不同災后救援情境下醫(yī)療人員與醫(yī)療物品最優(yōu)訂購的報童模型*

張小路，劉德海

(1.東北財經大學 經濟學院，遼寧 大連 116025；2.東北財經大學 管理科學與工程學院，遼寧 大連 116025)

0　引言

地震、海嘯等各類自然災害對人類社會造成巨大危害。根據2010年《民政部發(fā)布2009年全國自然災害損失情況》報道，2009年全國各類自然災害共造成約4.8億人(次)受災，死亡和失蹤1 528人，緊急轉移安置709.9萬人(次)，因災直接經濟損失2 523.7億元。在重大自然災害的救援過程中，醫(yī)療人員與醫(yī)療物品的最優(yōu)配置(訂購)是1個重要問題，尤其是面對不同類型的災害，對于醫(yī)療人員和醫(yī)療物品存在著不同的需求。例如：2004年的印度洋海嘯，其遇難者總人數已經超過29.2萬人，當時急需驗尸人員以辨別死者身份，而由于印尼的特殊地理位置，導致驗尸人員只能通過直升機進入災區(qū)，進一步加劇驗尸人員的急需性[1]。2008年汶川地震災后救援中，藥品和醫(yī)用耗材器械一直處于急需狀態(tài)，其中青川縣急需用于救治1.2萬名受傷人員的藥品和醫(yī)療設備[2]。因此，重大災害應急救援過程中，各種不同醫(yī)療救援資源的急需性以及需求量的不確定性，使如何合理有效地配置各種醫(yī)療救援資源成為難點。

當前自然災害應急管理已經成為管理科學界熱點問題之一[3-4]，針對災害救援物資供給方面的研究主要集中于庫存管理、倉庫選址和物資運輸等方面。在現有關于救援物資的庫存管理的成果中，主要集中于討論應急物資庫存管理的最優(yōu)化，在傳統(tǒng)庫存管理模型的基礎上，通過修正提前期的數值、調整訂貨策略以適應應急救援情形，研究預先部署的倉庫群在應急情形發(fā)生時的快速響應問題，評估其成本結構的變化以及缺貨的風險[5]；將保險費用和支付元素導入規(guī)劃模型，討論應急供應鏈的庫存決策問題，然后設定多種物資的需求量為變量，且與災害的特征(如颶風的強度和路徑變化)有關，討論應急救援活動中的復雜庫存管理策略[6-9]；將應急物資劃分為響應期物資和恢復期物資2個部分，基于2類物資的關系建立基于跨期一體化的最優(yōu)訂貨量單周期庫存模型[10]；對于不確定環(huán)境下模糊應急物資庫存，設立離散單周期單物品的庫存模型，并得出在需求隨機、需求模糊隨機、需求隨機且成本模糊的最優(yōu)訂購策略表達式[11]；基于時效性準則，構建應急物資訂貨分段函數模型，在估算出需求速率和訂貨提前期的情況下，求解最佳訂貨量和訂貨批次，初步建立以時效性最佳為目標的庫存控制理論[12]。綜合上述成果，現有研究集中在不同災害情景下應急物資的最優(yōu)調度問題，但是對于醫(yī)療人員的最優(yōu)配置研究較少，尤其是醫(yī)療人員和醫(yī)療物品2種應急資源的最優(yōu)配置問題尚較少涉及。

報童模型是廣泛應用于需求不確定條件下訂貨問題的模型，許多專家學者進行大量研究。其中多產品報童問題(MPNP)是報童模型的1個重要分支，受到國內外學者的廣泛關注。對MPNP的相關研究主要集中于目標函數、產品替代、約束條件等3個方面。約束條件方面主要集中討論預算約束，通過幾個極小極大化遺憾公式表達1個預算約束，求解出該種情形下的最優(yōu)解[13]；考慮補貨數量總價值的預算約束和補貨的固定成本的多產品報童模型，利用動態(tài)規(guī)劃法進行求解[14]；另外可以利用嚴格的、近似的及遺傳迭代算法的方法求解單種約束下的多產品報童問題；而對于多種約束下的多產品的報童模型，則采用二次規(guī)劃方法求解，并且可以將多產品報童模型擴展到隨機產出情形下的模型，求解在隨機產出和隨機需求情形下的最優(yōu)解[15-18]。

雖然帶有約束的2產品報童訂購模型已經廣泛應用于時尚健身行業(yè)、制造及零售業(yè)的輔助決策、航空和旅館的管理容量和評估預訂等領域中，但是在災害救援領域，除Arian Aaki等人首次將報童模型運用于災后救援中[19]外，其它類似應用研究較少發(fā)現。因此，針對不同災害類型下災后醫(yī)療救援物資在需求不確定條件下的訂購問題，運用報童訂購模型分析政府對于醫(yī)療人員以及醫(yī)療物品訂貨決策的期望收益函數，建立訂購模型，并通過數值分析得出各變量對政府決策的影響。研究結果有助于分析災后救援中政府的決策行為，對政府合理利用資源、提高災害救援效率有一定借鑒意義。

1　問題描述與模型構建

1.1　基本假設

在災害救援中，同時考慮災民對醫(yī)療人員和醫(yī)療物品這2種資源的需求是隨機的，假設政府具有損失厭惡特征，那么如何構建訂貨決策模型，來描述在災害救援中，政府醫(yī)療資源的最優(yōu)訂購行為成為急需解決的關鍵問題。為了更清楚地界定模型，作如下基本假設。

假設1：醫(yī)療人員在救援過程中需要配備多種必要的醫(yī)療器械和藥品，即醫(yī)療人員與醫(yī)療物品之間存在著互補關系。這里的互補是指醫(yī)療人員要配備一定數量的醫(yī)療物品才能順利實施救援，即在災害救援中，醫(yī)療人員不能在沒有必要的醫(yī)療物品情況下對災民實施救援，同時如果僅僅運輸相應的醫(yī)療物品(藥品、器械等)，但是缺乏必要的醫(yī)護人員，也難以實施有效的救治。根據不同的災害類型，醫(yī)療人員和醫(yī)療物品之間存在著不同的互補關系。具體來說，在2004年印度洋海嘯期間，不同國家由于受災情況不同，對于醫(yī)療人員和醫(yī)療物資的需求情況也不盡相同，例如在受災最重的印尼，由于幸存者很少，此時急需驗尸人員辨別死者身份，此時醫(yī)療人員與醫(yī)療物資的互補系數較小。但是，在2008年汶川地震重傷員的災后應急救援過程中，對藥品、醫(yī)療器械的需求比較集中，簡單包扎和傷員轉運等醫(yī)療救護任務甚至專業(yè)志愿者也能夠承擔，此種類型災害下，2者的互補系數較大。

假設2：在災后救援過程中，政府免費提供相應的醫(yī)療物品，同時災民在一定時期內可以免費領取存儲備用，并通過一些簡單的自救知識而自行使用，因此假定其退貨補貼為零。

假設3：基于汶川地震等災害救援的經驗，超出救援需求的醫(yī)療人員和志愿者等剩余人員，將增大災區(qū)飲用水、食品、帳篷等日常生活用品的需求，不利于救援工作的開展。因此假定醫(yī)療人員的退貨補貼為負數，即當調配的醫(yī)療人員超出最大需求量時，反而不利于災害救援的順利實施。

假設4：在進行訂購決策時，由于醫(yī)療人員與醫(yī)療物品的需求不確定性，使得政府無法準確預測訂購量，因此會導致訂購量與實際需求量不符的情況，從而需要承擔缺貨成本或者獲得多余產品的退貨補貼，假定只考慮采購成本、缺貨損失和退回補貼。

1.2　模型建立

針對模型中的有關變量，作出如下定義：i為資源下標，i=1,2，其中i=1表示醫(yī)療人員，i=2表示醫(yī)療物品；pi為資源帶來的單位效益；ci為資源的單位成本；ri為單位缺貨損失；si為退回補貼；xi為政府的訂購數量，是決策變量；Di為需求量，f(D1,D2)，F(D1,D2)分別表示D1，D2的聯(lián)合概率密度函數和聯(lián)合累積分布函數。根據假設，1，2種醫(yī)療資源訂購量需要滿足x2≥kx1，其中k>1。

根據隨機需求下的報童模型的基本假設可知，醫(yī)療人員的期望收益可表示為：

(1)

同理，醫(yī)療物品的期望收益可以表示為：

(2)

可得政府的決策問題為：

(3)

s.t.x1≥0,x2≥0,x2≥kx1

根據海瑟矩陣，可以證明上述最優(yōu)化問題存在最優(yōu)解。

1.3　模型求解

命題1. 式(3)所表達的模型存在最優(yōu)解。

證， 將目標函數(3)整理為：

(4)

其海瑟矩陣為：

(5)

由于海瑟矩陣(5)的一階順序主子式為|H1|=-(p1-s1+r1)f1(x)<0，二階順序主子式為|H2|=(p1-s1+r1)(p2-s2+r2)f1(x)f2(x)>0，即該海瑟矩陣是負定的，故上述決策問題存在最優(yōu)解。

下面利用KKT條件來求決策問題(4)的最優(yōu)解。

首先，構造其Lagrange函數為：

(6)

KKT優(yōu)化條件如下：

λ1x1=0

(7)

λ2x2=0λ3(x2-kx1)=0λ1,λ2,λ3≥0

聯(lián)立上述式子，即可得到各決策變量的理論最優(yōu)解，即滿足式(8)的x1,x2為上述決策問題的最優(yōu)解：

-(p1-s1+r1)F1(kx2)-k(p2-s2+r2)F2(x2)+

(p1-c1+r1)+k(p2-c2+r2)=0

(8)

x2=kx1

2　數值分析

通過改變參數的取值來進一步對模型進行分析，僅分析k的變化對醫(yī)療人員及醫(yī)療物品的最優(yōu)訂購數量的影響。由于k>1，分別取k為1.2，1.4，1.6，1.8，2.0，2.2，其余參數取值不變，帶入模型求解，醫(yī)療人員的最優(yōu)訂購數量的變化規(guī)律如圖1所示。

圖1　不同災害類型(互補系數)對醫(yī)療人員或醫(yī)療物品最優(yōu)訂購數量的影響Fig.1　Effects of different types of disasters (complementarycoefficient) on the optimal order quantity of medical personnel or medical items

分析圖1可以得出如下結論：

1)隨著不同災害類型的互補系數k增加，即單位醫(yī)療人員所需而配備的醫(yī)療物品數量的減少，醫(yī)療人員的最優(yōu)訂購數量呈相應減少的趨勢，且這種減少的趨勢越來越平緩；隨著互補系數的增加，醫(yī)療物品的最優(yōu)訂購數量也呈相應減少的趨勢，且這種減少的趨勢也是越來越平緩。

2)醫(yī)療人員的最優(yōu)訂購數量一直小于醫(yī)療物品的最優(yōu)訂購數量。由圖1可以看出，雖然2種資源的最優(yōu)訂購數量都是隨著互補系數的增加而減少，但是醫(yī)療人員的最優(yōu)配置數量的變動更加明顯。

3　結論

1)在災害救援過程中，醫(yī)療物品最優(yōu)訂購數量與其成本成反比；醫(yī)療物品最優(yōu)訂購數量與醫(yī)療人員最優(yōu)配置數量成正比，與其退貨補貼成正比。

2)醫(yī)療人員和醫(yī)療物品的最優(yōu)配置(訂購)數量需要滿足基本的互補關系，2者之間比例系數反映不同類型自然災害對于醫(yī)療救援資源的需求差異，隨著2種醫(yī)療救援資源之間的比例系數的增加，醫(yī)療人員及醫(yī)療物品的最優(yōu)訂購數量均有所下降，但是下降趨勢趨于平緩。

3)還可做進一步拓展，如在約束條件方面僅僅考慮醫(yī)療人員與醫(yī)療物品之間的互補關系，并未考慮政府的預算約束等；另外，在數值分析時假設2種資源的需求獨立同服從于均勻分布，這與實際可能不完全相符，將是進一步的研究方向之一。

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