無變形網格下運動參考系求解平動流固耦合問題

戰慶亮， 周志勇， 葛耀君

(同濟大學 土木工程防災國家重點實驗室，上海 200092)

無變形網格下運動參考系求解平動流固耦合問題

戰慶亮， 周志勇， 葛耀君

(同濟大學 土木工程防災國家重點實驗室，上海 200092)

為模擬平動渦激振動，采用一種無變形網格的計算方法。通過運動參考系模擬整個求解域的運動，結合非結構網格下高精度算法，在NS方程中引入運動參考系引起的對流項及采用新的邊界處理方式，通過構造合理的計算求解域，對低雷諾數下(Re=200)圓柱渦激振動進行了模擬，得到了圓柱渦激振動振幅以及詳細流場結構，與實驗結果和數值結果相比都得到了很好的一致性。并對不同阻尼比、頻率比等參數進行研究，詳細對比了不同振幅下尾流結構特征。結果證明了該計算方法是可行的、準確的。

運動參考系;渦激振動;運動邊界條件;渦振尾流特性;頻率比

隨著海洋工程和風工程等實際應用的需要，流固耦合問題體現出了廣泛的應用背景和重要的學術價值，其中渦激振動是一種常見的流固耦合問題。流場中漩渦的脫落，產生周期性的作用力于鈍體，由于自激作用，可能導致鈍體結構的振動幅度很大。渦激振動現象可能發生在粘性流體流經橋塔、高層建筑物、橋梁結構、海上石油鉆井平臺、煙囪等柔性結構物時,可能引起結構產生很大的位移，乃至造成災難性的后果。因此，在進行高層和大跨度柔性結構物設計前都要進行模型實驗，以避免渦激振動的發生。

對結構渦激振動通常采用實驗的方法，分為強迫振動方法和自由振動方法。強迫振動方法在早期研究中采用較多，通過研究不同振動情況所引起流場尾流的變化來解釋渦振機理，如KOOPMANN等[1]。然而此類實驗不能完全反映真實的渦振現象，因為強迫振動不能反應結構與流場相互影響的反饋作用。自由振動的方法則可完全反映渦激振動的特征，針對圓柱斷面的典型研究如GRINFFIN等[2]對不同雷諾數及流場參數的圓柱渦激振動進行了實驗研究，并詳細分析了圓柱渦激振動的影響參數，認為頻率比、質量比和阻尼是渦激振動的控制因素，并擬合得到了阻尼影響曲線。GOVARDHAN等[3]對渦激振動的臨界質量比問題進行了實驗研究，而RYAN等[4]和MORSE等[5]則分別研究了不同雷諾數情況下圓柱的渦激振動響應分支和尾流模式。

渦激振動的研究也可采用數值模擬方法,具有可以方便地改變各種參數,以研究不同參數影響的特點。目前渦激振動主要采用動網格技術來模擬流場與結構物的相互作用，如徐楓等[6]采用FLUENT軟件的動網格技術，通過用戶自定義函數功能求解物體運動方程，實現了低雷諾數二維圓柱渦激振動的數值模擬，并詳細分析了各參數對渦激振動的影響。曹淑剛等[7]采用CFX軟件及動網格技術，對三維圓柱的渦激振動進行了研究，同樣為低雷諾數計算，觀察到了順流頻率和橫向頻率的關系。陳文禮等[8]通過CFX軟件及RANS湍流模型，計算了中等雷諾數下的圓柱二維渦激振動，得到了較好的結果。BAHMANI等[9]采用離散渦方法，計算渦激振動，在雷諾數90～170之間，觀察到了2 s類型的渦脫。方平治等[10]通過松耦合方法，改進了求解渦激振動的計算方法，通過FLUENT軟件和GAMBIT軟件協同工作，實現了新的計算方法，并計算了雷諾數為100 的繞流問題。ZHOU等[11]采用離散渦方法計算了Re=200 的圓柱體渦激振動，將流體域用渦片來進行近似，分析了決定圓柱振動的影響參數。曹豐產[12]采用一般曲線坐標系和交錯網格方法的差分求解原理，計算了渦激振動。郭曉玲等[13-14]對工程中的串列雙圓柱和四圓柱的問題，同樣采用經典的動網格方法進行了研究。戰慶亮等[15]提出新的對流項離散格式，提高了計算的精度和穩定性，并用于亞臨界雷諾數圓柱繞流計算，得到了與實驗吻合好的結果。然而變形網格計算方法由于在計算過程中需要時時更新網格節點位置，這不但增加了迭代計算的計算量，而且難以保證網格質量，必然導致流場求解精度的降低。

本文采用了一種無變形網格的求解方法，即采用運動坐標系統，通過引入新的邊界條件施加方式，進行渦激振動數值模擬。為驗證求解方法的有效性和正確性，以Re=200的圓柱為研究對象，通過將本文的方法與作者編寫的高精度三維非結構化網格下有限體積法求解程序結合，完成了新方法的數值模擬。對計算得到的不同參數下結構運動特性、尾流特性等與相關文獻研究結果對比，評價本文程序和方法的有效性，為高雷諾數及復雜斷面渦激振動特性數值研究打下基礎。

1 模擬方法

1.1 運動參考系下流體動力方程

(1)

圖1 運動參考系下計算域示意圖Fig.1 Computational domain under the moving reference system

(2)

上述公式中，采用絕對速度作為變量的運動參考系下流動控制方程主要變化為：①質量守恒方程中流體絕對速度變為相對速度；②動量方程中對流導數計算時采用的是相對速度。因此絕對速度變量法的控制方程中不顯含運動參考系的加速度項，方程形式與慣性系下控制方程形式相同，這為本文離散處理和邊界處理提供了方便。對于本文采用的運動坐標系而言，輸運方程的有限體積法離散格式為：

(3)

式中n為圍成單元體面的個數，φf為通過面f待求解變量φ的通量；φf表示在面f處φ的梯度；Sφ表示源項、V表示控制體的體積。本文的運動參考系下離散格式中，控制體表面質量通量的計算表達式即相對速度的質量通量，這是運動參考系下方程離散過程中與固定參考系的最大區別。

1.2 邊界條件的處理

1.2.1 入口速度邊界條件

一般的速度入口邊界條件為第一類邊界條件，即給定了邊界處的速度值v=v(x,y,z,t)。而對于本文所采用的運動參考坐標系而言，參考坐標系的速度是待求的，因此邊界的速度值在求解之前是未知的。本文采用的速度入口邊界條件形式為：

v=vinit(r,t)+vviv(t)

(4)

式中r=r(x,y,z)為入口邊界單元的坐標；vinit(r,t)表示初始的速度入口邊界條件，其為空間位置和時間的函數；vviv(t)表示渦激振動引起的移動坐標系的速度。

1.2.2 壁面邊界條件

本文采用的是無滑移且可運動的壁面邊界條件，其形式為：

uwall(t)=uviv(t)

(4)

同樣的，uviv(t)的數值在計算開始之前是未知的，因此壁面速度也是在計算求解的同時而得到。為了統一高低雷諾數壁面計算的準確性，本文引入了適用于層流和湍流邊界層的壁面函數模型[17]，其結果可以解析表達為：

|τub|=

(6)

式中τub為壁面切應力，Δz為壁面處網格的垂直高度，uP表示平行于壁面的速度；常數A=8.3，B=1/7。

1.3 離散格式

在上述方程中，非結構化網格離散計算中的關鍵是提高對流項和擴散項的計算精度。上游格式的數值穩定性好，但是只有一階精度。DAVIDSON[18]提出將QUICK格式用于非結構化網格的構思，但是沒有具體實現及研究。姜華等[19]推導了三角形控制體非結構化網格QUICK計算方法，但其適用性有限且編程復雜，難以應用到三維計算中。本文采用了適用于三維非結構網格中二階精度格式：

φf=φU+[φQUICK-φU]=φU[Λf(φ

(7)

式中Λf為保證計算穩定的限制子(Limiter)。如圖2所示非結構化網格局部示意圖，f為面中心，C和N為單元體中心。若f面的外發現朝向單元N，則公式變為：

(8)

圖2 非結構化有限單元體離散示意圖Fig.2 Finite unstructured element discretization

式中上標0代表延遲修正項，也就是采用了顯示處理的高階修正，這樣能提高計算穩定性同時不損失精度。本格式精度的關鍵在于梯度的模擬，可以采用高斯方法或最小二乘法，這兩種格式都用到了單元體其余面的信息，因此包含了遠場(即上游)的高階影響。本文采用的是前者方法，并對梯度所得重構變量進行有界限制，采用VENKATAKRISHNAN[20]提出的適用于非結構化網格的限制子

(9)

式中i代表控制單元體編號，在非結構化網格計算中i+1/2=f；ε為與網格尺寸相關的參數，Δ為控制面相鄰被限制物理量的差。由于速度與壓力梯度的聯系體現在動量方程中，而連續性方程中不顯含壓力梯度，本文采用Rhie-Chow動量插值技術[21]克服由非交錯網格可能引起的非物理震蕩問題。

1.4 運動方程及模擬

本文將結構簡化為單自由度彈性支撐體系，運動控制微分方程為：

(10)

(b1m+b4c+k)u(t+Δt)=

(11)

1.5 時間推進策略

為提高精度并與本文所采用的達到二階精度的穩定的空間二階離散格式相匹配，本文采用的是全隱式二階時間離散格式。在每一時間步內進行迭代，稱為內迭代，直到達到收斂精度要求。時間推進稱為外迭代，根據存儲的前兩步的計算結果計算時間源項，進而進行下一時間步的內迭代求解。采用本文計算方法的內迭代步計算步驟可歸納見圖3。

圖3 非定常求解策略Fig.3 Solving procedure of unsteady iteration

2 計算結果及分析

2.1 算例網格劃分與參數選擇

本文計算區域為(如圖4所示)：流向長度30D，橫向長度20D，其中D為圓柱直徑。

圖4 計算區域及網格示意圖Fig.4 Computational domain and mesh arrangement

圓柱上游來流區域流向長度10D，下游區域流向長度為20D。在圓柱周圍5D范圍內采用O型網格。遠離圓柱的流場區域使用較稀疏的網格，而近尾流區采用較密的網格。XY平面內單層網格為15 000個單元。

2.2 靜止圓柱模擬結果

首先驗證本文基于有限體積法的非結構化網格計算程序用于低雷諾數圓柱繞流問題的準確性，利用上文離散方法，進行了Re=200下靜止圓柱的繞流計算。計算域和邊界條件按上文所述，結果如圖5所示。

圖5 靜止圓柱升力、阻力時程Fig.5 Lift and drag coefficients time-history of a static cylinder

其中阻力系數平均值為1.304，升力系數均方根為0.407。圖6為無量綱升力和阻力系數頻譜分析結果，存在明顯的卓越頻率，這是由于低雷諾數圓柱繞流尾流交替脫落的漩渦產生的周期性作用力導致的，其峰值對應Strouhal數,本文計算所得的Strouhal數為St*=f*D/U=0.188 7，其中f*為升力系數的卓越頻率(對應于漩渦脫落頻率)，U為來流速度，來流速度為待求絕對速度，也就是實際問題中的物理速度，不受運動參考系的相對速度影響。Strouhal數是計算浸入流場中結構渦激振動的重要參數，本文結果與文獻[11]的結果0.192 2和文獻[6]的結果0.180 7是接近的，可以滿足渦激振動的模擬精度要求，驗證了本文采用的層流計算程序的可靠性以及網格等參數的適用性。

圖6 靜止圓柱升力和阻力頻譜分析Fig.6 Lift and drag force spectrum of a static cylinder

2.3 圓柱渦激振動模擬

由于低雷諾數繞流為層流問題，流場結構較簡單，因此本文取固定的雷諾數為200來驗證運動參考系流體計算算法的正確性。實驗表明影響流場中彈性支撐圓柱渦激振動振幅的最重要參數分別為：①彈性結構自然頻率與靜止圓柱繞流的渦脫落頻率之間的比值fs/f*(即頻率比)；②無量綱化的質量比M*=m/ρD2L；③折合阻尼比Sg=8π2St*2M*ζ等，其中圓柱結構參數m、fs及ζ定義與式(10)定義相同，ρ表示流體密度，L為圓柱展向長度。GRINFFIN根據大量的實驗數據擬合得到了結構的渦激振動振幅變化與折合阻尼比之間的關系，并得到了著名的Grinffin曲線。GOVARDHAN等[22]對更多實驗數據[23]進行了修正的擬合，其中實驗條件包含風洞實驗和水洞實驗，實驗雷諾數為85～33 000。本文計算參數取質量比M*=1，頻率比fs/f*=1.3，折合阻尼比計算范圍為0.01～10，計算結果如圖7所示。通過對比，發現在低折合阻尼比時渦振振幅與實驗雷諾數有關，導致實驗值離散度較大；對應的高折合阻尼比情況下，渦振振幅與實驗雷諾數無關，實驗結果離散度較小。本文數值結果與低折合阻尼比和高折合阻尼比的實驗結果對比均得到了較好的吻合。同時文獻[22]給出Re=85～200低雷諾數范圍情況下層流實驗結果最優的擬合曲線，如圖7所示，可以發現本文計算結果與Govardhan低雷諾數修正后的擬合曲線一致性最好。

圖7 fs/f*=1.3 , M*=1時圓柱振幅隨Sg變化曲線Fig.7 VIV amplitude verse Sg for fs/f*=1.3 and M*=1

為進一步研究本文算法對圓柱渦激振動模擬的適用性，對頻率比fs/f*范圍為0.45～5.2，質量比M*=1，折合阻尼比Sg=0.01的情況進行了計算。圖8為本文計算所得渦激振動振幅隨頻率變化曲線，其中振幅采用兩倍均方差與圓柱直徑的比2Yrms/D來衡量，參考文獻[6-7, 11]的計算參數與本文計算參數均相同。與其他作者采用不同的計算方法和計算軟件相比，本文的方法得到了一致的結果。本文計算得到的渦激振動fs/f*起始范圍為fs/f*=0.9,振幅最大為fs/f*=1.5。本文計算所采用的質量比較小M*=1，因此圓柱在運動時所引起的其周圍流體運動而產生的附加質量不可忽略，導致實際計算中流固耦合系統的自然頻率不同于結構的自然頻率fs，導致最大振幅對應的頻率比不為1。

圖8 渦激振動振幅隨頻率比變化曲線Fig.8 VIV amplitude as function of frequency ratio

圖9為不同頻率比情況下圓柱受到的升力、阻力以及位移時程。由圖中可知，當fs/f*=0.45時，升力系數較靜止圓柱小很多，此時圓柱出現了振動現象，振幅較小，其位移時程曲線與升力時程曲線是“反相”的，即位移最大峰值處升力最小，振動接近等幅振動。當fs/f*=0.65時，升力進一步變小，此時升力與位移仍為“反相”。當fs/f*=0.9時，升力曲線與圓柱位移曲線之間的相位由“反相”變為“同相”，此時的升力更小，且在升力峰值處出現高頻脈動，這也就是通常所說的“相位開關”，而此時圓柱所受的阻力系數幅值開始增大。fs/f*=1.04、1.15、1.3過程中，升力系數與位移之間一直保持同相，且圓柱振幅不斷增大，同時圓柱所受升力也逐漸增大。當fs/f*=2.6時，物體振幅明顯變小，此時即已經不在“鎖定區間”，但與低頻率比不同的是此時物體位移與升力時程是“同相”的，運動為強迫振動。當fs/f*=5.2時，物體位移很小，其所受升力和阻力與靜止圓柱類似。

圖10為阻力均值和升力脈動值隨頻率比的變化曲線?？芍?，當頻率比fs/f*為0.45、0.65和0.9時，升力系數幅值是變小的，當頻率比繼續增大時升力增大，且當圓柱位移最大時即頻率比為1.5時達到最大。

由于本文采用的網格無相對變形，因此具有可跟蹤物體進行流場特性統計的優勢。圖11為計算所得流場形態特征。第一列為瞬時尾流渦量圖，第二列為統計20個渦脫周期的平均流向速度云圖，第三列為20個渦脫周期的平均流向脈動速度云圖，第四列為相應的橫向脈動速度云圖。可以看到，當fs/f*=0.45和0.65時，雖然圓柱做反相位的運動，但由于運動幅度較小，因此圓柱的尾渦形態跟靜止繞流時差不多；隨著頻率比的增大，圓柱振動幅度逐漸增大，尾渦形態開始發生改變，漩渦呈明顯的搖擺形態，且渦與渦之間的流向間距變小，橫向間距變大。當頻率比為1.5時，也就是振動幅度最大時，漩渦寬度最大。

為詳細研究尾流特征，對中心平面處流場順流速度和雷諾應力變化規律進行統計，如圖12所示。圖12(a)為中心平面處順流速度平均值對比，當物體位移較小時，隨著遠離圓柱表面，速度出現了負值，形成了尾流的回流區，此處的平均順流速度與外部流場方向相反。而隨著物體位移增大，順流速度的回流區逐漸變小甚至消失，圖11中的順流平均速度云圖中也可得到同樣的結果。圖12(b)為順流雷諾應力，圖12(c)為橫向雷諾應力分布。兩個方向的雷諾應力分布較為相似，均在尾流區有一個峰值，對應著速度脈動最大位置處。隨著物體位移增大，順流脈動和橫向脈動最大值更加靠近圓柱表面且最大值變大。圖12(d)為距圓柱尾部1D處是順流向的雷諾應力分布，可知尾流區雷諾應力對稱分布，出現兩個峰值，對應著尾流區的兩個漩渦位置。同樣發現隨著圓柱位移變大，順流雷諾應力形狀由尖角形變為光滑峰值，且絕對值變大。

圖9 不同頻率比升力、阻力和位移時程Fig.9 Lift、drag and displacement time-history with respect to various frequency ratios

圖10 阻力均值和升力脈動值隨頻率比變化曲線Fig.10 The mean drag force and the RMS lift force with respect to frequency ratios

3 結 論

(1) 為進行平動渦激振動模擬，本文引入了運動參考坐標系，給出運動參考坐標系下流動控制方程及有限體積法離散格式，并將其與有限體積法流體計算程序相結合，完成了平動流固耦合的數值模擬。

(2) 對Re=200的彈性支撐圓柱體進行了渦激振動模擬，研究振幅隨阻尼比變化情況，與實驗值得到了一致的結果。同時對頻率比范圍為0.45～5.2的圓柱渦激振動進行了計算，所得位移、平均阻力系數和平均升力均方差與參考文獻結果一致性好。

(3) 本文計算方法中采用的是無相對變形網格，因此計算中不必進行網格節點坐標迭代，不會引起動網格計算的附加計算時間，且可以保證大位移情況下的高網格離散精度，是一種高效且高精度的方法。進一步可用于高雷諾數、復雜斷面的渦激振動數值模擬。

圖11 不同頻率比尾流瞬時渦量圖和順流平均速度、順流雷諾應力及橫向雷諾應力云圖Fig.11 Instantaneous vorticity, mean X-velocity, X-Reynolds stress and Z-Reynolds stress figure

圖12 中心平面處順流速度平均值與雷諾應力值對比Fig.12 Streamwise mean velocity and Reynolds stress on the center line in the wake

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Translational fluid-structure interactive vibrationsimulation using fixed grid and moving reference frame

ZHAN Qingliang, ZHOU Zhiyong, GE Yaojun

(State Key Laboratory for Disaster Reduction in Civil Engineering, Tongji University, Shanghai 20092, China)

A new approach using fixed gird was adopted to simulate the translational motion of solid walls. Combining with a high-accuracy and high-stability algorithm in the condition of non-structured mesh, a solution over entire computational domain was achieved by use of the moving reference frame, which must be taken to consider the convection term of N-S equation. Meanwhile, the boundary conditions of the solid wall were specially treated with a new method. A reasonable computational domain was established to simulate the translational motion of a circular cylinder in the fluid with low Reynolds number of 200 and the vibration amplitude of the cylinder and the detailed flow field structure were obtained. Changing the ratio of the cylinder natural frequency to its wake vortex shedding frequency and the structural damping ratio, the vortex induced vibration amplitudes and the wake flow structures in the condition of different vibration amplitudes were compared and analysed. The results show that the computational method provided tends to be feasible and accurate.

moving reference frame; vortex induced vibration; moving boundary conditions; wake characteristics, frequency ratio

國家自然科學基金重大研究計劃集成項目(91215302)；國家重點基礎研究發展計劃(973計劃)(2013CB036300)。

2016-05-11 修改稿收到日期： 2016-08-15

戰慶亮 男，博士生，1987年5月生

周志勇 男，教授，博士生導師，1971年1月生

TH212；TH213.3

A

10.13465/j.cnki.jvs.2017.07.017