具有交叉感染的2種菌株對(duì)逼近模型分析

秦文惠，張菊平

(中北大學(xué)理學(xué)院，山西太原 030051)

具有交叉感染的2種菌株對(duì)逼近模型分析

秦文惠，張菊平

(中北大學(xué)理學(xué)院，山西太原 030051)

為了研究具有一般接觸率和用于治療的SIS對(duì)逼近模型及其動(dòng)力學(xué)性質(zhì)，針對(duì)2種菌株是否可以獨(dú)立生存，建立了一個(gè)在規(guī)則網(wǎng)絡(luò)上2種菌株有交叉感染的SIS對(duì)逼近傳染病模型。根據(jù)二項(xiàng)分布，利用節(jié)點(diǎn)的狀態(tài)相關(guān)系數(shù)得到一個(gè)12維系統(tǒng)，計(jì)算出模型的基本再生數(shù)，得出無(wú)病平衡點(diǎn)的局部穩(wěn)定性，進(jìn)而獲得了無(wú)病平衡點(diǎn)不穩(wěn)定的閥值。通過(guò)理論分析和數(shù)值模擬得出模型的無(wú)病平衡點(diǎn)無(wú)條件存在，即不穩(wěn)定。在研究了2種菌株獨(dú)立存在以及共同生存的條件后，可以看出2種菌株可以獨(dú)立生存，也可以相互感染。高維(12維)系統(tǒng)的引入，使得對(duì)逼近模型既能模擬疾病的傳播機(jī)制又能捕捉到疾病傳播所在種群的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)，因此將對(duì)逼近模型應(yīng)用到多菌株疾病的傳播中具有一定價(jià)值。

穩(wěn)定性理論；交叉感染；對(duì)逼近；閾值；穩(wěn)定性

引起傳染病的病原體的表現(xiàn)形式有許多種，引起同一種傳染病的病原體的不同表現(xiàn)形式稱為不同的菌株，如已測(cè)得的引起細(xì)菌性肺炎的肺炎球菌有60多種形式[1]。然而在處理方程時(shí)，會(huì)出現(xiàn)不封閉的情況。因此，通常情況下對(duì)所出現(xiàn)的三元組方程用相應(yīng)的對(duì)逼近的方法進(jìn)行封閉處理[2]，對(duì)逼近模型不僅考慮個(gè)體相關(guān)性和其差異，而且也體現(xiàn)個(gè)體特征。在過(guò)去的幾十年里，對(duì)逼近模型已經(jīng)得到了廣泛研究。例如：MATSUDA等[3-4]使用空間相關(guān)性對(duì)逼近計(jì)算的方法，研究了靜止?fàn)顟B(tài)下關(guān)于出生、死亡和遷移率的晶格生態(tài)模型；BAUCH等[5-7]建立了susceptible-infected-susceptible(SIS)流行病的對(duì)逼近模型,而且根據(jù)此模型進(jìn)一步給出了基本再生數(shù)。THOMSON等[8-9]在不考慮出生和死亡的情況下，在空間異構(gòu)晶格的網(wǎng)絡(luò)中建立了SIS傳染病模型的逼近有效性評(píng)估空間。然而，KEELING[10]建立的對(duì)逼近模型沒有考慮出生和死亡,而是考慮了相關(guān)的種群, 在研究群體水平的傳染病模型時(shí)，由于不同的個(gè)體往往處于不同的狀態(tài)，為了刻畫網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)狀態(tài)之間的相關(guān)性，KEELING在文獻(xiàn)[10]中提出了刻畫節(jié)點(diǎn)狀態(tài)相關(guān)性的相關(guān)系數(shù)以及同配系數(shù)CAB并獲得基本的繁殖數(shù)量。

本研究在規(guī)則網(wǎng)絡(luò)下應(yīng)用穩(wěn)定性理論探討SIS傳染病的對(duì)逼近模型，基于假設(shè)感染鄰居個(gè)體的數(shù)量滿足二項(xiàng)分布[11]，并將這個(gè)理論引入到兩菌株對(duì)逼近模型中。目前已經(jīng)引用了大量的對(duì)逼近模型來(lái)分析像天花、風(fēng)疹、乙型肝炎等由一種菌株引起的流行病問(wèn)題。縱觀以上的傳染病動(dòng)力學(xué)方面的研究工作[3,7-12]，還有許多傳染病的病原體是由多種菌株交叉感染共同作用引起的，如肺結(jié)核、艾滋病、登革熱、肺炎鏈球菌等。已測(cè)得的引起艾滋病HIV的病毒有很多種，而且每年還有新的病毒被發(fā)現(xiàn)。對(duì)具有多菌株的病原體所引起的傳染病來(lái)說(shuō)，研究相應(yīng)的控制方法很困難，即使接種疫苗，效果也不見好轉(zhuǎn)[9-15]。因此，多菌株傳染病動(dòng)力學(xué)的數(shù)學(xué)建模與研究引起許多科研人員的興趣，但是這方面的研究

還相對(duì)較少。對(duì)上述假設(shè)，很好地獲得了一個(gè)12維系統(tǒng)的對(duì)逼近模型[2]，并進(jìn)一步討論無(wú)病平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性及邊界平衡點(diǎn)的存在性。

1 模型的建立

將總?cè)丝?N)分為4類: 易感者(S), 被第1種菌株感染的染病者(I1), 被第2種菌株感染的染病者(I2), 同時(shí)被第1種和第2種菌株交叉感染的染病者(I12), 其在t時(shí)刻的數(shù)量分別用[S],[I1],[I2],[I12] 表示。假設(shè)βi表示第i種菌株感染的染病者Ii與易感者接觸的傳染率(i=1,2)，γi表示每類染病者的恢復(fù)率(i=1,2,3)，τ1表示被第1種菌株感染的染病者I1與被第2種菌株感染的染病者I2接觸的傳染率，τ2表示被第2種菌株感染的染病者I2與被第1種菌株感染的染病者I1接觸的傳染率，建立具有交叉感染的兩菌株對(duì)逼近動(dòng)力學(xué)模型，如圖1所示。

圖1 交叉感染的兩菌株對(duì)逼近模型流程圖Fig.1 Flow chart of approximation model of two strains of cross infection

(1)

由于N(t)=[S(t)]+[I1(t)]+[I2(t)]+[I12(t)]=0,所以總?cè)丝谑冀K保持一個(gè)常數(shù)，令[S(t)]+[I1(t)]+[I2(t)]+[I12(t)]=N,考慮無(wú)聚類節(jié)點(diǎn)的規(guī)則網(wǎng)絡(luò), 假設(shè)每個(gè)節(jié)點(diǎn)的鄰居數(shù)為n, 節(jié)點(diǎn)的染病者鄰居滿足二項(xiàng)分布, 參考文獻(xiàn)[11]可得：

A,B,C∈{S,I1,I2,I12}。

其他類似。

利用網(wǎng)絡(luò)的總規(guī)模不變及規(guī)則網(wǎng)絡(luò)的平衡條件：

[I12I12]+[SS]+[I1I1]+[I2I2]+2[SI1]+2[SI2]+2[SI12]+2[I1I2]+2[I1I12]+2[I2I12]=nN,

將系統(tǒng)(1)轉(zhuǎn)化為系統(tǒng)(2):

(2)

為了研究模型(2)的性態(tài), 引入刻畫網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)狀態(tài)之間的相關(guān)性, 由文獻(xiàn)[12]可得：

則有：

因此, 系統(tǒng)(2)轉(zhuǎn)化為系統(tǒng)(3):

(3)

顯然, 系統(tǒng)(3)的正向不變集為

0≤[I1]+[I2]+[I12]≤N,

2 平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性分析

系統(tǒng)(3)總存在無(wú)病平衡點(diǎn)E0=(0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0), 則在無(wú)病平衡點(diǎn)E0處的雅可比矩陣為

其中，a44=(n-2)β1,a55=(n-2)β2。

該矩陣對(duì)應(yīng)的特征方程為

(λ+γ1)(λ+γ2)(λ+γ3)(λ-a44)×

(λ-a55)(λ+γ3)(λ+(τ1+τ2))×

(λ+γ1)(λ+γ2)(λ+2γ3)(λ+γ3)=0。

假設(shè)n>2，則n-2>0，所以(n-2)β2>0，且(n-2)β1>0。故特征方程的特征根中具有2個(gè)非負(fù)實(shí)部的根, 從而無(wú)病平衡點(diǎn)E0不穩(wěn)定。

定理1 系統(tǒng)(3)的無(wú)病平衡點(diǎn)E0無(wú)條件存在，并且是不穩(wěn)定的。

下面討論邊界平衡點(diǎn)的存在性。

i)當(dāng)a>0,b<0,c>0時(shí)，系統(tǒng)(3)存在第1種菌株的一個(gè)邊界平衡點(diǎn)；

ii)當(dāng)a<0,b<0,c>0時(shí)，系統(tǒng)(3)存在第1種菌株的一個(gè)邊界平衡點(diǎn)。

證明 令[I2]=0,[I1]≠0,則[I12]=0。可得：

則系統(tǒng)(3)滿足：

(4)

解得：

(5)

(6)

將式(5)和式(6)代入式(4)中的第2個(gè)式子, 整理得：

a([I1])2+b[I1]+c=0。

其中：

下面對(duì)參數(shù)a,b和c的符號(hào)分別進(jìn)行討論。

i)當(dāng)a>0,b<0,c>0時(shí)，a，b，c的符號(hào)如下：

ii)當(dāng)a<0,b<0,c>0時(shí)，a，b，c的符號(hào)如下：

綜上所述, 可概括為表1。

表1 根的情形

i)當(dāng)a>0,b<0,c>0時(shí)，系統(tǒng)(3)存在第2種菌株的一個(gè)邊界平衡點(diǎn)；

ii)當(dāng)a<0,b<0,c>0時(shí)，系統(tǒng)(3)存在第2種菌株的一個(gè)邊界平衡點(diǎn)。

該定理的證明類似于定理2, 即與第1種菌株邊界平衡點(diǎn)存在性的證明對(duì)稱，這里不再說(shuō)明。

定理4 當(dāng)R1>1,R2>1時(shí)，系統(tǒng)(3)存在正平衡點(diǎn)。

3 數(shù)值模擬

在理論上討論系統(tǒng)(3)的無(wú)病平衡點(diǎn)和邊界平衡點(diǎn)的存在性的基礎(chǔ)上，本節(jié)將分析系統(tǒng)(3)以β1,β2,γ1,γ2,n為參數(shù)時(shí)平衡點(diǎn)的個(gè)數(shù)及類型[16-17]。

例1 當(dāng)R1>1時(shí), 系統(tǒng)(3)的模擬結(jié)果如圖2所示，固定參數(shù)如下。

圖2 a)中：n=3,γ1=0.01,β1=0.05,N=700,β2=0.05,γ2=0.1,τ1=0.05,τ2=0.05,γ3=0.15。

圖2 b)中：n=3,N=700,γ1=1.167,β1=0.9,β2=0.5,γ2=1.167,τ1=0.05,τ2=0.05,γ3=0.08。

圖2 當(dāng)R1>1時(shí)，系統(tǒng)(3)的仿真結(jié)果Fig.2 Simulation results of the system (3) when R1>1

例2 當(dāng)R1>1且R2>1時(shí)，系統(tǒng)(3)存在正平衡點(diǎn)的模擬結(jié)果如圖3所示。固定參數(shù)如下。

圖3 a)中：n=3，γ1=0.01，β1=0.05，β2=0.2，γ2=0.1，N=700，τ1=0.5，τ2=0.05，γ3=0.15。

圖3 b)為圖3 a)的放大圖，表明地方病平衡點(diǎn)在R1>1且R2>1時(shí)是穩(wěn)定的。

圖3 當(dāng)R1>1且R2>1時(shí)，系統(tǒng)(3)的仿真結(jié)果Fig.3 Simulation results of system (3) when R1>,R2>1

4 結(jié) 語(yǔ)

本文建立了一個(gè)考慮2種菌株具有交叉感染的對(duì)逼近傳染病模型，模型中節(jié)點(diǎn)的染病者鄰居遵循二項(xiàng)分布。通過(guò)分析對(duì)逼近傳染病模型獲得了一個(gè)12維方程組，由該系統(tǒng)(3)得到了基本再生數(shù)R0及無(wú)病平衡點(diǎn)E0的存在性。模型的無(wú)病平衡點(diǎn)E0無(wú)條件存在，并且是不穩(wěn)定的，當(dāng)R1>1,R2>1時(shí)，系統(tǒng)可能出現(xiàn)正平衡點(diǎn)。因此，基本再生數(shù)R0不再是模型的一個(gè)閾值。通過(guò)數(shù)值模擬證實(shí)了分析結(jié)果。從定理以及數(shù)值模擬的結(jié)果來(lái)看，兩種菌株可以獨(dú)立生存，且交叉感染后不會(huì)影響各自的性態(tài)。

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Analysis of pair approximation model of two strains with the cross infection

QIN Wenhui, ZHANG Juping

(School of Science, North University of China, Taiyuan, Shanxi 030051, China)

To study the dynamics of pair approximation SIS model with general comtact rate and treatment.The pair approximation SIS model with a cross infection two strains are established in this paper in view of the two strains could live independently. We got a 12d system using the node status correlation coefficient based on the binomial distribution. In addition, we concluded that the local stability of the disease-free equilibrium by calauating the model of the basic reproductive number, and then, the unstable threshold of disease-free equilibrium is found. Finally, model of the disease-free equilibrium existenced unconditionally and it namely is not stable through theoretical analysis and numerical simulation. The conditions of two strains exist independently and the common survival are studied in this paper, and then, we concluded that two strains can live independently, and also be infected with each other. The high dimensionality (12) system is studied. The approximation model not only simulate the spread of disease mechanism but also capture the spread of disease in populations of network structure. So it has a certain value that applying the approximation model to many strains of the spread of disease.

stability theory; cross infection; pair approximations; threshold; stability

1008-1534(2017)02-0103-07

2016-12-12;

2017-02-12；責(zé)任編輯：張 軍

國(guó)家自然科學(xué)基金(11301491)；山西省青年科學(xué)基金(2011021001-2)

秦文惠(1989—)，女，山西忻州人，碩士研究生，主要從事生物數(shù)學(xué)方面的研究。

張菊平副教授。E-mail:zhangjuping@nuc.edu.cn

O175.1

A

10.7535/hbgykj.2017yx02005

秦文惠，張菊平.具有交叉感染的2種菌株對(duì)逼近模型分析 [J].河北工業(yè)科技,2017,34(2):103-109. QIN Wenhui, ZHANG Juping.Analysis of pair approximation model of two strains with the cross infection[J].Hebei Journal of Industrial Science and Technology,2017,34(2):103-109.