter β on the fundamantal frequency parameter α for pinned-pinned beams using different beam theories

圖7 比較基于不同的梁理論的參數α對兩端固支梁的一階頻率參數β的影響Fig.7 Comparison of the effects of the gradient parameter β on the fundamantal frequency parameter α for clamped-clamped beams using different beam theories.

圖8 比較基于不同的梁理論的參數α對固支-自由梁的一階頻率參數β的影響Fig.8 Comparison of the effects of the gradient parameter β on the fundamantal frequency parameter α for clamped-free beams using different beam theories

圖9 比較基于不同的梁理論的參數α對固支-簡支梁的一階頻率參數β的影響Fig.9 Comparison of the effects of the gradient parameter β on the fundamantal frequency parameter α for clamped-pinned beams using different beam theories

圖10～圖12為梯度參數β對梁的模態振型的影響，由圖中可以看出材料的梯度對結構的高階模態影響顯著，而對結構的一階模態影響相對較小。對于簡支-簡支邊界條件，材料均勻的Timoshenko梁模態振型關于結構中線對稱，而對于梯度β非零的功能梯度Timoshenko梁，模態振型不存在對稱，當梯度β為正數時，β對梁結構的右側模態影響顯著，而當β為負數時，參數β對梁結構的左側模態影響顯著，圖13為梁結構左右兩端簡支時材料梯度參數β對振型相關系數MAC的影響。定義振型相關系數：

(45)

圖10 固支-自由邊界條件下梯度參數β對梁的模態振型影響Fig.10 Effects of β on the mode shapes for clamped-free beams

圖11 自由-自由邊界條件下梯度參數β對梁的模態振型影響Fig.11 Effects of β on the mode shapes for free-free beams

圖12 簡支-簡支邊界條件下梯度參數β對梁的模態振型影響Fig.12 Effects of β on the mode shapes for pinned-pinned beams

圖13中的MAC為不同參數β的模態振型與時模態振型的振型相關系數。由圖13可知梯度參數β對一階模態振型的影響較小，當時，振型相關系數仍然接近0.95，而對于二階以上的振型，β的影響相對較大，當β=6時振型相關系數已經接近0.6，相關程度低。且由圖像可知，二階以上模態的變化曲線相似程度高，即參數β對于二階以上頻率的影響程度接近。

圖13 簡支-簡支邊界條件下梯度參數β對梁的振型相關系數MAC影響Fig.13 Effects of β on the mode shape correlation coefficient MAC for pinned-pinned beams

3 結 論

本文通過變量替換得到了一組新的狀態空間變量，通過傳遞矩陣法求解結構的固有頻率和模態振型。

(1) 本文所使用的傳遞矩陣法物理概念清晰，通過狀態空間變量的替換，不但降低了問題的求解難度，而且減少了計算量。本文的計算結果與文獻中的解析解精度相當，且計算效率高。

(2) 本文全面分析梯度變量β對結構固有頻率的影響，研究了不同邊界條件下隨著參數的變化結構各階頻率的變化趨勢，狀態空間變量傳遞矩陣法和有限元法的計算結果均表明頻率曲線是連續光滑的曲線，并未出現跳躍突變現象。

(3)本文進一步分析了參數β對結構模態振型的影響，通過振型相關系數MAC與參數β之間的曲線關系，得出參數對一階振型的影響較小，而對二階以上振型影響較大的結論。

(4)本文通過對比不同梁理論的計算結果表明：對于深梁，剪切剛度對于結構的固有頻率影響較大，而轉動慣量對于結構固有頻率的影響較小。忽略梁的轉動慣量仍然可以得到較高的計算精度。

(5)通過分析參數對不同模態參數β的影響，可以通過對梯度參數β進行優化而實現某一特定要求的功能梯度材料。

[ 1 ] BIRMAN V,BYRD L W.Modeling and analysis of functionally graded materials and structures[J]. Appl Mech Rev, 2007,60:195-216.

[ 2 ] ZHONG Z, YU T. Analytical solution of a cantilever functionally graded beam[J]. Compos Sci Technol, 2007,67(34):481-488.

[ 3 ] LI X F.A unified approach for analyzing static and dynamic behaviors of functionally graded Timoshenko and Euler-Bernoulli beams[J]. J Sound Vib ,2008,318:1210-1229.

[ 4 ] LI X F. A higher-order theory for static and dynamic analyses of functionally graded beams[J]. Arch Appl Mech, 2010,80: 1197 -1212.

[ 5 ] PRADHAN K K,CHAKRAVERTY S.Free vibration of Euler and Timoshenko functionally graded beams by Rayleigh-Ritz method[J]. Compos Part B-Eng， 2013,51:175-184.

[ 6 ] KANG Y A,LI X F.Large deflections of a non-linear cantilever functionally graded beam[J]. J Reinf Plast Compos, 2010, 29: 1761 -1774.

[ 7 ] ELISHAKOFF I.Eigenvalues of inhomogeneous structures:unusual closed-form solutions[M]. Boca Raton:CRC Press, 2005.

[ 8 ] ECE M C,AYDOGDU M,TASKIN V.Vibration of a variable cross-section beam[J]. Mech Res Commun, 2007,34:78-84.

[ 9 ] ATMANE H A, TOUNSI A,MEFTAH S A， et al. Free vibration behavior of exponentially functionally graded beams with varying cross-section[J]. J Vib Control ,2011,17:311-318.

[10] WANG C Y,WANG C M. Exact vibration solutions for a class of nonuniform beams[J]. J Eng Mech, 2013,139:928-931.

[11] WANG C Y, WANG C M. Exact vibration solution for exponentially tapered cantilever with tip mass[J]. Vib Acoust, 2012,134(4):1313-1320.

[12] RAJASEKARAN S. Differential transformation and differential quadrature methods for centrifugally stiffened axially functionally graded tapered beams[J]. Int J Mech Sci, 2013,74:15-31.

[13] ESMAILZADEH E, OHADI A.Vibration and stability analysis of non-uniform Timoshenko beams under axial and distributed tangential load[J]. J Sound Vib, 2000,236:443-456.

[14] HUANG Y, YANG L E,LUO Q Z.Free vibration of axially functionally graded Timoshenko beams with non-uniform cross-uniform cross-section[J]. Compos Part B Eng, 2012,45:1493-1498.

[15] LI X F, KANG Y A, Exact frequency equations of free vibration of exponentially functionally graded beams[J]. Applied Acoustics ,2013,74:413-420.

[16] TANG A Y, WU J X.Exact frequency equations of free vibration of exponentially non-uniform functionally graded Timoshenko beams[J].International Journal of Mechanical Sciences, 2014,89:1-11.

[17] ATTARNEJAD R, SEMNANI S J, SHAHBA A. Basic displacement functions for free vibration analysis of non-prismatic Timoshenko beams[J]. Finite Elements in Analysis and Design, 2010,46:916-929.

Exact solution of the free vibration of exponentially non-uniform functionlly graded Timoshenko beams

(DENG HAO, CHENG WEI)

(School of Aeronautic Science and Engineering, Beijing University of Aeronautics and Astronautics, Beijing 100191,China)

Based on the state space variable replacement, the transfer matrix equation of a Timoshenko beam with axially exponential distributed functional gradation was derived. The exact solution of natural frequencies of the structure with multiple boundary conditions was obtained by the transfer matrix method and compared with the available analytical solution. The results show that the relation curve between the frequency and the gradient of the material is continuous and smooth, and there is no jumping phenomenon. Meanwhile the finite element method was used to verify the results. The effects of shear stiffness and moment of inertia on the natural frequencies of the structure were analyzed by comparing the results according to different beam theories. The calculation results show that the method presented is clear in physical concept and can reduce the computational complexity and the amount of computation.

state space variable; transfer matrix method; natural frequency; functionally graded materials; exponential gradient

2015-08-11 修改稿收到日期： 2016-01-15

鄧昊 男，碩士生，1991年10月生

程偉 男，博士后，教授，1961年4月生

TV312

A

10.13465/j.cnki.jvs.2017.06.013