三棱鉆桿粉體負載扭矩計算模型研究*

薛　斐

(中國礦業大學(北京) 資源與安全工程學院，北京 100083)

0　引言

近年來，隨著煤礦開采深度的增加，在深部煤層中，具有突出危險性的松軟煤層愈加頻繁，直接影響了煤礦的安全生產。松軟煤體是區域地質活動的產物，自身力學強度較低，瓦斯含量、壓力普遍偏高。對于松軟煤層高瓦斯問題而言，只有通過有效抽放才能使煤體充分卸壓，保障掘進、回采工藝。然而，松軟煤層自身力學強度極低，在打鉆過程中經常出現塌孔、堵孔問題，嚴重制約了瓦斯抽采鉆孔的施工。

目前，在松軟煤體中打鉆一般選擇風力排渣方式，主要鉆桿之一即是三棱鉆桿[1]。三棱鉆桿抗彎折能力較強，在自轉的同時，可以充分攪動鉆孔內煤粉，使煤粉呈懸浮狀態，大大增加了風力排渣的效率，在軟煤打鉆中具有較突出的應用前景。

國內外學者對于三棱鉆桿的研究工作主要集中在以下兩個方面：一是針對三棱鉆桿應用效果的現場試驗[1-6]；二是針對三棱鉆桿強度問題的斷裂分析與研究工作[7-12]。然而，對于三棱鉆桿排粉過程中的扭矩計算問題，國內外學者并未作詳細研究，相關文獻較少[13-15]。

隨著煤礦井下對瓦斯抽放問題越來越重視，松軟煤層的鉆孔問題亟待解決。在這個問題上，只有充分分析和研究三棱鉆桿的排粉過程，才能更好地利用三棱鉆桿完成松軟煤層地成孔，最終保障煤礦井下人員的安全生產。

因此，本文針對三棱鉆桿的轉動排粉問題，提出假設并建立轉動物理模型，得到了模型參數的解析解，對于三棱鉆桿排粉動力學研究工作具有參考價值。

1　基本假設

1.1　三棱鉆桿排粉過程分析

三棱鉆桿具有3個圓弧形棱邊結構，該結構可以不斷地對煤粉形成攪動，為了進一步充分利用該優勢，鉆桿外棱直徑一般會接近鉆孔孔壁直徑。這對于三棱鉆桿攪動煤粉具有重要作用。

在一般工況條件下，三棱鉆桿高速轉動，3條圓弧棱邊結構充分攪動鉆孔內煤粉顆粒群。環向方向上，煤粉顆粒群在棱邊結構攪動下，環向速度不斷提升，最終在棱邊結構與鉆孔孔壁的合力作用下，達到與三棱鉆桿相同的角速度共同旋轉；軸向方向上，壓風風流從孔底流向孔口，由于三棱鉆桿的高速攪動作用，煤粉顆粒無法沉積，只能在斷面呈懸浮狀態，風流充分攜帶煤粉排出孔外，達到高效排粉的目的。

在排粉過程中，鉆桿僅存在自轉現象，因此對煤粉僅存在環向作用力，不存在軸向推動力；同理，風流與煤粉的作用僅存在于軸向方向上，并無環向作用。可以認為，煤粉顆粒群的軸向運動與環向運動是彼此獨立的。

三棱鉆桿在高速轉動過程中，對于煤粉的攪動作用非常大，遠遠大于煤粉顆粒自身的重力，因此，煤粉顆粒的自重在這一過程中可以忽略不計。

1.2　基本假設的提出

基于以上分析結果，提煉出以下基本假設：

1)三棱鉆桿自轉僅與煤粉環向運動有關，與煤粉軸向運動無關。

2)三棱鉆桿圓弧棱邊與孔壁接近，呈準接觸狀態。

3)煤粉在三棱鉆桿的高速攪動下，呈準充填狀態，均勻分布于排粉空間。

4)環向方向上，三棱鉆桿與煤粉共速、勻速運動。

5)環向方向上，煤粉顆粒群整體運動，不考慮層間相對滑動。

6)煤粉質量與鉆桿攪動力相比十分小，可忽略不計。

2　物理模型的建立

三棱鉆桿的棱邊結構攪動煤粉是環向運動過程，而煤粉軸向與環向運動過程是彼此獨立的。因此在構建物理模型時，可以忽略鉆孔內部煤粉軸向運動過程，僅考慮與軸向垂直的斷面內部的運動過程，如圖1(a)所示。

在鉆孔斷面內，圓弧棱邊結構十分接近孔壁，可以保證對于絕大多數煤粉的攪動作用。同時，在環向運動穩定后，也即煤粉顆粒群在合力作用下與棱邊結構共速轉動過程中，棱邊結構可以直接推動煤粉顆粒群整體運動，而不會產生煤粉顆粒群層間相對運動。

如圖1(a)所示，三棱鉆桿斷面結構中存在一個自轉區，該區域在三棱鉆桿自轉過程中同步自轉。但是，該自轉區與煤粉顆粒群呈點接觸(斷面方向)，且無限小，因此在模型構建過程中，該區域不參與煤粉顆粒群運動過程。

在忽略中心自轉區后，三棱鉆桿的實際作用結構僅存三個類三角結構，而這三個類三角結構完成了對煤粉顆粒群的環向作用。在這一過程中，自轉區等同于靜止不動，而類三角結構在自轉區上滑動，滑動的過程中對煤粉顆粒群產生環向作用，而這一作用主要是由類三角形運動方向的迎面提供。因此，在對煤粉作用的過程中，不考慮背面相互作用力。對于圓弧面而言，曲率與鉆孔曲率相同，在煤粉運動過程中，僅存在環向摩擦力；又因為該結構遠遠小于三角形的長邊，因此在模型構建中可以忽略。

圖1(b)給出了穩定狀態下鉆孔斷面的力學模型，鉆孔半徑為R，棱邊結構半徑近似等于R，此時煤粉顆粒群在合力作用下均勻分布于鉆桿與孔壁的間隙內，張角為2θ。分析可知，煤粉顆粒群受到類三角結構迎面施加的垂直作用力FN、由于相對滑動的趨勢而產生的摩擦力f、孔壁對煤粉顆粒群施加的反作用力F反以及相對滑動產生的反向摩擦力f反。在與徑向垂直的方向上，類三角形與孔壁對煤粉顆粒群的摩擦力互相平衡；在徑向方向上，煤粉顆粒群在孔壁與類三角形的合力提供的向心力的作用下，繞鉆孔中心作勻速圓周運動。

3　物理模型的求解

3.1　求解過程

1)主方程組表達式

由于實際打鉆過程存在于三維空間，各項參數也是在三維空間求取的，計算模型的求解過程必須符合三維空間量綱。因此，在鉆孔軸向方向上取單位長度進行分析計算，基于上述物理模型，軸向單位長度上煤粉顆粒群運動過程滿足下列主方程組，

(1)

式中：F反為孔壁對煤粉顆粒群的反作用力，N；FN為鉆桿對煤粉顆粒群的作用力，N；f為鉆桿對煤粉顆粒群的摩擦力，N；f反為孔壁對煤粉顆粒群的摩擦力，N；m為煤粉顆粒群質量，kg；r為煤粉顆粒群質心相對于鉆孔中心的距離，m；w為煤粉公轉角速度，也即三棱鉆桿自轉角速度，rad/s。

2)FN，f的表達式

設，類三角形結構迎面施加的正應力為σN，切應力(摩擦力)為τN，則

(2)

式中：σN為鉆桿對煤粉顆粒群的正應力，N/m2；τN為鉆桿對煤粉顆粒群的切應力，N/m2；R為鉆孔半徑，m；1代表單位長度，m；θ為煤粉覆蓋張角的一半，rad；μ1為鉆桿與煤粉的靜摩擦系數。

3)F反，f反的表達式

由于煤粉顆粒群受到孔壁的反作用力相對于O-R線對稱，因此僅考慮上半部的受力情況，如圖2所示。設，孔壁對煤粉顆粒群的正應力為σ反、切應力(摩擦力)為τ反、孔壁任意位置與O-R線夾角為ψ。

在A-B方向上，鉆桿長邊與孔壁對煤粉顆粒群的摩擦力相等，也即τ反在A-B方向上的分力的積分與f相等，分量夾角為ψ；同理，在O-R方向上，σ反的分力的積分與FN的差值提供煤粉顆粒群的向心力，分量夾角同為ψ。

因此，F反，f反的表達式為:

(3)

式中：σ反為孔壁對煤粉顆粒群的正應力，N/m2；τ反為孔壁對煤粉顆粒群的切應力，N/m2；ψ為切應力τ反與A-B方向的夾角，rad；μ2為孔壁與煤粉的動摩擦系數。

圖2　煤粉顆粒群受力分析Fig.2　Stress analysis of coal particle swarm

4)m·r的表達式

由質心與靜矩的關系式可知:

(4)

式中：So為煤粉顆粒群相對于O點的靜矩，m3；A為煤粉顆粒群面積，m2；ρ為煤粉密度，kg/m3。

又因為煤粉顆粒群整體對于O點的靜矩So等于各個微元長方體dA對于O點靜矩dS的積分和，如圖3所示，因此有:

(5)

式中：x為任意微元長方體質心到O點的距離，m；dx為微元長方體的寬度，m。

因此，m·r的表達式為:

(6)

圖3　煤粉顆粒群靜矩分析Fig.3　Static moment analysis of coal particle swarm

5)物理模型的求解

將式(2)、(3)、(6)帶入式(1)，可得:

(7)

對上述方程組進行求解，得:

(8)

軸向單位長度上，由σN引起的扭矩Tσ、τN引起的扭矩Tτ分別為:

(9)

因此，三棱鉆桿在工作過程中的總扭矩為:

(10)

式中：ρ為煤粉密度，kg/m3；L為鉆孔長度，m；w為煤粉公轉角速度，也即三棱鉆桿自轉角速度，rad/s；R為鉆孔半徑，m；θ為煤粉覆蓋張角的一半，rad；μ1為鉆桿與煤粉的靜摩擦系數；μ2為孔壁與煤粉的動摩擦系數。

3.2　算例分析

根據假設可知，煤粉顆粒群在鉆孔中處于高速運動狀態，也只有在該狀態下，顆粒群才可以完全充填于鉆孔中，且均勻充填。同時，三棱鉆桿主要用于軟媒鉆孔，孔內煤粉量較大。因此，假定鉆桿轉速為300 r/min，孔內煤粉顆粒群密度為1 000 kg/m3，鉆孔半徑為50 mm，煤粉覆蓋張角為2π/3。根據文獻[16-17]的研究結果與數據，采用煤粉與石墨類比的方法，取煤粉與不銹鋼材料的靜摩擦系數為0.6，煤粉之間的動摩擦系數為0.5。

當鉆孔長度為20 m,50 m,80 m時，將上述數據帶入式(10)并計算可知，由于煤粉顆粒群的負載造成的三棱鉆桿的扭矩分別為T20=587.36 N·m，T50=1 468.41 N·m，T80=2 349.46 N·m。

以目前較為常用的全液壓坑道鉆機ZDY3200S作為分析對象，其最大扭矩為4 200 N·m。對比可知，當鉆孔深度為20 m時，三棱鉆桿上的煤粉負載只占到最大扭矩的14%左右，而當鉆孔不斷加深后，其扭矩占到最大扭矩35%和56%。

因此，隨著鉆孔深度的增加，排粉需求的增大，煤粉負載這一因素就越發凸顯了其重要性，必須在打鉆過程中予以考慮。

4　討論

1)參數的意義及求取方法

公式中，各元素均為自變量，且對于扭矩存在不同程度的影響。然而在實際軟煤打鉆過程中，鉆孔布局及鉆孔參數信息一般是確定的(R固定)，這一參數可根據具體煤層的瓦斯抽采設計圖確定；根據確定的鉆孔參數可以確定不同的三棱鉆桿尺寸，目前國內三棱鉆桿的結構樣式與煤粉覆蓋張角是一致的(θ固定)，這一參數可根據具體鉆桿尺寸確定；同時，對于某個特定煤層而言，其煤粉與鉆桿、孔壁間的摩擦系數μ1、μ2也可以通過測定摩擦角而確定；轉速w可以從鉆機上得到。因此，這里重點討論煤粉密度ρ的求取方法。

ρ為煤粉顆粒群的密度，直接受鉆進速率和風力排渣速率的影響。該參數可以通過理論計算結合氣力輸送試驗進行確定。假設鉆孔半徑為R，煤粉堆密度為ρ′，煤粉顆粒群原始密度為ρ0，鉆機的鉆進速度為v，環狀間隙面積為A，環狀間隙內壓風風速為v風，煤體膨脹系數為β，環狀間隙內壓風風流在單位時間內的排渣能力為Q0。單位時間的產粉量Q產、排粉量Q0分別為:

(11)

式中：α為風力排粉系數，無量綱，表明煤粉運移速度與風速的比值，與風速v風和煤粉密度ρ正相關。對于不同的煤粉密度ρ以及不同風速v風，可以通過氣力輸送試驗確定對應的單位時間排粉量，進而確定不同的α值。

在一定時間內，僅考慮額外鉆進距離內，ρe的表達式為:

(12)

當ρe大于ρ0時，原始密度ρ0會被不斷拉高，同時由于密度上升，排渣能力Q0不斷提高，ρe不斷降低，最終趨于平衡，煤粉顆粒群密度穩定在ρ1；相反，若ρe小于ρ0，ρ0會不斷降低，排渣能力Q0不斷減小，ρe不斷上升，最終同樣趨于平衡，穩定在ρ1。因此，存在一個穩定狀態，煤粉密度穩定在ρ1。

假設在穩定狀態時，煤粉密度為ρ1，則有等式：

(13)

2)最小扭矩問題

在煤礦井下軟煤打鉆過程中，最小扭矩的使用具有重要的意義：一方面利用最小扭矩進行鉆進工作可以大大節約打鉆過程中的用電量，同時，最小扭矩鉆進也可以降低鉆機、鉆桿的損耗，這兩點都可以大大降低煤礦打鉆工作的成本；另一方面，當扭矩大于最小扭矩時，轉速普遍偏高，煤粉對孔壁的摩擦力增大，磨損增加，孔壁穩定性降低，不利于打鉆工作的順利開展。

通過扭矩T的表達式可知，當煤層、鉆孔信息確定后，扭矩僅受煤粉密度ρ以及轉速w的影響。在基本假設中規定，煤粉顆粒群軸向運動與環向運動無關，也即煤粉密度ρ(受鉆進速率與排粉速率影響)與轉速w之間彼此獨立。

由ρ的表達式可知，ρ受v與v風的直接影響。在排粉能力Q0不變的情況下，當鉆進速度v降低時，產粉量Q產降低，煤粉密度ρ降低；在鉆進速度v不變的情況下，當風速v風增加時，排粉量Q0增大，煤粉密度ρ降低。

然而，在實際打鉆過程中，鉆孔作業任務量較大，降低鉆進速度v會降低生產效率，這與生產需要相抵觸；同樣的，由于煤礦井下壓風系統風壓一定，如需提高壓風風速v風，必須安裝風機提供額外風壓，而這一過程不僅增加了投資，也消耗了人力與時間，因此不建議在鉆機正常工作的狀態下使用上述手段降低鉆機扭矩。

基于上述分析，在實際打鉆過程中，只有通過調節轉速w才能夠實現對于鉆機扭矩的調節。但是，轉速w并不是隨意調節的，它具有一個調節范圍。如圖4所示，轉速w存在一個臨界轉速w界，當w小于w界時，煤粉顆粒群發生沉積，無法形成準充填狀態；只有當w大于w界后，煤粉顆粒群達到理想狀態，扭矩可以按照本文提供方法進行計算。當然，w不能無限大，上限為鉆機額定轉速。因此，轉速w在臨界轉速w界與額定轉速間變化。當轉速接近w界時，鉆機扭矩接近最小扭矩，此時，在同等時間內完成等量打鉆任務的情況下，該狀態能耗最小。

圖4　實際轉速對煤粉顆粒群的狀態影響對比Fig.4　Comparative analysis of influences of rotation speed on status of coal particle swarm

臨界轉速w界主要受煤粉密度、粒度參數的影響。在這里，提出一種利用相似模擬實驗確定w界的方法：

首先，確定煤層、鉆孔、打鉆信息，并在煤層中試驗打孔，測出煤粉的平均粒徑。

其次，根據鉆孔、鉆桿信息制作與實際尺寸相等的相似模型，盡量選擇輕質替代材料，腔體需透明，如圖5所示。

第三，根據打鉆信息確定煤粉密度ρ，將模擬煤粉(可用橡膠顆粒代替，對腔體無磨損污染，密度應與實際煤粉相似)按計算密度裝入模型，不斷增加轉速，并利用肉眼進行觀測，當顆粒群被全部攪動且底部無沉積時，認為達到臨界轉速w界，利用轉速計測出轉速，該值可直接用于井下實際生產中。

圖5　相似模擬實驗示意Fig.5　Diagrammatic sketch of analog simulation experiment on critical rotation speed

3)極限鉆孔長度問題

基于扭矩T的表達式，在得到鉆孔、鉆機、鉆桿、壓風系統參數后，理論上可以求解鉆孔的極限長度，并且可以根據需要適當調節相關參數以提高鉆孔深度，見圖6。

圖6　極限鉆孔長度多參數示意Fig.6　Multi-parameter relationship of maximum borehole length

一般情況下，鉆孔半徑R、煤粉覆蓋張角2θ、摩擦系數μ1、μ2為已知參數；在三棱鉆桿工作過程中，若要保持其正常工作、排粉舒暢，轉速w需達到w界。

1)假設工作過程中由于壓風風流、鉆進速度控制良好，煤粉顆粒群密度ρ保持ρ1水平，則扭矩T與鉆孔長度L呈正比，即T∝L。

2)隨著鉆孔深度的增加，扭矩T到達最大扭矩Tmax，理論上在保持正常排粉情況(w>w界以上)下鉆機無法繼續鉆進。

3)在保持w界情況下，若要繼續增加鉆孔深度，需要不斷降低煤粉顆粒群密度ρ，ρ與L服從反比例關系。

4)若要降低ρ，可以選擇降低鉆進速率v和提高壓風風速v風。然而隨著鉆孔深度的增加，風阻增大，風速無法提高，因此只能選擇逐漸降低鉆進速度v以保證孔內煤粉被逐漸排出并保持在更低水平上。

5)在不斷降低ρ的情況下，鉆孔深度不斷增加，但其存在一個極限長度，其極限長度為鉆機可攜帶最大鉆桿長度(無排粉負載)。

上述分析與實際情況較為吻合，在鉆機扭矩足夠情況下，可以保證在較高煤粉顆粒群密度水平(較高鉆進速率)下鉆進；當扭矩達到最大扭矩后，只能依靠降低鉆機負載的方式提高鉆進深度。

5　結論

1)通過對三棱鉆桿排粉機理進行分析研究，提出了基本假設，并建立了三棱鉆桿扭矩物理模型，得到了鉆桿扭矩的解析解。隨著鉆孔深度的增加，煤粉負載在總扭矩中占比越來越大。

2)探討了扭矩解析解中各參數的意義及其求取方法，并通過對煤粉群面密度ρ的分析，判斷該參數可以是解析解，并求出了該解析解。

3)探討了最小扭矩問題，轉速w應在臨界轉速w界與額定轉速間變化。當轉速接近w界時，鉆機扭矩接近最小扭矩，此時，在同等時間內完成等量打鉆任務的情況下，該狀態能耗最小。

4)提出了臨界轉速w界的實驗測定方法，并得到了提高鉆孔長度的理論方法。

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