數學抽象及其教學

李昌官

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數學抽象及其教學

李昌官

（臺州市教育局教研室，浙江臺州 318000）

數學抽象是數學最基本的思維方式，它具有純粹性、精確性、理想化、模式化、形式化等特點．數學抽象通常要經歷感知與識別、分類與概括、想象與建構、定義與表征、系統化與結構化等5個階段．為了更好地發展學生數學抽象素養，數學教學應夯實抽象的基礎，指導抽象的方法，重視抽象的過程，加強學生抽象實踐，加強對抽象素養的評價．

抽象；數學抽象；數學抽象教學

數學是對現實世界的數量關系、空間形式和變化規律進行抽象，通過概念和符號進行運算與邏輯推理的科學[1]．數學抽象是數學最基本的思維方式，提升學生的數學抽象素養是數學教育的核心目標之一．

1 數學抽象的含義與特點

1.1 數學抽象的含義

抽象是指從某類事物中舍棄個別的、非本質的屬性，抽象出共同的、本質屬性的思維過程．抽象的本質是對同類事物的刻畫與構造．數學抽象是指舍棄事物的一切非數學屬性（如物理屬性、化學屬性、生物屬性、社會屬性等），從數量與數量關系、圖形與圖形關系兩方面抽象出數學概念及概念之間的聯系，從事物與事物之間的聯系、事物內部要素之間的聯系中抽象出一般規律和結構，并用數學語言加以表征．數學抽象的對象是蘊藏著數量特征或空間特征的事物．

1.2 數學抽象的特點

呂林海認為，數學抽象從背景上看具有客觀性，從產生上看具有能動性，從內容上看具有特殊性，從方法上看具有構造性，從形式上看具有模式化，從過程上看具有發展性[2]．鄭毓信認為，數學抽象具有理想化、精確化、模式化的特點[3]．與物理抽象、哲學抽象、藝術抽象等相比，數學抽象具有如下特點．

一是純粹性．數學抽象只考慮事物或現象的數量關系和空間形式而舍棄其它一切屬性．數學抽象的這種高度純粹性，決定了它的抽象程度遠高于其它學科的抽象．

二是理想化．一方面，數學源于現實，“不但數學概念本身，而且它的結論，它的方法都是反映現實世界的”[4]．另一方面，數學又高于現實、超越現實．數學對象是抽象思維的產物，是理想化的產物．數學意義上的點源于生活中各種各樣的點，卻是沒有任何物理屬性、沒有大小的點．數學意義上的隨機事件源于生活中的隨機現象，但必須是在絕對相同的條件下可以重復試驗．

三是精確性．由抽象得到的數學概念在經過理想化處理后具有絕對精確的特點．例如，圓是平面內到定點距離等于定長的點的軌跡，任何一個點要么在圓上，要么不在圓上，沒有絲毫模糊的空間．數學命題研究的是抽象概念之間的關系，其結論需要通過邏輯推理來確認．數學概念的精確性與推理邏輯的嚴謹性成就了數學結論的精確性和邏輯必然性．需要指出的是，數學的絕對精確性和可靠性是以數學概念的理想化、以數學與現實相分離為前提的；當數學涉及現實時，它就不具有這種絕對精確性和可靠性[5]．

四是模式化．數學抽象的結果是數學模型、數學模式．美國著名數學家、美國數學聯合會前主席斯蒂恩（L. A. Steen）曾指出：數學家在數中、在空間中、在科學中、在計算機中以及在想象中尋找模式, 數學理論解釋模式間的關系；函數和映射、算子和映射將一類模式與另一類模式聯系起來，產生穩定的數學結構．數學應用則是利用這些模式解釋和預測相關自然現象[6]．數學問題、數學概念、數學法則、數學命題、數學方法、數學思想等都具有模型、模式的特點．數學模型、數學模式是連接數學世界與現實世界的橋梁．

五是形式化．數學概念是高于現實的純形式的東西，數學的研究對象是純形式化的思維材料．“數學的抽象性質預先規定了這個事實，就是數學定理僅僅用從概念本身出發的推理來證明”[4]．符號化、公理化是數學形式化的重要組織部分和表現形式．數學符號和術語的引入為數學理論的表述和數學論證提供了極大的便利．正如亞歷山大洛夫所說：“如果沒有合適的數字符號就不能將算術推向前進．尤其是如果沒有專門的符號和公式簡直就不可能有現代數學．”[4]

1.3 數學抽象的類型

根據抽象對象的不同，數學抽象可分為性質抽象、關系抽象、等置抽象等．所謂性質抽象是指關于研究對象某一方向的性質或屬性的抽象，如人們從量與量之間的相互依賴關系中抽象出函數的概念．所謂關系抽象是指關于研究對象的數量關系或空間位置關系的抽象，直線與直線平行、平面與平面垂直是關系抽象的結果，數與數之間的大小關系、倒數關系也是關系抽象的結果．等置抽象是按某種等價關系，抽取一類對象共同性質特征的抽象．自然數概念是等置抽象的結果，其本質是某類等價集合的標記，即集合與之間可以建立一一對應關系，它們是“對等”的．

根據抽象方向的不同，數學抽象可分為弱抽象與強抽象．所謂弱抽象，也叫做“擴張式抽象”，是指對事物某一方面特征（或側面）加以概括，從而形成比原對象更為一般的概念或理論的一種抽象方式．如按“正比例函數→一次函數→初等函數→函數→映射”順序進行的抽象就是弱抽象．弱抽象的特點是研究對象的外延不斷擴大，內涵不斷縮小．所謂強抽象，也叫做“強化結構式抽象”，是指通過擴大研究對象的特征，從而形成比原對象更為特殊的概念或理論的一種抽象方式．如按“映射→函數→初等函數→一次函數→正比例函數”順序進行的抽象就是強抽象．強抽象的特點是研究對象的外延不斷縮小，內涵不斷擴大．弱抽象與強抽象是人們認識事物的兩種基本方式：通過弱抽象，人們可以把結論推廣到更一般的情形；通過強抽象，人們可以更深刻地認識事物某一方面的特征．

2 數學抽象的意義與價值

2.1 數學抽象的學科意義與價值

徐利治認為，數學是運用抽象分析法研究事物關系結構的量化模式的科學[7]．希爾伯特認為：“在數學中，像在任何科學研究中那樣，有兩種傾向．一種是抽象的傾向，即從所研究的錯綜復雜的材料中提煉出其內在的邏輯關系，并根據這些關系把這些材料作系統的、有條理的處理．另一種是直觀的傾向，即更直接地掌握所研究的對象，側重它們之間的關系的具體意義，也可以說領會它們的生動的形象．”[8]史寧中認為：數學發展所依賴的基本思想有3個：抽象、推理、模型，其中抽象是最核心的．通過抽象，把外部世界與數學有關的東西抽象到數學內部，形成數學研究的對象；通過推理，得到數學的命題和計算方法，促進數學內部的發展；通過模型，創造出具有表現力的數學語言，構建了數學與外部世界的橋梁[9]．因此數學抽象是數學發展最基本的手段與方式．它貫穿在數學知識的形成、產生、發展與應用的過程中，并使數學成為高度嚴謹、高度精確、應用廣泛、結構性強的學科．

2.2 數學抽象的教育意義與價值

杜威認為：“抽象是教育所要達到的目的；它是對理智問題自身的興趣，是為思維而思維的一種嗜好．”[10]懷特海認為，數學課程的目標是“學生能夠通曉抽象思維，能夠認識到它是如何應用于特殊而具體的環境，應該知道怎樣在合乎邏輯的調查研究中使用一般的方法”[11]．數學抽象使數學變得簡單、簡約，富有邏輯與條理，因此它利于學生更好地理解數學知識的層次性與結構性，更好地把握數學知識的本質．由于數學抽象旨在尋找事物共同的、本質的屬性，因此它利于學生養成從更一般意義和方法上思考問題的習慣，進而發展概括抽象能力，提升理性思維水平．

王光明等人的研究表明：抽象思維能力對數學學習的效率與效益具有顯著的影響；在抽象思維水平上，高效組顯著高于普通組與低效組學生，普通組明顯高于低效組學生；抽象思維能力、推理分析能力、關系判斷能力對學生數學學習效率均有顯著影響，其中影響效果最大的是抽象思維能力；提高學生的抽象思維能力有助于提升數學學習效率[12]．這種情況的發生是由于數學抽象思維和抽象能力具有較強遷移的功能，能放大知識與能力的效能，進而幫助學生更好地解決現實和其它學科中的相關問題．由于數學抽象的本質是數學創造，因此它利于學生在更高層次上學會學習數學、學會創造數學．

3 數學抽象的過程與方法

按照抽象的程度不同，史寧中把數學抽象分為簡約階段、符號階段、普適階段等3個階段，其中簡約階段主要是把握事物在數量或圖形方面的本質，把繁雜問題簡單化、條理化，并清晰地表達；符號階段主要是去掉具體內容，利用符號和關系術語，表述已經簡約化的事物；普適階段主要是通過假設和推理，建立法則、模式和模型，在一般意義上描述一類事物的特征或規律[13]．徐利治認為，數學研究中的抽象思維過程基本上經歷4個階段：第一階段主要研究數學現象問題；第二階段主要是對各種具體數學屬性進行分析，逐步去掉非本質屬性；第三階段，對于已經了解其結構的數學事實，確定其本質屬性或特征；第四階段，對基本上被確定的數學概念進行不斷純化[14]．以上兩位大家站在學科高度對數學抽象的過程和階段進行了劃分，深化了人們對數學抽象的認識．這里站在數學教學視角，按通常情況下學生學習時認知的先后順序，把數學抽象分為感知與識別、分類與概括、想象與建構、定義與表征、系統化與結構化等5個階段．

3.1 感知與識別

理性認識源于感性認識；數學抽象源于數學直觀，源于人們的觀察與感知．數學的發展、學生的數學學習在很大程度上依賴于直觀，并且越是抽象的知識越需要依靠生動的直觀和能被直觀感知的具體．數學發展史上，抽象的負數、虛無縹緲的虛數都曾依靠其幾何直觀才被人們所廣泛接受．因此數學抽象的前提是對客觀事物數量關系或空間形式的觀察與感知，或者是對需要進一步抽象的數學對象的觀察與感知．通過觀察、感知和比較，人們發現、識別不同對象之間的相同點和不同點．而這些相同點和不同點就成為下一步區分、歸類、概括的基礎；其中不同點使研究對象分為不同的類，相同點成為區分這類對象與其它類對象的特征．

3.2 分類與概括

“抽象”的英文abstract源于拉丁語abstracio，其本意是排除、提取．斯根普（Skemp）認為，抽象與分類緊密相聯，抽象首先是識別事物間的相似性，然后通過“分類”（classifying）將具有相似性的事物收集起來，最后為了描述抽象結果，定義一個概念[15]．因此數學抽象是在感知與識別的基礎上，從數與形兩方面對事物本質屬性進行分類與概括．這里的分類包含兩層意思：一是提取，即從特定的背景中提取、明晰研究對象．如為了研究摩天輪旋轉時它上面椅子位置的變化情況，確定從椅子的橫坐標、縱坐標（假設已經以摩天輪的中心為原點建立了直角坐標系）和旋轉角度三個維度進行研究．二是分類，即把所有具有共同特征的事物從整體中分離出來．分類與抽象互為前提和條件：分類離不開抽象，抽象也離不開分類；數學抽象需要把具有共同屬性的數學對象放在一起作為一類，進而在分類的基礎上，從不同的數學對象中概括出共同的本質屬性．如，把三角形、函數分別從多邊形、映射中提取出來作為獨立的一類．

3.3 想象與建構

皮亞杰（Piaget）將抽象分為兩個階段：一是經驗性抽象（empirical abstraction）與偽經驗性抽象（pseudo-empirical abstraction）階段，其中前者直接來源于客觀對象本身及其性質，后者源于作用于客觀對象上的行動；二是反思性抽象（reflective abstraction）階段，即個體在前兩種抽象形成一些想法的基礎上，建立它們之間的聯系，形成概念與關系．史寧中根據抽象程度的不同，將數學抽象可分為感性抽象和理性抽象．其中感性抽象是指把現實中的一些與數量和圖形有關的東西引入數學內部，形成數學概念、法則和模型；理性抽象是指對進行感性抽象得到的思想材料進行再抽象，是從此理性具體到彼理性具體的思維過程[16]．為了純粹地、精確地從形與數兩方面研究現實世界，必須把數學與現實世界進行駁離，在形式與關系兩方面進行自由地創造；而這種自由創造，離不開人類思維的想象與建構．通過想象，在純粹的形式上和理想的狀態下建構數學概念和法則是數學抽象的基本方法．沒有大小的點，沒有粗細的、曲率為0的無限延伸的直線，相同條件下可以重復試驗的隨機事件等，都是在抽象的基礎上通過理想化、形式化的想象建構的．函數概念，從初中定義的“一個變化過程”到高中定義的“兩個非空數集”是一種想象與建構；四元數、維空間、極限、導數、非歐幾何、無限集的“勢”更是數學家自由想象、建構的產物．因此數學概念、數學法則源于常識與經驗，但又超越常識與經驗．它們是人類想象力、創造力與現實世界完美結合的產物．

3.4 定義與表征

命名是不可或缺的步驟和條件，科學的獨特工作就是建立在這種明確限定的行為之上[17]．這里所說的“命名”即數學上的定義．如果數學抽象的產物是數學概念，那么就需要以定義的形式對它的本質特征，或內涵，或外延給出確切而簡約的界定與表征．如果數學抽象的產物是數學法則與模型，或者是數學思想方法與數學體系，那么就需要用數學語言進行精確地刻畫與表征．也就是說，數學抽象需要在用數學眼光觀察世界、用數學思維分析世界的基礎上，用數學語言表征世界，進而為數學交流和用數學工具改造世界奠定基礎．

3.5 系統化與結構化

柯朗曾指出：“一切數學的發展在心理上都或多或少地是基于實際的，但是理論一旦在實際的需要中出現，就不可避免地會使它自身獲得發展的動力，并超越出直接實用的局限．”[18]弗賴登塔爾曾把數學化分為水平數學化與垂直數學化[19]．其中水平數學化是指由現實問題抽象為數學問題、建立數學模型的過程；垂直數學化是指在水平數學化的基礎上，按照數學知識發展的內在邏輯，對數學材料進行組織、整理和拓展，形成某種數學知識體系．一個新的重要的數學概念一旦建立，就必然按照其自身的邏輯發展，通過組織、整理和拓展，建立一個或大或小的知識體系，形成系統化、結構化的知識網絡．如人們由力、位移、速度等抽象出向量概念后，就必然要定義向量的各種運算、研究向量之間的關系．在給出向量有關運算法則后，又必然研究它們的運算律，研究如何運用向量知識解決幾何、物理等生產和生活中遇到的問題．不僅如此，向量的概念在不斷發展，由平面向量到空間向量，再到維向量；向量的運算也在不斷發展，由加減運算到數乘、數量積（即內積）運算，再到向量積（即外積）等．因此系統化、結構化既是數學抽象的產物，也是數學抽象的方向與要求．

4 數學抽象教學的策略與方法

4.1 夯實數學抽象的基礎

抽象源于具體，理性源于感性．數學抽象的前兩步分別是感知與識別、分類與概括，其第一階段是感性抽象或經驗性抽象，第二階段是理性抽象或反思性抽象．相應地，數學教學應在明確研究對象的基礎上，強化學生的觀察、直觀感知（包括動手操作和思維實驗），強化學生對抽象對象相似性的識別，讓學生更深入、更充分地感知抽象對象，熟悉它們的形象，感受它們的內涵與本質，夯實抽象的基礎．也就是說，從具體事例的相似性識別開始應當是數學抽象教學的一條基本原則；由真實事物出發，給學生的思維插上想象的翅膀，搞清楚新舊抽象概念之間的邏輯相關性，是數學抽象的基本做法[20]．

4.2 指導數學抽象的方法

智慧是掌握知識的方法；真正有用的教育是使學生透徹地理解一些一般原理，這些原理能夠運用到各種不同的具體細節中去[11]．數學抽象教學也一樣．在把現實問題轉化為數學問題、數學模型的過程中，最常用、最具有數學特點的抽象方法有3種．一是數學化．即舍棄事物的一切非數學屬性，只從數與形兩方面對其進行抽象．如數的產生只關注數量的多少，而省略其它一切因素；幾何圖形的概念是舍棄了現實對象的所有性質只留下其空間形式和大小的結果[4]．二是理想化．即對現實事物通過一般化、理想化處理，最后得到超越現實的數學模型．如把生活中各種不需要考慮長短、粗細、比較直的線抽象為數學意義上的絕對直的（即曲率為0）、無限延伸的直線．三是符號化．數學世界是一個符號化的世界；數學符號是數學抽象物的表現形式，是數學存在的具體化身，是對現實世界數學關系的反映結果[21]．

在解決數學內部問題的過程中，最常用、最具有數學特點的抽象方法也有3種．一是公理化．即尋找各數學分支的出發點與思維原點，從盡可能少的原始概念和公理出發，依據特定的演繹規則，推導出一系列結論，建構數學知識體系．二是結構化．即作為學科的數學不是滿足于解決現實生活中的個別問題或某些問題，而是遵循數學知識發展的內在邏輯，建構系統性、結構性強的知識體系．三是形式化，即數學是以形式化的東西為研究對象，得到的是形式化的結論，建構的是形式化的數學體系．

4.3 重視數學抽象的過程

沒有一些基礎的知識，你不可能變得聰明；輕而易舉地獲取知識，難以習得智慧；操之過急地傳授知識，結果適得其反[11]．數學教學應讓學生經歷完整的抽象過程、參與完整的抽象活動——感知與識別、分類與概括、想象與建構、定義與表征、系統化與結構化．數學教學可以壓縮或快速通過其中某些階段，但不應輕易跳過這些階段．因為學生的數學抽象素養是在抽象過程中逐步孕育的，并且只有完整的抽象過程、抽象活動才能培養出完整的抽象能力和抽象素養．因此數學教學應再現抽象的過程，強化抽象的過程．如“用字母表示數”教學應體現如下過程：一是文字代數，即用文字和具體的數來表示；二是簡字代數，即用簡化了的文字（如這個數、那個數）來表示；三是符號代數，即普遍使用抽象的符號．

4.4 加強學生數學抽象實踐

抽象經驗需要在抽象活動中積累，抽象能力需要在抽象活動中發展，抽象素養需要在抽象經驗的積淀與升華中養成．學生接受教材和教師抽象出來的數學知識，未必懂得這些知識與原始的、具體材料的聯系，未必理解和掌握其中的抽象思路與方法，而這恰恰是學生最有用、最需要的東西．因此數學教學應讓學生經歷層次清晰的抽象過程，參與抽象、嘗試抽象，進而在抽象中學習抽象、學會抽象．具體地，應加強學生如下4方面的數學抽象實踐：一是從具體的數學情境（包括數學的與現實的兩方面）中抽象出數學概念和法則；二是從數學概念與概念之間、事實與事實之間抽象出數學關系和定理；三是從數學問題解決的過程中抽象出數學思想方法和思維方法；四是對所學知識及時歸納、梳理、抽象，形成良好的數學認知結構．應加強抽象過程中學生思維的交流與碰撞，加強學生的自我感悟，因為“最正確經驗的積累不是基于理解而是基于感悟”[22]．

4.5 加強對數學抽象素養的評價

喻平認為，數學知識學習表現為3種形態：知識理解、知識遷移、知識創新，并且這3種形態生成不同水平的數學核心素養[23]．即將正式出版的《普通高中數學課程標準》（修訂版）將數學抽象劃分為三級水平．其中關于提出數學問題的三級水平分別是：水平一——能在熟悉的情境中直接抽象出數學概念和規則，并能解釋其含義；水平二——能在關聯的情境中抽象出一般的數學概念和規則，并能用恰當的例子解釋；水平三——能在綜合的情境中抽象出數學問題，并能用恰當的數學語言予以表達．

評價是指揮棒，是“牛鼻子”．應從如下兩方面入手，加強對數學核心素養的評價．一是在中考、高考和期末考試中加大對數學抽象素養考查的力度；二是在平時課堂教學和作業中加強對學生數學抽象方法、抽象能力的過程性、形成性與診斷性評價．

數學抽象的實質是數學發現和數學創造．教好數學抽象、學好數學抽象并不是一件容易的事情，唯有在實踐中上下求索、不斷優化和改進．

[1] 史寧中，孔凡哲．關于數學的定義的一個注[J]．數學教育學報，2006，15（4）：37-38．

[2] 呂林海．數學抽象的思辨[J]．數學教育學報，2001，10（4）：59-62．

[3] 鄭毓信．數學抽象的基本準則：模式建構形式化原則[J]．數學通報，1990，（11）：9-11．

[4] A·D·亞歷山大洛夫．數學——它的內容，方法和意義（第一卷）[M]．孫小禮，趙孟養，裘光明等譯．北京：科學出版社，2001．

[5] 愛因斯坦．愛因斯坦文集（增補本）第一卷[M]．許良英，李寶恒，趙中立等編譯．北京：商務印書館，2009．

[6] Steen L A. The Science of Patterns [J]., 1988, (240): 611-616.

[7] 徐利治．徐利治談數學哲學[M]．大連：大連理工大學出版社，2008．

[8] D·希爾伯特，S·康福森．直觀幾何[M]．王聯芳譯．北京：高等教育出版社，1959．

[9] 史寧中．漫談數學的基本思想[J]．數學教育學報，2011，20（4）：8．

[10] 約翰·杜威．我們怎樣思維·經驗與教育[M]．姜文閔譯．北京：人民教育出版社，2005．

[11] 懷特海．教育的目的[M]．莊蓮平，王立中譯．上海：文匯出版社，2012．

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[13] 史寧中．數學基本思想18講[M]．北京：北京師范大學出版社，2016．

[14] 徐利治，王前．數學與思維[M]．大連：大連理工大學出版社，2008．

[15] ?Skemp R R.[M]. London: Penguin Books, 1986.

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[18] ?R·柯朗，H·羅賓．什么是數學[M]．左平，張飴慈譯．上海：復旦大學出版社，2012．

[19] 弗賴登塔爾．作為教育任務的數學[M]．陳昌平，唐瑞芬譯．上海：上海教育出版社，1995．

[20] 鄭正亞．數學抽象概念教學隨筆[J]．數學教育學報，1999，8（1）：75-78．

[21] 徐利治，王前．數學與思維[M]．大連：大連理工大學出版社，2008．

[22] 史寧中．數學思想概論第4輯——數量與數量關系的抽象[M]．長春：東北師范大學出版社，2015．

[23] 喻平．數學核心素養評價的一個框架[J]．數學教育學報，2017，26（2）：19-23．

Mathematic Abstraction and Its Instruction

LI Chang-guan

(TeachingResearch Section of Taizhou Education Bureau, Zhejiang Taizhou 318000, China)

Mathematic abstraction was the fundamental mindset for mathematics. It featured purity, precision, idealization, modularity, and formalization, etc. There were five steps for mathematic abstraction, that was, perception and identification, classification and generalization, imagination and construction, definition and manifestation, systemization and structuring. To better foster students’ mathematic abstraction capability, the mathematics instruction should enhance the foundation, specify the method, emphasize the process, improve students’ practice of the abstraction, and strengthen the evaluation of abstraction capability.

abstraction; mathematic abstraction; instruction of mathematic abstraction

[責任編校：周學智]

G420

A

1004–9894（2017）04–0061–04

2017–05–21

教育部課程教材研究所“十二五”規劃重點課題——“解析幾何”內容修訂研究（KC2014—018）；浙江省教研課題——高中數學研究型教學（10455）

李昌官（1964—），男，浙江臨海人，正高級教師，博士，教育部國培專家，主要從事中學數學課程與教學研究．