一類偏微分方程邊值問題的有限差分格式

武文佳

(上海電機學院 數理教學部, 上海 201306)

一類偏微分方程邊值問題的有限差分格式

武文佳

(上海電機學院 數理教學部, 上海 201306)

對一類二維常系數橢圓型偏微分方程，建立了一種四階緊有限差分格式。證明了有限差分解的存在性和唯一性，用離散能量分析的方法給出了數值解的L2-范數和H1-范數誤差估計。

常系數橢圓邊值問題； 緊有限差分格式； 誤差估計

偏微分方程在自然科學、工程技術、力學、生物學以及化學等領域都有著廣泛的應用。科學和工程中的許多數學模型都可以用偏微分方程來描述[1-3]，對偏微分方程的求解在科學研究過程中尤為重要。絕大多數偏微分方程的定解問題都無法給出精確的解析解，因此，微分方程的數值求解引起了學者廣泛的關注。

近年來，有限元方法、有限差分及譜方法等已經成為微分方程數值求解的主要方法[4-9]。有限差分方法是用于求解微分方程定解問題最常用的數值逼近方法。本文對一類常系數二維橢圓型偏微分方程，建立了一種四階緊有限差分方法，并給出了相應的理論分析。

1 四階有限差分格式的建立

本文主要研究如下二維常系數橢圓邊值問題：

(1)

式中，Ω?R2為矩形區域的組合；函數f(x,y,u)和φ(x,y)在定義域內充分光滑，函數f(x,y,u)關于u為非線性的；a、b、c、d為不依賴于(x,y)的常數，且a>0,b>0。

(2)

引入如下中心差分算子:

(3)

用上述算子替換式(1)中的微分算子，得

(4)

式中，τi,j為截斷誤差，

(5)

(6)

式中，系數

(7)

定義有限差分算子

(8)

設σ=hx/hy為步長比，計算可得

(9)

式中，

(10)

且

(11)

(12)

顯然，由式(11)可知，存在正常數h*，使得對所有的hx

q(k1,k2)≥0,k1,k2=-1,0,1

(13)

上述性質表明算子Ph為非負的。假設

(14)

同樣由式(10)、(11)可知，給定任意非負常數M，存在正常數h(M)，使得對所有的hx

(15)

在實際計算中，h(M)和h*的精確值可通過計算p(k1,k2)和q(k1,k2)得到[11]。

(16)

定理1表明，算子Lh具有連續算子同樣的極值原理。

2 有限差分解的存在性

本文用上、下解的方法研究緊有限差分格式(式(12))解的存在性和唯一性。首先給出差分格式(式(12))的上、下解的定義。

(17)

且引入如下記號:

(18)

(i,j)∈Ωh

引理1 假設式(14)成立，M為非負常數。若hx

(19)

證明 根據式(19)，結合文獻[13]中260頁的定理1可證引理1的結論成立。

由引理1可得到極大解和極小解的存在性結果如定理2所示。

定理 2 假設式(14)成立，如果

證明 取迭代初始值

通過Picard型迭代

(20)

(21)

(22)

再根據引理1可得

即

同理可證

這就證明了式(21)在m=1時的情形。最后，由數學歸納法可知，對所有的m≥1，式(21)均成立。

由式(21)可知，極限

改革開放初期，上海主要電源點僅有閘北、楊樹浦、南市、閔行和吳涇電廠，電力供應特別緊張。經過40年的發展，上海電力供應形成1/3市內和2/3市外的總格局，基本解決了電力供應保障的問題。

(23)

存在且滿足

(24)

3 有限差分解的唯一性

(25)

記

?xvi,j=(vi+1,j-vi,j)/hx

?yvi,j=(vi,j+1-vi,j)/hy

對任意的vi,j∈Vh,引入如下Sobolev范數：

(26)

簡單計算可知，對任意vi,j,ωi,j∈Vh，有

(27)

及

(28)

引理2 對任意vi,j∈Vh，有以下估計式：

(29)

證明

(2) 為了證明式(29)中第2個估計式，注意到

(30)

式中，

(31)

則由式(27)、(28)，有

(32)

且

(33)

由式(27)可知

(δxv,v)=-(v,δxv)

這說明

同理可得

因此有

(L3v,v)=0

(34)

將式(32)～(34)代入式(30)，可得到式(29)中第2個估計式。

(3) 根據式(27)可得

這就證明了式(29)的第3個估計式成立。

下面根據上述引理2，證明有限差分解的唯一性。

定理3 設定理2的條件成立，若

(35)

(36)

(37)

這表明

因此由引理2可得

再結合式(35)可知

即對所有的(i,j)∈Ωh，有

定理3表明，本文構造的緊有限差分格式(式(12))的解是唯一的。

4 有限差分格式的誤差分析

(38)

(39)

(40)

式中，

(41)

則當hx

故可得

由上述估計和引理2可知式(41)成立。

定理4表明，本文建立的緊有限差分格式具有四階精度。

[1] LIAO Wenyuan. A fourth-order finite-difference method for solving the system of two-dimensional Burgers’equations [J]. International Journal for Numerical Methods Fluids, 2010,64(5): 565-590.

[2] ?ZISIK M N. Boundary Value Problems of Heat Conduction [M]. New York：Dover Publications,1989.

[3] GUPTA M M，MANOHAR R P，STEPHENSON J W. High-order difference schemes for two-dimensional elliptic equations [J]. Numerical Methods for Partial Differential Equations，1985(1)：71-80.

[4] BERIKELASHVILI G, GUPTA M M，MIRIANA-SHVILI M. Convergence of fourth order compact difference schemes for three-dimensional convection-diffusion equations [J]. SIAM Journal on Numerical Analysis,2007,45(1)：443-455.

[5] GOPAUL A，BHURUTH M. Analysis of a fourth-order scheme for a three-dimensional convection-diff-usion model problem [J]. SIAM Journal on Scientific Computing，2006，28(6)：2075-2094.

[6] WANG Xuan，YANG Zhifeng，HUANG G，et al. A high-order compact difference scheme for 2D Laplace and Poisson equations in non-uniform grid systems [J]. Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation，2009，14(2)：379-398.

[7] WANG Jie，ZHONG Weijun，ZHANG Jun. A general meshsize fourth-order compact difference discretization scheme for 3D Poisson equation [J]. Applied Mathematics and Computation，2006，183(2)：804-812.

[8] ZHANG Jun. Multigrid method and fourth-order compact scheme for 2D Poisson equation with unequal mesh-size discretization [J]. Journal of Computational Physics，2002，179(1)：170-179.

[9] 張蕾.幾類偏微分方程非標準有限差分格式的研究 [D].哈爾濱，哈爾濱工業大學，2014：1-12.

[10] SUTMANN G，STEFFEN B. High-order compact solvers for the three-dimensional Poisson equation [J]. Journal of Computation and Applied Mathematics，2006，187(2)：142-170.

[11] 武文佳．一類二維半線性橢圓邊值問題的四階緊有限差分格式 [J]．上海電機學院學報，2013,16(1/2):88-92.

[12] 武文佳. 一類橢圓邊值問題緊有限差分方法的單調迭代算法 [J].上海電機學院學報,2014,17(5):283-287,310.

[13] SAMARSKII A A. The Theory of Difference Schemes [M]. New York：Marcel Dekker, Inc， 2001:260.

[14] SUN Z Z. Numerical Methods of Partial Differential Equations [M]. Beijing: Science Press,2005:260.

Finite Difference Scheme for a Class of Boundary Value Problems

WUWenjia

(Department of Mathematics and Physics, Shanghai Dianji University, Shanghai 201306,China)

A fourth-order compact finite difference scheme is proposed for a class of two-dimensional elliptic boundary value problems with the constant coefficients. Existence and uniqueness of finite difference solutions are investigated. Convergence and the fourth-order accuracy of the proposed method are shown with respect to discreteL2-andH1-norm.

elliptic boundary value problem with constant coefficients; compact finite difference scheme; error estimation

2016 -11 -13

上海電機學院學科建設項目資助(16JCXK02)

武文佳(1985-)，女，講師，博士，主要研究方向為偏微分方程數值解，E-mail: wuwj@sdju.edu.cn

2095 - 0020(2017)01 -0056 - 07

O 241.82

A