反證法在數論中的幾個妙用

張馨予

[摘 要] 本文利用反證法證明了幾個與有理數和素數相關的有趣結論，充分展示了反證法的妙用.

[關鍵詞] 反證法；無理數；素數

我們知道，，是無理數，一般地，我們有

定理1：假設p是正整數但不是完全平方數，我們有是無理數.

證明：我們用反證法，假設是有理數，則存在互素的自然數m，n使=，兩邊平方有p=

2= ，即m2=p·n2.

因為p不是完全平方數，則我們斷言m含有因子p：

事實上，令m=m1·…·mr，

則m2=m·…·m=p·n2，

即m，…，m中某一個應含有因子p，但已知假設p不是完全平方數，所以p≠m（i=1，…，r），但是為了p整除m…m，故某個mi中應含因子p，即m中含有因子p，設 m=p·r，則

m2=p2r2=p·n2，n2=p·r2，

與上同理可證n也含有因子p，因此（m，n）=p≠1與（m，n）=1矛盾.

根據上述定理的證明我們猜想：

設p，q，n是自然數，如果p≠qn，則是無理數.

我們知道兩個無理數之和如

-1+

2-=1不一定為無理數.

另外，自然地，我們想問+及更一般地+當a，b滿足適當條件時，是否是無理數？我們有以下定理.

定理2：若a，b不都是完全平方自然數，則+是無理數.

證明：（1）a≠b時，若+是有理數，則?m，n∈N使+=，

=

-a-b.

由定理1，是無理數，而公式右邊為有理數，這是一個矛盾，故a≠b時，+是無理數.

（2）a=b時，由定理1知，+=2是無理數.

用類似于上述方法可以證明：

定理3：若a，b，c三個自然數不都是完全平方自然數，則++是無理數，特別地，++是無理數.

用數學歸納法可以證明：

若p1，…，pn不都是完全平方自然數，則+…+是無理數.

反證法的妙用還很多，下面我們再舉一個例子.

素數越往后數似乎越來越少，但我們試圖證明它的個數是無限的：

我們用反證法，假設它的個數是有限的，只有r個，設為p1，…，pr，且設1

令p=p1·p2…pr+1，

則p>pr，下證p是素數.

若p不是素數，則p應被p1，…，pr中某一個pi整除，在p=p1·p2…pr+1兩邊除以pi，則

=+，

即整數=整數+.

注意0<<1是分數，這是一個矛盾.