高中函數問題的解題技巧研究

中國人民大學附屬中學(100080)

曹夢炘●

高中函數問題的解題技巧研究

中國人民大學附屬中學(100080)

曹夢炘●

本文根據自身經驗介紹了高中數學函數的相關問題，介紹了函數的基本概念和重要性，探討了函數基礎知識對函數解題的方法，尤其詳細分析了函數單調性在解方程、不等式和求參數取值范圍題型中的解題技巧.本文還總結了解決高中函數問題所需的能力以及解題過程的具體步驟，希望通過本文的總結對函數部分有困難的同學有所幫助.

高中數學；函數問題；解題技巧研究

一、函數單調性在解方程中的解題技巧

根據函數的單調性來解題，有可能使解題變得事半功倍.考慮函數在一定區域內的單調性是一種常用的解題思路，當我們遇見一些我們毫無頭緒的習題時，可以從單調性的角度出發，嘗試解題.從單調性出發，舉一反三，擴展自己的數學解題思路和視野，提升自主解決函數類題目的能力，提升數學自信心和降低對數學的抵觸程度，對自己和教師課堂的氛圍都很有幫助.我們使用單調性來解題，一般先要找到方程相應函數的單調區間.

在多做一些可以通過函數單調性性質來解題的題型之后，我們可以發現我們就是運用到了函數單調性的基本概念，對概念正過來使用或者反過來證明.第一步就是找到所求方程的原方程f(x)；我們可以假設f(x)為奇函數，那么f(x)=-f(-x)；再由單調遞增等條件就可求出方程的根.關鍵是找到題目的結構特征，并且快速反應到單調性這一點上.做題時思維的快速思索與反應，可以加深我們對數學知識的理解.

二、函數單調性在解不等式中的解題技巧

函數單調性在解不等式題型中也有廣泛應用.剛開始做不等式時，我們一般根據死記硬背的課本公式或者老師給予的經驗公式來做題，這在開卷時問題不大，但實際考試時，往往會出現各種問題.我們在平時做題中，要主動將不等式題型進行分類，廣泛使用數形結合等諸多經驗方法來解題.這樣，我們不僅提高了不等式題目的解題能力，同樣也提升了我們自己的函數思維和數學能力.我們可以將不等式假設為一個函數，放置于構想的單調區間內，這樣就可以探研所求不等式的單調性.所謂數形結合，就是從幾何的角度看問題，將簡單函數翻折和變換，作出函數的圖象，平移所作圖象，我們就可以清晰觀察公共點個數，從而完成解題.

三、函數單調性在求參數取值范圍題型中的解題技巧

有效運用題目給出的已知條件來解題，是解決一些看起來復雜、難懂題目的關鍵.參數取值范圍這類題型就是該類題型.我們可以使用函數單調性的性質來求參數的范圍，就是將表面的問題轉換為不等式的恒成立問題.這種情況下，解題過程中一般都涉及到多種不同的數學思路和知識點，因此，題目已知的各項條件都很重要且必不可少.同時，這也要求我們平時數學知識的積累夯實，系統的學習數學知識，這樣我們才能熟練地結合各項函數知識點，學以致用，函數問題靈活多變，應用也廣泛.我們要充分掌握基本的概念，并做到在解題時活學活用.

四、高中函數問題解題能力分析

高中數學函數的解題從根本上是檢驗我們高中生的空間想象能力、抽象總結能力、證明推斷和計算變形等基本能力，同時數學的求解也考查了我們的觀察能力、記憶能力和數學表達與交流的能力.我們要想學好函數這一模塊，經過總結，需要具體掌握如下逐條具體知識點或能力.

我們要理解和掌握函數各個概念自身與之間的關系，比如，定義域、值域與定義法則之間的關系與含義.函數題是由許多的函數符號構成的，靈活書寫與運用函數表達式是解函數題最基本要求.若連題目中的變量都不認識、都不理解，那做題也就無從談起了.做題，就是我們將腦中形成的思路和想法，用數學語言、數學符號表達到紙上.解決數學函數題，我們要善于看破紛亂復雜的題目表象，抓住題目的本質.歸納與提煉題目中有意義的條件，概括題目中的數學關系.函數題常用的解題思路有定義法與圖象法，具體情況具體分析，根據不同的情境，選擇判斷單調性還是作差和作商法.習慣用抽象思維和形象思維將幾何、圖象融合起來，簡化復雜問題，優化解題路徑.例如，我們就經常用作圖法探究函數的單調性和最值情況.提升計算能力和優化運算方式，對數學解題有著直接的影響關系.根據因果關系進行推理認證，是我們在證明應用題上經常見到，這考驗的是我們思維的邏輯性；最后，考試中，總會有我們之前見不到的新鮮題型.這就要求我們平時提升自己的創造力和創新思維，習慣舉一反三，提升直覺與靈感.

五、高中函數問題解題過程分析

當我們新入手一道函數數學題時，首先要審題，而且要認真審題.仔細查看題目中給予的明顯已知條件和隱藏的已知條件與問題.挖掘已知條件與未知求問之間的關系，在腦海中虛擬構建題目已知條件和所學知識點的關系，深刻理解題目.在仔細審題之后，我們要考慮解題的方法與策略.在腦海中構建一個虛擬的模型.嘗試組合所學知識點，看能否“解鎖關卡”.第三個部分就是實施上一步的解題思路.要將腦中的計劃用數學語言表達出來，這實實在在地考驗著我們的各項數學能力，檢驗我們的數學知識是否掌握扎實、檢驗思維是否靈活、檢驗我們能否順利表達數學思想.最后，要對我們寫下的步驟進行檢查，查驗是否求對未知參數、檢驗證明條件是否遺漏、檢驗公式、求導和計算是否正確等等.在函數解題過程中，定理、公式極為重要.錯誤的公式，會使我們這道題所有的努力化為烏有.因此，我們在記憶公式時，要充分熟悉和了解公式的意義和適用范圍，盡可能地了解公式的推理過程，體會其中的函數思維，了解公式間的聯系，并從大量的練習中掌握公式的正確使用和靈活應用.

綜上所述，函數的重要性，我們無需多言.各種各樣的不同題型，需要不同的解題思路.當我們一籌莫展時，函數的單調性往往是函數題目最佳的突破口.我們可以從函數單調性出發，較為輕松地完成解題.數學學科由于其具有其高抽象性、強邏輯性等特點，這就要求我們在平時練習中積累各種上文所述的數學能力.我相信，做到牢打根基，廣泛拓展，積極創新，挑戰自己，超越自我，那么就沒有克服不了的數學問題.

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